6.2.3 组合&6.2.4 第1课时 组合与组合数（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·选择性必修第三册 他元素，每个都有4种可能；不属于AUBUC,或 [素养培优] 属于A,或属于B,或属于C.再安排每个子集的其 14.已知圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),从 他元素，对于每个子集，除了公共元素外，还有3 0,3,4,5,6,7,8,9,10这9个数中选出3个不同的 个位置需要安排元素.因为每个位置都有4种选 数，分别作圆心的横坐标，纵坐标和圆的半径.问： 择（放入该子集或不放入），所以每个子集的安排 (1)可以作多少个不同的圆？ 方式有43种.理由：分步乘法计数原理，每个位置 (2)经过原点的圆有多少个？ 的选择相互独立，所以总的安排方式是各个位置 (3)圆心在直线x十y-10=0上的圆有多少个？ 选择方式的乘积.最后计算总的“有序子集列”个 解：(1)可分两步完成：第一步，先选r,因为r>0, 数，根据分步乘法计数原理，总的“有序子集列”个 则r有A8种选法，第二步，再选a,b,在剩余8个 数为A8×43.计算可得：A×43=120×64= 数中任取2个，有A种选法，所以由分步乘法计 7680. 数原理可得有A8·A=448(个)不同的圆. 答案：7680 (2)圆(x-a)2十(y-b)2=r2经过原，点，a,b,r满 13.10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅 足a2+b2=r2,满足该条件的a,b,r共有3,4,5与 子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？ 6,8,10两组，考虑a,b的顺序，有A种情况，所 解：坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中 以符合题意的圆有2A?=4(个). 的任意6个人，若把人抽象成元素，将6把不同的 (3)圆心在直线x十y-10=0上，即满足a十b= 10,则满足条件的a,b有三组：0,10；3,7；4,6. 椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素 当a,b取10,0时，r有7种情况， 中取6个元素占据6个不同的位置，显然是从10个 当a,b取3,7；4,6时，r不可取0，有6种情况， 元素中任取6个元素的排列问题，从而不同的坐法共 考虑a,b的顺序，有A种情况， 有A。=151200(种). 所以满足题意的圆共有AA;十2AA:=38(个) 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第1课时 组合与组合数 课程标准 素养解读 1.理解组合与组合数的概念 1,通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养 2.会推导组合数公式，并会应用公式求值 2.借助组合数公式及组合数的性质进行计算，培养数学 3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明 运算的素养 课前。预习学案 对应学生用书P18 [情境引入] 的一个组合 某国际会议中心有A、B、 组合概念的两个要点 C、D、E等5种不同功能的会 (1)取出的对象是不同的； 议室，且每种功能的会议室又 (2)“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关， 有大、中、小和特小等4种型 无序性是组合的特征性质. 号，总共20个会议室.现在有 一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会 2思考1.组合对元素有何要求？ 议室，并且每种功能的会议室选2个型号.试问会议 提示：组合要求n个元素是不同的，被取的m个 中心的工作人员有多少种安排会议室的方法？ 元素也是不同的 [知识梳理] 2.组合是有放回抽取还是无放回抽取？ [知识点一]组合的概念 提示：无放回抽取，即从n个不同的元素中进行 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象 m次不放回地取出」 并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象 ·24· 第六章计数原理 [知识点二]组合数的概念、公式 (2)由于组合数的两个公式都是除法公式，所以结果 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的 不一定是整数。 ( ) 定义 个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组 (3)区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序 合数 有关 () 表示 C(n,m∈N且m≤n) 提示：(1)× 由于两个数相除与顺序有关，所以 是排列问题， 乘 Cm= A 积 A” (2)XCm是从n个元素中取m个元素的情况的 组合数的性质 组合 式 n(n-1)·(n-2)·…·(n-m十1) 种数，故C一定是正整数. m! (1)C0=Cm 数公 (3)√组合与排列不同之处是组合选出的元素 (2)Cm+1+C 式 没有顺序而排列有顺序。 阶 =Cm+1 乘 C n! 2.若C2=28,则n= m！(n-m)！ 式 A.9 B.8 C.7 D.6 2思考3.组合数的两个性质在计算组合数时有何 解析：B[C=",1)=28,即n=8.] 2 作用？ 3.(双空题)C= ,Cl= 提示：第一个性质中，若m>受，通常不直接计算C, 解析：C=18X1-153 2 而改为计算C”m,这样可以减少计算量；第二个性质是 18! 根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个 Ccg=171d8-17=18. 组合数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用 答案：15318 4.从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到 [预习自测] 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）， 不相等的积的个数为 (1)从3,5,7,11中任取两个数相除属于组合问题. 解析：从四个数中任取两个数的取法为C=6. 答案：6 课堂。互动学案 对应学生用书P19 题型一】 对组合概念的理解 (4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三 人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题. [例1]判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中 规律方法 含有3个元素的有多少个？ 区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是 (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备 什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的 多少种车票？