6.2.4 第2课时 组合数的性质及应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

(2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向 他推荐了12种股票和7种债券.问：此人有多少 种不同的投资方式？ 解：(1)本题实质上是从52个元素中任选13个元 素作为一组的组合问题，共有C种不同的可能. 即一名参赛者可能得到C手不同的牌. (2)需分两步： 第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8 种，共有C2种选法； 第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种， 共有C种选法， 根据分步乘法计数原理，此人有C2·C=17325(种) 不同的投资方式 第2课时 组合 课程标准 1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题 2.能解决无限制条件的组合问题 课前0 [情境引入] 新高考改革后，在取消文理分科后，全国大 多数地区实行“3+1十2”模式，即语、数、外三科为国 家统考，所有考生必选，然后从物理、历史2科中任选 1科，再从化学、生物、政治和地理中任选2科参加高 考.选科前大家普遍认为，传统的“大文大理”（即“数 理化”“政史地”组合)还依然是主流，那么选考的组合 方式一共有多少种可能的情况？ 问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况 又分别有多少种？ [知识梳理] [知识点一]组合数公式 Cr= n(n-1)(n-2)…(n-m+1) m! ml(n-m)m,m∈N,m≤n).特别地，C=C n! =1. [知识点二]组合应用题的解法 1.无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断； 二、转化；三、求值；四、作答 2.有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元 素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺 序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少 分类. 第六章计数原理 [素养培优] 14.证明：nC=(k十1)C+1+kC 证明：因为(k十1)C+1+kC n! n =(k+1Dk+11n-(k+D万+1(m-列 n! n! ![n-(k+1)万+1(m-刀 一（n一)：十1m- n! k!(n-k)! =n·n!-k·n!十k·n! k!(n-k)! n·n! k！(n-k)！ =nC, 所以nC=(k十1)C+1十C. 数的性质及应用 素养解读 通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算 的素养 预习学案 对应学生用书P22 [预习自测] 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）. (1)Cm+C%=C+1(m≥2且m∈N*). (×) (2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女 生的选法共有CC种， (X) (3)把4本书分成3堆，每堆至少一本，共有C种不 同分法。 (/) 2.某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公 益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同 的选派方案共有 ) A.25种 B.35种 C.820种 D.840种 解析：A[分3类完成：男生甲参加，女生乙不能 参加，有C种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有 C种选法；两人都不参加，有C种选法，所以共有 2C十C=25(种)不同的选派方案.] 3.从5名学生中选3人参加会议，共有选法 种. 解析：这是一个从5人中选3人的组合问题，有C =10(种). 答案：10 数学·选择性必修第三册 ● 课堂。 题型一 有限制条件的组合问题 [例1]高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女 生15名，现从中选出3名同学参加活动. (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ [思路点拨]可从整体上分析，进行合理分类， 弄清关键词“恰有”“至少”等字眼，使用两个计 数原理解决： 解：(1)从余下的34名学生中选取2名， 有C4=561(种)，.不同的选法有561种. (2)从34名可选学生中选取3名，有C4种， 或者C3-C4=C34=5984(种). .不同的选法有5984种. (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2 名，有C2C=2100(种). ∴.不同的选法有2100种 (4)选取2名女生有C2C种，选取3名女生有C 种，共有C2C+C=2100+455=2555(种). 不同的选法有2555种 (5)选取3名的总数有C35,至多有2名女生在内的 选取方式有C-C=6545-455=6090(种). ∴.不同的选法有6090种 规律方法 求解有限制条件的组合问题的方法 1.“含”或“不含”某些对象的组合问题：“含”，则 先将这些对象取出，再取其他对象；“不含”，则 先将这些对象剔除，再从剩下的对象中去 选取. 2.“至少”或“至多”含有几个对象的组合问题：解 这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两 个关键词的含义，防止重复与漏解.用直接法 和间接法都可以求解此类问题，当用直接法处 理较复杂时，可考虑用间接法处理。 ⊙[变式训练] 1.有4名男生，5名女生 (1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女 生必须在内，有多少种选法？ (2)从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少 种选法？ (3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？ 