6.2.2 第2课时 排列数的应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

世五维课堂 变式训练 2.解：先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有 2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4 ×3×2×1=24(种). 画出树形图： C—D C-D A<D一C C<B-D BCA-D D—B D—A D<B-C D/A-C C—B C一A ∠B—D C-B A D-B AB-C CB<A-D D -BA—C D—A C—A D<AB C∠A-B B—A B—A 由“树形图”可知，所有坐法为ABCD,ABDC,ACBD, ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA, BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB, CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA. [例3]解：(1)法一： A3+A 5A+A 5+1 A10-A050A6-10Ag50-10 、3 0 9！+91 A3+A 4!5！ 5×9！+9! 6×9! 法二：A90-A 10!101 5X10！-10=4X10 4151 (2)原方程3A话=4A话1可化为，3×8别=4X9 (8-x)I(10-x)I' 即3X81 4×9×8! (8-x110-x)(9=x》(8-化简， 得x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=13. 1x≤8， 由题意知 解得x≤8. (x-1≤9， 所以原方程的解为x=6. 变式训练 3.(I)D[A9=7X6×A,A=6XA,所以原式=36A A =36.] (2)B[根据公式A=nX(n-1)×(n-2)×…×(n一 m十1)知，m=4.] ·11 数学·选择性必修第三册 当堂达标 1.B[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加 法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题 而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，] 2.解析：D[先确定最大数，即2024一n,再确定因数的个 数，即(2024一n)一(19一n)+1=2006,所以原式可写 为A382-·] 3.C[用枚举法，一一列出.] 4.解析：A=4×3=12. 答案：12 5.解析：司机、售票员各有A种安排方法，由分步乘法计数 原理知，共有AA=36(种)不同的安排方法， 答案：36 第2课时排列数的应用 课前预习学案 知识梳理 知识点一 1.n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n,m∈N,m≤n) (n=m1n(n-1)(n-2)…2·1nl1 n！ 预习自测 1.B[把下午三节课看成“3个位置”，把语文、数学、英语、 物理、化学看成“5个元素”，分别用A,B,C,D,E来表示， 一种排课法可看作是从A,B,C,D,E中取出3个按顺序 分给三节课，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法 的种数是A.] 2.解析：分三类完成： 第1类，挂1面旗，可以表示A3种不同的信号； 第2类，挂2面旗，可以表示A号种不同的信号； 第3类，挂3面旗，可以表示A种不同的信号； 根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A十A?十 A=3+3×2+3×2×1=15(种). 答案：15 课堂互动学案 [例1]解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名 同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排 列，因此不同送法的种数是A=5×4×3=60,所以共有 60种不同的送法， 6 参考答案 (2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5 种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的 不同方法种数是5×5×5=125，所以共有125种不同的 送法 变式训练 1.解析：解决这个问题可以分为两步： 第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上， 即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A4种 方法； 第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车 上，也有A种方法. 由分步乘法计数原理知，分配方案共有A4·A=576(种). 答案：576 [例2]解：(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4 个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5 个位置上作全排列有A种站法，根据分步乘法计数原 理，共有A}·A=480(种)站法. 法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中 选2个人站，有A种站法，然后其余4人有A1种站法， 根据分步乘法计数原理，共有A号·A1=480(种)站法. 法三：若对甲没有限制条件共有A；种站法，甲在两端共 有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得 所求的站法数，共有A8一2A=480(种). (2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A号种，再让其 他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步乘法计 数原理，共有A3·A1=48(种)站法. (3)法一：甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有 A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A4种，共有A -2A十A1=504(种)站法. 法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有A种，b. 甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A·A·A4种， 故共有A十A}·A}·A=504(种)站法. 变式训练 2.