多少种票价？ 方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换 这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的 (3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少 变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若 种分工方法？ 无新变化，即说明无顺序，是组合问题 (4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1 ◇[变式训练] 本，有几种分配方法？ 1.判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出 汇思路点拨]区分排列与组合问题，关键是利用排 相应的排列数或组合数. 列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与 (1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？ 顺序无关.” (2)10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛 解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合 次)，共进行多少场次？ 问题. (3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少 (2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的， 种选法？ 故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与 (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表， 乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. 有多少种选法？ (3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3 解：(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也 种，按一定次序分给3个人去千，故是排列问题 就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合 数为C。=45. ·25· 数学·选择性必修第三册 (2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需 (2)求值：C+C+1. 要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C。 (1)解析：D[分数的分母是100！，分子是101个 =45. 连续自然数的乘积，最大的为n十100，最小的为n, (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区 故n(n十1)(n+2)…(n+100) 别，组合数为C。=120. 100! (4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表 =101n(m+1)(n+2)…(n+100) 是有顺序区别的，排列数为A。=720. 101！ 题型二 组合数公式的应用 =101C91m.] [例2](1)计算C。-C·A; (2)解：由组合数定义知： (2)解方程3C=5A2-4 (0≤5-n≤n (3)解不等式：2C+<3C+1. 0≤9-n≤n+1, 所以4≤n≤5，又因为n∈N, 汇思路点拨]根据题目特点，选择适当的组合数 所以n=4或5. 公式进行求解. 当n=4时，C8"+C8+=C4+C=5; 解：(1)原式=Ci。-A=10X9X8× 4×3×2×1 -7×6×5= 当n=5时，C8"+C9+1=Cg+C。=16. 210-210=0. 题型三 简单的组合问题 (2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 [例3]某批产品中有一等品100个，二等品80个，三 ·70=…名品 等品30个，从其中任取10个进行检验，那么（各题 3· (x-6)I' 列出算式即可，不必计算最后结果) 则3(x-3)=5 41x二6，即为-3)(x-6)=40. (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ .x2-9x-22=0, (3)抽不到一等品的结果有多少种？ 解得x=11或x=一2. (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ 经检验知x=11是原方程的根，x=一2是原方程 (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多 的增根 .方程的根为x=11. 少种？ (3):2C+7<3C+1,.2C+1<3C+1 (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ 2×x+1)x-1D<3x+1) [思路点拨了由于本题中对部分元素是“只取不 3×2×1 2×1 排”，故是组合问题.解题时应准确理解各关键词 的含义 解：(1)这批产品一共有100+80+30=210（个）， 12= 从其中任取10个进行检验，共有C,种抽取结果. (2)这批产品中有一等品100个，取出10个一等 .不等式的解集为{2,3,4,5 品，共有C种抽取结果. 规律方法 (3)抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽 关于组合数公式的选取技巧 取10个进行检验.而二等品和三等品共有80十30 1.涉及具体数字的可以直接用，”C。1 n =110(个)，所以抽不到一等品的抽取结果共有 n-m n-m (n-1)! n！ Cm种. !n-1-m-m！(n-m1=C进行 (4)恰抽取5个一等品，剩下的5个产品从二等品 计算 和三等品中抽取. n! 分步计数：先抽取5个一等品，再抽取5个非一 2.涉及字母的可以用阶乘式Cmlm计第。 等品 3.计算时应注意利用组合数的性质C=C”m 根据分步乘法计数原理，一共有C·C1。种抽取 简化运算。 结果 ◇[变式训练] (5)恰抽到1个一等品，2个二等品，剩下的7个产 2.)式子nm+1)n+2)(n+10)可表示为 品从三等品中抽取 100! 分步计数：先抽取1个一等品，再抽取2个二等品， ( 最后抽取7个三等品 A.A10 B.C 根据分步乘法计数原理，一共有C·C。·C种抽取 C.101C D.101C1m 结果 ·26· 第六章计数原理 (6)“抽取的10个产品中，至少有一个一等品”是 C.从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 “没有抽到一等品”的反面，因此，用所有的抽取结 D.