解：(1)选2名男生，有C种选法；选3名女生，且 某女生必须在，有C种选法. 所以符合条件的不同选法有C·C=36(种). ·3 互动学案 对应学生用书P22 (2)方法一（直接法）：符合条件的选法有三类： 第1类，2名男生，3名女生的选法有C·C种； 第2类，3名男生，2名女生的选法有C·C种； 第3类，4名男生，1名女生的选法有C·C种： 所以男生不少于2名的不同选法有C·C十C· C+C4·C=105(种). 方法二（排除法）：因为从9名学生中，选5名代表 的选法共有C。种，其中包括1男4女和5女0男 两种不符合条件的情况， 所以男生不少于2名的不同选法有C一C·C一 C=105(种). 故共有105种不同的选法. (3)先安排甲组有C种分法，再安排乙组有C种 分法，余下的学生为丙组有C。种分法： 所以符合条件的不同分法有C。·C·C=1680(种). 故共有1680种不同分法， 题型二 分组，分配问题 [例2]6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的 选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人 三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本」 [思路点拨](1)是平均分组问题，与顺序无关， 相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可 以理解为一个人一个人地来取；(2)是“均匀分组 问题”；(3)是分组问题，分三步进行；(4)分组后 再分配；(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”“1、 23型”“114型” 解：(1)根据分步乘法计数原理得到C。CC=90(种). (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC号种方 法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每 份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、 乙、丙三名同学有A种方法.根据分步乘法计数原 理可得：CCC=xA,所以x CCC=15.国此 分为三份，每份两本一共有15种方法. (3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC 60(种)方法. (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有 CC2CA=360(种)方法. (5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”，即(1)中的 分配情况，有CCC=90(种)方法；②“1、2、3型” 即(4)中的分配情况，有CCCA=360(种)方法： ③“1,1,4型”，有C4A=90(种)方法. 所以一共有90+360+90=540（种）方法. 规律方法 分组、分配问题的求解策略 1.分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有 三种 (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等； (2)部分均匀分组，应注意不要重复，若有组均 匀，最后必须除以n!； (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. 2.分配问题属于“排列”问题. 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后 再分配. ⊙[变式训练] 2.将5名哈尔滨亚冬会志愿者分配到花样滑冰、短道 速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者 只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿 者，则不同的分配方案共有 () A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 解析：C[平均分组问题，先分组有CCCC A =10(种)， 再排序有10A=240(种).] 题型】 与几何有关的组合应用题 [例3]如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A, B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B 的四个点D1,D2,D3,D4 C.C G C A D.D.D D.B (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三 角形？其中含C,点的有多少个？ (2)以图中的12个点（包括A,B)中的4个点为顶 点，可作出多少个四边形？ [思路点拨了根据几何图形寻找规律，防止重复 和遗漏， 解：(1)法一：可作出三角形C+C%·C十C·C =116(个). ·3 第六章计数原理 法二：可作出三角形C。-C=116(个)， 其中以C,为顶，点的三角形有C=36(个) (2)可作出四边形C+C·C6+C·C=360(个). 规律方法 1.图形多少的问题通常是组合问题，要注意共 点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用 直接法，也可采用间接法 2.在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问 题抽象成组合问题来解决. ◇[变式训练] 3.平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3 点共线 (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 解：法一：（直接法），共线的4点记为A,B,C,D. (1)第一类：A,B,C,D确定1条直线： 第二类：A,B,C,D以外的5个点可确定C号条 直线： 第三类：从A,B,C,D中任取1点，其余5点中任 取1点可确定CC条直线. 根据分类加法计数原理，共有不同直线1十C十 C1C=1+10+20=31(条). (2)第一类：从A,B,C,D中取2个点，可得CC 个三角形； 第二类：从A,B,C,D中取1个点，可得CC个三 角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得C个三 角形. 