解：(1)法一：（元素分析法）： 从人（元素）的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类： 第一类，甲不参赛，有A种参赛方法. 第二类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有 A2种方法，然后安排其他三棒，有A种方法，此时有 ·11 五维课堂 A2A种参赛方法. 综上，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有A十A2A= 240(种). 法二：（位置分析法）： 从位置的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，这两棒可 以从除甲以外的5人中选2人，有A号种方法；其余两棒 从剩余4人中选，有A?种方法， 所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有A号A=240(种). 法三：（间接法）： 不考虑对甲的约束，6个人占4个位置，有A种安排方 法，甲跑第一棒或第四棒的参赛方法有2A种，所以甲不 跑第一棒和第四棒的参赛方法有A一2A=240(种). (2)法一：（元素分析法）： 从人（元素）的角度考虑，优先考虑乙，可分为如下两类： 第一类，乙参加比赛，此时优先考虑乙，分为两种情况： (i)乙跑第一棒，有A=60(种)方法； (ⅱ)乙不跑第一棒，有A站种方法（跑第二棒或第三棒）. 此时按甲是否参赛，又分为两类： ①甲参赛，有A2A?种方法； ②甲不参赛，有A种方法 故此时（乙不跑第一棒）共有A2(A2A十A)=96(种) 方法」 由分类加法计数原理，得乙参加比赛共有60十96= 156(种)方法 第二类，乙不参赛，①若甲参赛，先考虑甲，有A好种方法， 此时共有AA种方法；②若甲不参赛，则有A种方法. 从而乙不参赛时共有A站A好十A=96(种)方法. 综上，共有156+96=252（种）参赛方法. 法二：（位置分析法）： 从位置的角度考虑，第一棒与第四棒为特殊位置，优先考 虑第一棒，分为如下两类： 第一类，第一棒为乙，则第四棒无限定条件，共有A种安 排方法 第二类，第一棒不为乙，则第一棒有A种安排方法，第四 棒（不能为乙和已跑第一棒的人）有A种安排方法，其余 两棒共有A好种安排方法，从而第一棒不为乙共有 A1AA?种安排方法. 由分类加法计数原理，得共有A+AAA=252(种)参 赛方法 世五维课堂 [例3]解：(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A 种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有A4种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有A号种排法】 由分步乘法计数原理知，共有A·A4·A?=288(种)排 队方法. (2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个 元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法. 故有A·A=720(种)排队方法. (3)先安排女生，共有A种排法：男生在4个女生隔成的 五个空中安排，共有A种排法，故共有A4·A=1440 (种)排法. (4)排好男生后让女生插空，共有A3·A=144(种) 排法 变式训练 3.解：(1)先排唱歌节目有A号种排法，再排其他节目有 A8种排法，所以共有A经·Ag=1440(种)排法. (2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A种排法，再 从其中7个空（包括两端）中选2个排唱歌节目，有A号种 插入方法，所以共有A。·A号=30240（种）排法. (3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节 目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种 插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A号种排法， 故所求共有A·A·A?=2880(种)排法. [例4]解：(1)B[由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有 2种安排方法，其他两名运动员有A号=2（种）安排方法， 共计2×2=4（种）方法， 若甲承担自由泳，则乙运动员有2（种）安排方法，其他两 名运动员有A号=2（种）安排方法，共计2×2=4（种） 方法， 所以中国队共有4十4=8（种）不同的安排方法.] (2)①甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一 半，故有经-2520（种）不同的排法. A号 ②甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左 自右履序的排法种数占会你会指列种数的示故 A A =840(种)不同的排法. ·11 数学·选择性必修第三册 变式训练 4.解：7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有 A4种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同的站 法，所以类有2=420（种）不同的站法 当堂达标 1.D[不同的排法有A8=6×5×4×3×2×1=720(种).] 2.C「依题意，满足甲、乙两人安排在相邻两天的方案共有 AA8=1440(种)，其中满足甲、乙两人安排在相邻两天 且丙安排在10月1日的方案共有A2A=240(种)，满足 甲、乙两人安排在相邻两天且丙安排在10月1日、丁安排 在10月7日的方案共有A3A4=48(种). 因此，满足题意的方案共有1440一2×240十48= 1008(种).] 3.解析：先排奇数位有A4种排法，再排偶数位有A种排 法，故共有A4A=144(种)排法，即这样的七位数有 144个. 答案：144 4.解析：根据题意分情况讨论：(1)先将数字0和5捆绑在一 起，且5排在0的前面，再和数字1,3进行排列，共有 A种排法，排好后形成4个空，最后将数字2,4插空，因 为偶数不能相邻，所以2,4不能插入与0相邻的空里，故 有A号种排法】 因此，满足此条件的六位数的个数为AA?=36. (2)先将数字0和5捆绑在一起，且0排在5的前面，再和 数字1,3进行排列，因为0不能排在最前面，所以共有 A2A虽种排法，最后将数字2,4插空，同(1)，共有A号种 排法 因此，满足此条件的六位数的个数为A2AA?=24. 综上，满足条件的六位数的个数为36+24=60. 答案：60 5.解：(1)根据题意，先将4名男教师排在一起，有A1= 24种坐法，将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师 进行排列，共有A=24种坐法，由分步乘法计数原理，共 有24×24=576种坐法. (2)根据题意，先将4名男教师排好，有A=24种坐法， 再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女 教师，有A=60种坐法，由分步乘法计数原理，共有60×24 =1440种坐法. 8第六章计数原理 五维课堂兰 规律方法 [当堂达标] 1.