从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班 果数减去没有抽到一等品的结果数即可 长和学习委员 所以至少抽到一个一等品的结果共有C 解析：C[A、B、D项均为排列问题，只有C项是组 C种. 合问题.] 规律方法 2.若A=12C,则n等于 ( ) 1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是 A.8 B.5或6 组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在 C.3或4 D.4 于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组 解析：A [A=n(n-1)n-2),C=7(n-1), 合问题与取出元素的顺序无关. 2.要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的 所以n(n-1D(n-2)=12×2(n-1). 灵活运用.在分类和分步时，一定注意有无重 由n∈N",且n≥3，解得n=8.] 复或遗漏. 3.某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这6门 ⊙[变式训练] 课程中选择4门报名参加合格性考试，其中，语文、 3.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球， 数学这2门课程同时入选的不同选法共有( (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ A.6种 B.12种 (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有 C.15种 D.20种 多少种取法？ 解析：A[某同学从语文、数学、英语、物理、化学、 (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少 生物这6门课程中选择4门报名参加合格性考试， 种取法？ 若语文、数学这2门课程同时入选，则只需要从剩 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 余4门课程中选择2门即可，故不同选法共有C= 取法种散是C-淡56 6种.] 4.五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成 (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要 条线段；如果是有向线段，共有 条. 从7个白球中唇取出2个，取法种斑是C- 解析：从五个点中任取两个点恰好连成一条线段， 这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段 =21. 共有C=10(条).再考虑有向线段的问题，这时两 (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7 个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段， 个白球中取出3个球，取法种数是C=?X6X5 所以是排列问题，排列数是A=20.所以有向线段 3×2×1 共有20条. =35. 答案：1020 [当堂达标] 5.解方程式：Cg+=Cg. 1.下列四个问题属于组合问题的是 解：由原方程及组合数性质可知， A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译 3n+6=4n-2或3n+6=18-(4n-2), 的工作 所以n=8或n=2,而当n=8时， B.从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数 3n十6=30>18，不符合组合数定义，故舍去. 字，组成一个三位数 因此n=2. 课后。素养提升 对应学生课时P167 [基础过关] 解析：AC[A.2名学生完成的是同一件工作，没 1.(多选)给出下列问题，是组合问题的是 ( 有顺序，是组合问题，B.2名学生完成两件不同 A.从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工 的工作，有顺序，是排列问题.C.单循环比赛要 作，有多少种不同的选法 求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是 B.从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不 组合问题.D.冠亚军是有顺序的，是排列问题.门 同的工作，有多少种不同的选法 2.把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有 C.a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛，共需 赛多少场 A.A种 B.C种 D.a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同 C.C。Ai种 D.30种 的结果 解析：B[三张票没区别，从10人中选3人即可， 即C.] ·27· 数学·选择性必修第三册 3.若A=6C4,则n的值为 9.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m A.6 B.7 C.8 D.9 个不同的积；任取两个不同的数相除，有个不同 解析：B[由题意知n(n一1)(n一2)=6· 的商，则m:n= un-1)0n2)-3》,化简得”，3=1， 解析：：m=C,n=A,.m:n=1:2. 4×3×2×1 答案：1：2 所以n=7.] 10.已知C-C4=C%-C,求C2的值. 4.将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排 到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教 解：由已知得2C=C十C, n! n! 师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有 所以2·51(m-541(n-4)61m-6' ( 整理得n2-21n十98=0， A.24种 B.10种 解得n=7或n=14. C.12种 D.9种 要求C2的值，故n≥12， 解析：C[第一步，为甲地选1名女教师，有C?= 所以n=14, 2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C= 于是C1=C=91. 6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不 11.某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行： 同的安排方案共有2×6×1=12（种），故选C.] (1)小组赛：经抽签分甲、乙两组，每组六支球队进 5.（多选)C9十C等于 行单循环比赛（参加比赛的6支球队必须分别两 A.Ca。