共有CC十CC+C=80(个)三角形. (3)分三类：从其余5个点中任取4个，3个，2个点 共得 C+CC+C号C=105(个)四边形. 法二：（间接法）： (1)可确定直线C-C十1=31（条）. (2)可确定三角形C一C=80(个). (3)可确定四边形C4-C4-CC=105(个) 题型四 排列、组合综合荷题 [例4]有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5 门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选 法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担 任课代表，但不担任数学课代表. 数学·选择性必修第三册 思路点拨了“先选后排”，注意“选”和“不选”应 优先考虑。 解：(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1 女4男，有CC十CC种取法，后排有A种，故 共有(CC+CC)·A=5400(种). (2)除去该女生后，先取后排，有C·A=840(种). (3)先取后排，但先安排该男生，有C·C·A= 3360(种). (4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C 种，再安排该男生有C种，其余3个全排有A种， 共C·C·A=360(种). 规律方法… 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 1.按事情发生的过程进行分步； 2.按元素的性质进行分类，解决时通常从三个途 径考虑； (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求， 再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求， 再考虑其他位置； (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再 减去不合要求的排列或组合数， ◇[变式训练】 4.为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到 劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期 间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架” 四项劳动技能比赛项目.某宿舍8名同学积极参 加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且 每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人 参加“打埂作雎”的不同参加方法数为 () A.2730B.10080C.20160D.40320 解析：B[分两种情况根据分组与分配问题的求 解方法求解即可.若没有人参加“打埂作畦”，则有 CCC.A=1680种不同的方法，若有-人参加 A “打埂作畦”，则有 GCOG,AGOC.A =8400种不同的 方法，所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦” 的不同参加方法数为1680十8400=10080.] 「当堂达标] 1.某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问 卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名 女生，则不同的选法种数为 A.120B.84C.52 D.48 解析：C[间接法：C-C=52(种).] ·3 2.5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张， 且全部分完，那么分法一共有 A.A种 B.45种 C.5种 D.C种 解析：D[由于4张同样的参观券分给5个代表， 每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足， 故有C种.] 3.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无 奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，则不同 的获奖情况有 种.（用数字作答） 解析：一、二、三等奖，三个人获得，有A=24(种) 一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1 张，共有CA=36(种)，共有24十36=60（种）不同 的获奖情况。 答案：60 4.正六边形的顶点和中心共7个点，可组成个三 角形. 解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中 共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3 种情况，故组成三角形的个数为C一3=32. 答案：32 5.2024年4月21号，激情澎湃的2024准安西游乐园 准安马拉松暨大运河马拉松系列赛（淮安站）盛大 开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一 女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这 12位同学中的四位与冠亚季军合影.根据下列条 件解答问题：（用数字表示） (1)4人均来自不同学校有多少种安排； (2)4人中有男有女同学的有多少种安排； (3)若4人已经选出，请分别解答下列两个问题 ①4名同学不相邻； ②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧. 解析：(1)根据题意，在6个学校中选出4个，再在 每个学校的2人中再选出1人即可，有 CCICICC=240种安排方法； (2)根据题意，在12人中选出4人，有C12种排法， 其中只有男生的选法有C。