排列数公式的连乘形式常用于计算具体 1.从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、 的排列数 乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题 2.排列数公式的阶乘形式主要有两个作用： 中，可以看作排列问题的运算有 () ①当m、n较大时，使用计算器快捷地算出 A.1种B.2种 C.3种D.4种 结果； 2.设n∈N+,且n<19,则(19-n)·(20一n) ②对含有字母的排列数的式子进行变形. …(2024一n)等于 ) 注意常用变形A:=nA”-1,nA=A1 A.A号8e- B.A09-7 A:,n·n!=(n十1)！-n！的应用. C.A2 D.A202 3.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有 3.计算排列数或解含有排列数的方程或不 站法为 等式时，要注意先提取公因式进行化简， A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 然后计算，这样做可以减少运算量.A”中 B.甲乙，丙乙，丙甲 隐含了如下条件：m,n∈N,m≤n,Am的 C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 运算结果为正整数.在解与排列数有关的方 D.甲乙，甲丙，乙丙 程或不等式时，要注意未知数的取值范围， 4.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则 ◇[变式训练] 得到的结果有 种. 3.（1)A9等于 5.有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车 A 上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员， A.12 B.24 C.30 D.36 则可能的分配方法有 种.（填数字） (2)A%=9×10×11×12,则m等于( C温馨提西 A.3 B.4 C.5 D.6 学习至此，请完成配套训练 第2课时 排列数的应用 课程标准 素养解读 1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问 1.通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理 题的常用解题方法 的素养 2.能应用排列知识解决简单的实际问题 2.借助排列数公式计算，提升数学运算的素养 ● 课前。 预习学案 [情境引入] 色基调热烈辉煌，22m×10.5m银幕雄居全 上海影城是国内和东南亚 国之冠.上海影城建筑风格独特典雅，环境恢 最大的影城，共有九座风格各 宏气派，功能设施齐全，作为世界九大电影节 异的电影放映厅，SR立体声音 之一一上海国际电影节的主会场，已成为上 响效果撼人.第一放映厅：共有1080个座，红 海标志性的文化建筑. ·13· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 某次电影展，有12部参赛影片，影展组委 (3)合理分类与准确分步的方法； 会两天在某一影院播映这12部电影，每天6 (4)相邻问题捆绑处理的方法； 部，其中有2部电影要求不在同一天放映，共 (5)不相邻问题插空处理的方法； 有多少种不同的排片方案？ (6)分排问题直排处理的方法； [知识梳理] (7)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理 [知识点一] 排列及其应用 .排列数公式 方法； Am= (8)定序问题除法处理的方法； (9)正难则反，等价转化的策略； A (10)复杂排列问题通过试验、画简图等直观化 (读作n的阶乘).另外我们 的处理方法 规定0！ [预习自测] 2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的 1.某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物 计数问题的基本步骤 理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的 实际问题中每一类， 化归 排列问题 种数是 () 每一步中的计数问题 (建模) A.15 B.A C.35 D.53 2.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在 回归问题得解 求排列数 求数学模 型的解 竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1 3.求解排列应用题的主要方法有： 面、2面或3面旗，并且不同的顺序表示不 (1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； 同的信号，则一共可以表示 种不同 (2)特殊元素（或位置）优先安排的方法； 的信号 课堂。互动学案 题型一 无限制条件的排列问题 规律方法 [例1](1)有5本不同的书，从中选3本送给 3名同学，每人各1本，共有多少种不同的 典型的排列问题，用排列数计算其排列方 送法？ (2)有5种不同的书，要买3本送给3名同 法；若不是排列问题，需用计数原理求其方 学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 法种数.排列的概念很清楚，要从“n个不同 汇思路点拨](1)从5本不同的书中选出 3本分别送给3名同学，每人得到的书不 的元素中取出m个元素”.即在排列问题中 同，属于求排列数问题； (2)给每人的书均可以从5种不同的书中任 元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原 选1本，每人得到哪本书相互之间没有联 理解决的问题中，元素可以重复选取， 系，要用分步乘法计数原理进行计算。 ◇[变式训练] 1.将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班 次的公共汽车上，每辆汽车分别有1位司机 和1位售票员，则共有 种不同的分 配方案 ·14· 第六章计数原理 五维课堂兰 题型二 特殊元素或特殊位置问题 ®[变式训练] [例2]六人按下列要求站一横排，分别有多 2.从6名运动员中选出4人参加4×100m接 少种不同的站法？ 力赛，求满足下列条件的参赛方法数： (1)甲不站两端； (1)甲不能跑第一棒和第四棒； (2)甲、乙站在两端； (2)甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒 (3)甲不站左端，乙不站右端。 思路点拨了“特殊元素甲、乙优先安排，或 先安排特殊位置左、右两端。 