B.CoC.C8g D.C 两交锋一次)，以积分及净剩球数取前两名， 解析：BD[由组合数的性质得：Cg十Cg=C (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一 =C0.] 名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主 6.(多选)在四川省新高考方案中，选择性考试科目 客场各赛一场)决出胜负. 有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生 (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负. 根据普通高等学校统一招生要求，必在物理、历史 2门学科中选择1门，在化学、生物、政治、地理4 问全部赛程共需比赛多少场？ 解：(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6 门学科中选择2门作为选择性考试科目参加考试. 则下列说法正确的是 支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的 A.若任意选科，则选法总数为12种 场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数， B.若政治必选，则选法总数为3种 共有两组，所以小组赛共要比赛2C=2×6X5 2 C.若化学、地理至少选一门，则选法总数为10种 30(场) D.若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总 (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名（乙组的第 数为5种 一名与甲组的第二名)主客场各赛一场，所以半决 解析：ACD[借助组合数的定义，逐项计算即可 得，对A:C2C=2×6种=12种，故A正确： 赛共要比赛2A=2×1×2=4(场). (3)决赛只需比赛一场，即可决出胜负. 对B:CC=2×3种=6种，故B错误；对C:C 所以全部赛程共需比赛30十4十1=35（场）. (C2C+C)=2×(4+1)种=10种，故C正确； 对D:CC+CC号=2×2种+1×1种=5种，故D [能力提升] 正确.] 12.对所有满足1≤m<n≤5的自然数m,n,方程x2+ 7.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛， C”y2=1所表示的不同椭圆的个数为 有 种不同的选法， 解析：因为1≤m<n≤5，所以C%可以是C,Cg 解析：由题意可知共有C=9X8X? 3×2×1 =84(种)不同的 C,ClC,C,Cg,C,C,C,计算可知C=C, 选法。 C=C,Cg=C,C=C,故x2+Cmy2=1能表示 答案：84 6个不同的椭圆. 8.C8+C98C= 答案：6 解析：C8+C8C=C8+CmX1 13.(1)在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52 _8×7×6L100×9 张牌的四分之一（即13本牌）组成的牌.一名参赛 3×2×1 2×1 2=56+4950=5006. 者可能得到多少手不同的牌（用排列数或组合数 答案：5006 表示)？ ·28· 第六章计数原理 (2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向 [素养培优] 他推荐了12种股票和7种债券.问：此人有多少 14.证明：nC=(k+1)C+1十kC. 种不同的投资方式？ 证明：因为(k十1)C+1十kC 解：(1)本题实质上是从52个元素中任选13个元 n! 素作为一组的组合问题，共有C种不同的可能 =(k+1D+D1m-(k+1)万+灰！(m-)刀 即一名参赛者可能得到C手不同的牌 n! (2)需分两步： k！[n-k+1D十k！n-)刀 第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8 -” n! 种，共有C2种选法； 第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种， =n·n!-k·n!+k·nl ！(n-k)！ 共有C种选法. n·n! 根据分步乘法计数原理，此人有C2·C=17325(种) k！(n-k)川 =nC, 不同的投资方式 所以nC=(k十1)C+1+kC. 第2课时 组合数的性质及应用 课程标准 素养解读 1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题 通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算 2.能解决无限制条件的组合问题 的素养 课前。预习学案 对应学生用书P22 ● [情境引入] [预习自测 新高考改革后，在取消文理分科后，全国大 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”）. 多数地区实行“3十1十2”模式，即语、数、外三科为国 (1)Cn+C=Cm+1(m≥2且m∈N*). (×) 家统考，所有考生必选，然后从物理、历史2科中任选 1科，再从化学、生物、政治和地理中任选2科参加高 (2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女 考.选科前大家普遍认为，传统的“大文大理”（即“数 生的选法共有CC种. (X) 理化”“政史地”组合)还依然是主流，那么选考的组合 (3)把4本书分成3堆，每堆至少一本，共有C种不 方式一共有多少种可能的情况？ 同分法 (/) 问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况 2.某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公 又分别有多少种？ 益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同 [知识梳理] 的选派方案共有 [知识点一]组合数公式 An(n-1)(n-2)…(n-m+1) A.25种 B.35种 Cr= A m! C.820种 D.840种 nl 解析：A[分3类完成：男生甲参加，女生乙不能 m!(n-m) (n,m∈N,m≤n).特别地，Cg=Cg 参加，有C种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有 =1. [知识点二]组合应用题的解法 C种选法；两人都不参加，有C种选法，所以共有 1.无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断： 2C+C=25(种)不同的选派方案.] 二、转化；三、求值；四、作答. 3.从5名学生中选3人参加会议，共有选法 2.有限制条件的组合应用题的解法 种。 常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元 素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺 解析：这是一个从5人中选3人的组合问题，有C 序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少 =10(种). 分类. 答案：10 ·29·