种，只有女生的选法有 C种，则4人中有男有女有C12-2C6=495种一30 种=465种， (3)①根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安 排在空位中，则有AA=144种安排方法； ②根据题意，6人任意排列，排除其中亚军季军在 冠军同侧情况即可，有A；一2AA=432种排法. 答案：(1)240(2)465(3)①144；②432 课后。 [基础过关] 1.某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现 在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那 么不同的选法共有 ) A.26种 B.84种 C.35种 D.21种 解析：C[从7名队员中选出3人有C-X 3×2×1 =35(种)选法.] 2.以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有（) A.6个 B.12个 C.18个 D.30个 解析：B[从6个顶点中任取4个有C=15(种) 取法，其中四点共面的有3种，所以满足题意的四 面体有15-3=12（个）.] 3.2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五 位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐 公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已 知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只 能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同 一个景点，则不同的选法种数是 () A.18B.36C.54D.72 解析：B[若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组 方式为：1,2,2的选法总数为：CA=18,若甲，乙 选的景点还有其他人选择，则分组方式为：1,1,3 的选法总数为： :CA=18,所以不同的选法总数 为：18+18=36.] 4.200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少 有2件次品的抽法有 ( A.C6,·Cg B.C Co+CCo C.C2n。-Ci7 D.C2oo-C3Cio7 解析：B[至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3 件正品，共CC,种，(2)3件次品，2件正品，共 CC,种，由分类加法计数原理得抽法共有CC, +C8C197·] 5.(多选)下列关系中能成立的是 A.C=CM n n! B.C=(n-m)！ml C.m!=A C D.A十mA1=A+1 解析：BCD[对于A,令n=3,m=1,可得等式C -}C不成立，故A错误： 对于B,由组合数的计算公式知 ·3 第六章计数原理 素养提升 对应学生课时P169 ---● n! C=(0加！m,故B正确： 对于C,由排列数与组合数的定义知 Cn(n-m)！ X!(n-m)1=ml,故C正确； nl 对于D,A+mAn-1= n! m·n! （(n-m)！T(n-m+1)! (n十1)！ (n-m十1)！ =A+1,故D正确。 故选BCD.] 6.(多选)从7名男生和5名女生中选4人参加夏令 营，规定男、女生至少各有1个参加，则不同的选法 总数应为 () A.CC C B.CC+C2C2+CC C.Ciz-C-C D.CC (C+CC+C2 解析：BC[(直接法)：分三类：3男1女，2男2女， 1男3女，所以男、女生至少各有1人参加的选法总 数为CC+CC+C,C. (间接法)：任选4人的方法数为C2,减去其中全部 为男生或全部为女生的方法数C十C,故不同的 选法总数应为C12一C,一C.经检验，A,D不正确， 故选BC.] 7.从6男2女共8个学生中选出队长1人，副队长1 人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中 至少有1名女生，共有 种不同的选法.（用 数学作答) 解析：分两步： 第1步，选出4个，由于选出的人中至少有1名女 生，故不同的选法种数为C一C=55; 第2步，从4人中选出队长、副队人各1人，不同的 选法种数为A=12. 根据分步乘法计数原理知，不同的选法种数为55X 12=660. 答案：660 8.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇 至少一名，则不同的分配方案有 种（用数 字作答). 解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1 分成三组，其分法有C·C·C种；第二步，将分 A 好的三组分配到3个乡镇，其分法有A种.所以满 足条件的分配方案有C·C·C·A=36(种). A 答案：36 数学·选择性必修第三册 9.有四个不同的场馆A,B,C,D,甲、乙2人每人选2个 去参观，求恰有一个场馆相同的概率为 解析：P= C4A_2 CC3 答案：号 10.12件产品中有3件次品，9件正品，从中抽取 5件. (1)5件中没有次品的取法有多少种？ (2)5件中有2件次品的取法有多少种？ 解：(1)5件中没有次品的取法就是从9件正品中 取5件的取法，有C=126种. (2)第一步，先从3件次品中取2件，有C种 取法； 第二步，从9件正品中取3件，有C种取法， 利用分步乘法计数原理，知共有CC=252种 取法」 11.已知∠AOB的边OA上有5个点，边OB上有6 个点，用这些点和O点为顶点，能构成多少个不同 的三角形？ 解：法一：以O为三角形顶点，其余两顶点分别在 OA和OB上取，能构成C·C=30(个)三角形； O不为顶，点，又可分两类：第一类，在OA上取两 点，OB上取一点； 第二类，在OA上取一点，OB上取两点. 则能构成C·C%+C·C=10×6+5×15=135 (个)三角形. 因此，能构成不同的三角形共有30+135=165 (个)； 法二：12个点中任取3个点的取法有C2种，其 中，不能构成三角形的三点有两类；从OA上6个 点中任取三，点或从OB上7个点中任取三，点，分 别有C和C个，因此，能构成不同的三角形 共有： C2-C8-C=220-20-35=165(个). [能力提升] 12.