6.2.3 组合&6.2.4 第1课时 组合与组合数（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

世五维课堂 数学·选择性必修第三册 6.2.3组合 6.2.4 组合数 第1课时 组合与组合数 课程标准 素养解读 1.通过学习组合与组合数的概念，培养数 1.理解组合与组合数的概念 学抽象的素养 2.会推导组合数公式，并会应用公式求值 2.借助组合数公式及组合数的性质进行计 3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明 算，培养数学运算的素养 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.组合对元素有何要求？ 某国际会议中心有 A、B、C、D、E等5种不同 功能的会议室，且每种功 能的会议室又有大、中、小 2.组合是有放回抽取还是无放回抽取？ 和特小等4种型号，总共20个会议室.现在有 一个国际学术会议需要选择3种不同功能的 6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型 号.试问会议中心的工作人员有多少种安排会 [知识点二]组合数的概念、公式 议室的方法？ 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的 [知识梳理] 定义 个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组 [知识点一]组合的概念 合数 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n) 表示 Cm(n,m∈N且m≤n) 个对象 ,称为从n个不同 乘 对象中取出m个对象的一个组合， c-能 积 组合数的性质 组合 n(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1) 组合概念的两个要点 m! (1)CH=Cm 数公 (1)取出的对象是不同的； 式 阶 (2)Cw+1+C% n! (2)“只取不排”，即取出的m个对象与顺序 CH- m!(n-m)! = 式 无关，无序性是组合的特征性质. ·18· 第六章计数原理 五维课堂型 ?思考3.组合数的两个性质在计算组合数时 (2)由于组合数的两个公式都是除法公式，所 有何作用？ 以结果不一定是整数， () (3)区别组合与排列的关键是看问题元素是否 与顺序有关。 2.若C%=28,则n= ( A.9 B.8 C.7 D.6 [预习自测] 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”）. 3.(双空题)C= ,C18= 4.从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可 (1)从3,5,7,11中任取两个数相除属于组合 以得到不相等的积的个数为 问题. ( ) 课堂。互动学案 题型 对组合概念的理解 规律方法 区分排列与组合的方法是首先弄清楚 [例1]判断下列问题是组合问题还是排列 事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区 问题： 分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结 (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子 果写出来，然后交换这个结果中任意两个元 集中含有3个元素的有多少个？ 素的位置，看是否产生新的变化，若有新变 (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共 化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变 需准备多少种车票？多少种票价？ (3)3人去干5种不同的工作，每人千一种， 化，即说明无顺序，是组合问题， 有多少种分工方法？ ⊙[变式训练] (4)把3本相同的书分给5个学生，每人最 1.判断下列各事件是排列问题还是组合问题， 多得1本，有几种分配方法？ 并求出相应的排列数或组合数， 思路点拨了“区分排列与组合问题，关键 (1)10人相互通一次电话，共通多少次 电话？ 是利用排列与组合的定义，组合是“只选不 排、并成一组，与顺序无关.” (2)10支球队以单循环进行比赛（每两队比 赛一次)，共进行多少场次？ (3)从10个人中选出3个作为代表去开会， 有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个担任不同学科的 课代表，有多少种选法？ ·19· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 题型二 组合数公式的应用 (2)求值：C"+C+1. [例2](1)计算C。-C·A; (2)解方程3C-3=5A?-4 (3)解不等式：2C+<3C+1. 汇思路点拨]根据题目特点，选择适当的 组合数公式进行求解， 题型三 简单的组合问题 [例3]某批产品中有一等品100个，二等品 80个，三等品30个，从其中任取10个进行 检验，那么（各题列出算式即可，不必计算最 后结果) (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果 规律方法 有多少种？ 关于组合数公式的选取技巧 (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ 1.涉及具体数字的可以直接用，”C”1= 汇思路点拨了“由于本题中对部分元素是 n-m “只取不排”，故是组合问题.解题时应准确 n (n-1)! n！ n-m'm！(n-1-m)！m！(n-m)月 理解各关键词的含义. =C进行计算， 2.涉及字母的可以用阶乘式C=mlGm-m n! 计算 3.计算时应注意利用组合数的性质C= C%m简化运算。 ⊙[变式训练] 2.(1)式子nn+1)(n+2》…(m+100)可表 1001 示为 A.A1010 B.C C.101C10 D.101C910 ·20· 第六章计数原理 五维课堂兰 规律方法 [当堂达标] 1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是 1.下列四个问题属于组合问题的是 ( 不是组合问题，组合问题与排列问题的根 A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游 本区别在于排列问题与取出元素之间的 和翻译的工作 顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序 B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不 无关 同的数字，组成一个三位数 2.要注意两个计数原理的运用，即分类与分 C.从全班同学中选出3名同学出席运动会 步的灵活运用.在分类和分步时，一定注 开幕式 意有无重复或遗漏。 D.从全班同学中选出3名同学分别担任班 ◇[变式训练] 长、副班长和学习委员 3.一个口袋内装有大小相同的7个白球和 2.若A3=12C2,则n等于 1个黑球 A.8 B.5或6 (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ C.3或4 D.4 (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个 3.某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物 黑球，有多少种取法？ 这6门课程中选择4门报名参加合格性考 (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球， 试，其中，语文、数学这2门课程同时入选的 有多少种取法？ 不同选法共有 A.6种 B.12种 C.15种 D.20种 4.五个点中任何三点都不共线，则这五个点可 以连成 条线段；如果是有向线段，共 有 条 5.解方程式：C+6=Cg2。 