规律方法 “特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的 题型三元素相邻”与“不相邻”问题 排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置 [例3]3名男生、4名女生按照不同的要求排 问题，解题原则是谁“特殊”谁优先.一般 队，求不同的排队方法的种数. 从以下三种思路考虑： 1.以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再 (1)全体站成一排，男、女各站在一起； 安排其他元素； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； 2.以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再 (3)全体站成一排，男生不能站在一起； 安排其他位置； (4)全体站成一排，男、女各不相邻. 3.用间接法解题，先不考虑限制条件，计算 汇思路点拨“相邻元素，一般用“捆绑法”， 出排列总数，再减去不符合要求的排列 不相邻元素，一般用“插空法”： 数.以上三种思路可以简化为下图。 以元素为主，优 元素分析法 先考虑特殊元素 直接法 以位置为主，优 位置分析法 先考虑特殊位置 若解题时分类太多，用直接法求 间接法 解较为麻烦，往往采用间接法 一般地，当限制条件有两个或两个以上 时，若互不影响，则直接按分步解决；若相 互影响，则先分类，然后在每一类中再分 步解决。 ·15· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 规律方法 题型四 排列中的定序问题 1.求解相邻问题的方法一“捆绑法” [例4](1)2024年第33届巴黎奥运会设置了 “捆绑法”是较为简单的求解相邻问题的 4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项 方法，其模型为：将n个不同元素排成一 目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2 排，其中某个元素排在相邻位置上，求 男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳 不同的排法种数.其解题方法如下 →蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳 先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个 姿100米且由1名运动员完成，且每名运动 整体，当作一个元素同其他元素一起排 员都要出场.若中国队确定了备战该项目的 列，共有A种排法；再将“捆绑”在一 4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担 起的元素“内部”进行排列，共有A种排 仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳 法.根据分步乘法计数原理可知，符合条 或者蛙泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可 件的排法共有A:·A种. 以承担，则中国队参赛的安排共有() 2.求解不相邻问题的方法一“插空法” A.144种B.8种C.24种D.12种 解决不相邻问题常用“插空法”，其模型为 (2)7个人排成一排。 将n个不同的元素排成一排，其中k个元 ①甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多 素互不相邻（≤n一十1），求不同的排法 少种不同的排列方法？ 种数.其解题方法如下： ②甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一 (1)将没有要求的(n一)个对象排成一排， 定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ 其排列方法有A种； 汇思路点拔]先排无顺序的，再按要求确 (2)将要求互不相邻的k个对象插入(n一+十 定元素的顺序 1)个空中，其排列方法有A+1种.根据 分步乘法计数原理可知，符合条件的排法 共有A冬·A种， ⊙[变式训练] 3.某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个 唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足 下列条件的节目编排方法有多少种， (1)一个唱歌节目开头，另一个压台； (2)2个唱歌节目互不相邻； (3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不 相邻. ·16· 第六章计数原理 五维课堂兰 规律方法 3.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一 定序问题的解题策略 个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数， 这类问题的解法是采用分类法.n个不 奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有 同元素的全排列有A种排法，m个不同元 个. 素的全排列有A”种排法.因此A”种排法 4.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重 复数字的六位数，要求偶数互不相邻，且0 中，关于m个元素的不同分法有A%类，而 和5必须相邻，则满足条件的六位数的个数 且每一分类的排法数是一样的.当这m个元 为 .(用数字作答) 素顺序确定时，共有 5.根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本 Am 是高山》已上映，某学校政治组有4名男教 ⊙[变式训练] 师和3名女教师相约一起去观看该影片，他 4.7名师生排成一排照相，其中老师1人，女 们的座位在同一排且连在一起.求： 生2人，男生4人，若4名男生的身高都不 (1)4名男教师必须坐在一起的坐法有多 等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的 少种？ 站法？ (2)3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ [当堂达标] 1.6位学生排成两排，每排3人，则不同的排法种 数为 ( A.36 B.120C.240 D.720 2.某单位安排7位员工在10月1日到7日值 班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中 的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1 日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案 共有 ©温馨提污 A.504种 B.960种 学习至此，请完成配套训练 C.1008种 D.1108种 ·17·