有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会 划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这 12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船 比赛，则不同的选法共有 ) A.1860种 B.2174种 C.2354种 D.2651种 解析：B[设集合A={只会划左舷的3人}， B={只会划右舷的4人}， C={既会划左舷又会划右舷的5人}，先分类，以 集合A为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下 几类情况： ·34 ①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中 有1人，C中有2人；④C中有3人. 第①类情况中，由于划左舷的人已选定，划右舷的 人可以在集合B,C中选3人，有C种选法，同理 可得第②③④类情况的选法种数.故不同的选法 共有CC+CCC8+CCC+CgCC= 2174(种).] 13.北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神 舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭 在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征 程，奔赴浩瀚宇宙.为了此次航天任务，准备从7 名预备队员中（其中男4人，女3人）中选择4人 作为航天员参加该次任务. (1)若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共 有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A,B,C三个实 验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多 少种选派方式？（结果用数字作答） 解析：(1)由题意，分成3种情况讨论：只有1名女 性，共有CC=12种选法，有2名女性，共有 CC=18种选法，有3名女性，共有CC!=4种 选法，所以共有12种+18种十4种=34种选法， 即至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有 34种选法； (2)由题意，先选4名航天员，然后分为2,1,1的 三组，然后分配到A,B,C实验室，共有CX CC2 A ×A=1260种方法.所以每个实验室至少一名航 天员，共有1260种选派方式. [素养培优] 14.有编号为1,2,3,4的四张不同的卡片，按照下列 要求处理，各有几种方法？ (1)甲得2张，乙得2张； (2)平均分成2堆，每堆2张。 解：(1)甲先拿两张卡片，有C=6(种)；乙再拿 时，只有从剩下的两张卡片中取两张，有C心=1（种）， 故利用分步乘法计数原理可得CC=6(种).可 列出所有分法： 甲乙 1234 1324 1423 2314 2413 3412 第六章计数原理 (2)把这四张不同的卡片平均分成2堆，与把这四 所以将四张不同卡片平均分给甲、乙两人，每人 张不同的卡片平均分给甲、乙二人是不同的.如甲 2张，相当于把四张不同卡片平均分成2堆后，再 得编号为1、2的两张卡片，乙得编号为3、4的两 把每次分得的2堆分给甲、乙两人.设平均分成2 张卡片，与甲得编号为3、4的两张卡片，乙得编号 堆的方法有x种，则：x·A是将四张不同的卡片 为1、2的两张卡片是不同的分法，但若编号为1、2 平均分给甲、乙两人的分法，由(1)知：CC=x· 的两张看成一堆，编号为3、4的两张看成一堆，上 A,所以x= CC2 面的两种情况实质是一种平均分成两堆的分法. =3(种). A 6.3二项式定理 6.3.1 二项式定理 课程标准 素养解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养 式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的 2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算 的素养 简单问题 课前。预习学案 对应学生用书P27 [情境引入] 续表 牛顿的故事 牛顿善于观察日常生活中的 Ca"-b'是展开式中的第r十1项，可记做 二项式 小事，结果取得了科学史上一个 T,+1=C%a"-'b'(其中0≤r≤n,r∈N”,n 个重要的发现.作为大学教授，牛 通项 ∈N*) 顿常常忙得不修边幅，往往不打 领带，不系好鞋带和马裤的纽扣， 二项展 Ca"+Ca"6+Ca"262+...+Cra"6" 就走进了大学餐厅.有一次，他在 开式 十…+Cwb"(n∈N*) 向一位姑娘求婚时思想又开了小 差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理.他抓住 [知识点二] 二项展开式的特点 姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟 1.展开式共有n十1项. 斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去.牛顿也因此终生未 娶.那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅 2.各项的次数和都等于二项式的幂指数n. 力在哪里？ 3.字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数 [知识梳理] 由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排 [知识点一]二项式定理及相关的概念 列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 项式定理 [知识点三]通项中的注意点 1.T,+1是展开式中的第r十1项，而不是第r项. 公式(a+b)"=Cwa"+Ca"-1b+Ca"-2b2 2.公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒 概念 +…+Ca”-'b'+…+C"b"(n∈N*)称为 位置 二项式定理 3.要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决 问题 二项式 各项系数C(r=0,1,2,…,n)叫做展开 系数 4.对二项式(a一b)”的展开式的通项要特别注意符号 式的二项式系数 问题 35·