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 ·21·参考答案 6.2.3组合 6.2.4组合数 第1课时组合与组合数 课前预习学案 知识梳理 知识点一 并成一组 [思考] 1.提示：组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是 不同的 2.提示：无放回抽取，即从个不同的元素中进行m次不放 回地取出」 知识点二 3提示：第一个性质中，若m>受，逼常不直接计算C,而 改为计算C”m,这样可以减少计算量；第二个性质是根 据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合 数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用. 预习自测 1.提示：(1)×由于两个数相除与顺序有关，所以是排列 问题. (2)×C是从n个元素中取m个元素的情况的种数， 故Cm一定是正整数. (3)/组合与排列不同之处是组合选出的元素没有顺 序而排列有顺序. 2.B[C8=nm21D=28,即m=8.] 2 3.解析：C。=18X17=153, 2 18! C8=17118-17-=18. 答案：15318 4.解析：从四个数中任取两个数的取法为C=6. 答案：6 课堂互动学案 [例1]解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合 问题。 (2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是 排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲 站是同一种票价，故是组合问题. ·11 五维课堂型 (3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一 定次序分给3个人去千，故是排列问题 (4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不 需考虑他们的顺序，故是组合问题. 变式训练 1.解：(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙 与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C0=45. (2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考 虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C0=45. (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组 合数为C0=120. (4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺 序区别的，排列数为A0=720. [例2]解：(1)原式=C1。-A3=10X9X8× 4×3×2×1 -7×6×5= 210-210=0. (2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·=5 (x-4)! (x-6)! 期33》-26脚为x-8)x-6=40 4！ .x2-9x-22=0, 解得x=11或x=一2. 经检验知x=11是原方程的根，x=一2是原方程的增根」 ∴.方程的根为x=11. (3)2Cz+1<3C+1,∴.2C2+1<3C+1, .2x(z+Dz(-D)<3x(z+D)z 3×2×1 2X1 11 3 (x+1≥3， .x≥2，.x=2,3,4,5. x+1≥2. .不等式的解集为{2,3,4,5}. 变式训练 2.(1)D[分数的分母是100！，分子是101个连续自然数的 乘积，最大的为n+100,最小的为n, 故n(n十1)(n十2)…(n+100) 100！ =101n(n+1)(n+2)…(n+100) 101 =101C9410.] 9 世五维课堂 (2)解：由组合数定义知： 10≤5-n≤n (0≤9-n≤n+1, 所以4≤n≤5，又因为n∈N, 所以n=4或5. 当n=4时，C%-”+C%+1=C+C=5; 当n=5时，C-n+C9+7=Cg+C4=16, [例3]解：(1)这批产品一共有100+80+30=210（个），从 其中任取10个进行检验，共有C0种抽取结果. (2)这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有 C80种抽取结果. (3)抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10 个进行检验.而二等品和三等品共有80十30=110（个）， 所以抽不到一等品的抽取结果共有C种. (4)恰抽取5个一等品，剩下的5个产品从二等品和三等 品中抽取， 分步计数：先抽取5个一等品，再抽取5个非一等品. 根据分步乘法计数原理，一共有C0·C10种抽取结果. (5)恰抽到1个一等品，2个二等品，剩下的7个产品从三 等品中抽取 分步计数：先抽取1个一等品，再抽取2个二等品，最后抽 取7个三等品. 根据分步乘法计数原理，一共有C·C·C30种抽取结果. (6)“抽取的10个产品中，至少有一个一等品”是“没有抽 到一等品”的反面，因此，用所有的抽取结果数减去没有 抽到一等品的结果数即可 所以至少抽到一个一等品的结果共有C0一C90种. 变式训练 3.解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C3=8X7X6=56. 3×2×1 (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个 白球中弄取出2个，取法特载是C--21, (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白 球中取出3个娘，取法种致是c号-写淡=35. ·1g 数学·选择性必修第三册 当堂达标 1.C「A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题.] 2.A[A=m(a-1D(m-2》,c2=n-1D, 所以n(m-1D(n-2)=12×2(n-1. 由n∈N*,且n≥3，解得n=8.] 3.A[某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这6门 课程中选择4门报名参加合格性考试，若语文、数学这2 门课程同时入选，则只需要从剩余4门课程中选择2门即 可，故不同选法共有C=6种.] 4.解析：从五个，点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个 点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C层= 10(条).再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列 次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列 数是A=20.所以有向线段共有20条. 答案：1020 5.解：由原方程及组合数性质可知， 3n+6=4n-2或3n+6=18-(4n-2), 所以n=8或n=2,而当n=8时， 3n十6=30>18，不符合组合数定义，故舍去， 因此n=2. 第2课时组合数的性质及应用 课前预习学案 知识梳理 知识点一 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n! m! m！(n-m)! 预习自测 1.(1)×(2)×(3)/ 2.A[分3类完成：男生甲参加，女生乙不能参加，有C种 选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C种选法；两人都 不参加，有C种选法，所以共有2C十C=25(种)不同的 选派方案.] 3.解析：这是一个从5人中选3人的组合问题，有C=10(种). 答案：10 课堂互动学案 [例1]解：(1)从余下的34名学生中选取2名， 有C4=561(种)，.不同的选法有561种. (2)从34名可选学生中选取3名，有C1种， 或者C35-C号4=C34=5984(种). ,.不同的选法有5984种. 0