6.2.2 第2课时 排列数的应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·选择性必修第三册 解：由图形知，I与可以同色，因此涂四个区域 可用3种颜色，也可用4种颜色，用3种颜色涂 色，即I与V同色，把I与Ⅳ视为同一个区域，有 A种方法，用4种颜色涂色，有A种方法，所以 不同的涂色方法种数是A+A=210十840= 1050. 第2课时 排列数的应用 课程标准 素养解读 1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问 1.通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养 题的常用解题方法 2.借助排列数公式计算，提升数学运算的素养 2.能应用排列知识解决简单的实际问题 课前。预习学案 对应学生用书P13 [情境引入] 3.求解排列应用题的主要方法有： 上海影城是国内和东南亚最大 (1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； 的影城，共有九座风格各异的电影 (2)特殊元素（或位置）优先安排的方法； shangbai Film Ar (3)合理分类与准确分步的方法； 放映厅，SR立体声音响效果撼人 (4)相邻问题捆绑处理的方法； 第一放映厅：共有1080个座，红色基调热烈辉煌，22 (5)不相邻问题插空处理的方法； m×10.5m银幕雄居全国之冠.上海影城建筑风格独 (6)分排问题直排处理的方法： 特典雅，环境恢宏气派，功能设施齐全，作为世界九大 (7)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法； 电影节之一一上海国际电影节的主会场，已成为上 (8)定序问题除法处理的方法； (9)正难则反，等价转化的策略： 海标志性的文化建筑. (10)复杂排列问题通过试验、画简图等直观化的处理 某次电影展，有12部参赛影片，影展组委会两天 方法. 在某一影院播映这12部电影，每天6部，其中有2部 [预习自测] 电影要求不在同一天放映，共有多少种不同的排片 1.某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学 方案？ 中任选三科来安排，则不同排课法的种数是() [知识梳理] A.15 B.A C.35 D.5 解析：B[把下午三节课看成“3个位置”，把语文、 [知识点一]排列及其应用 数学、英语、物理、化学看成“5个元素”，分别用A, 1.排列数公式 B,C,D,E来表示，一种排课法可看作是从A,B, Am=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n,m∈N,m≤n) C,D,E中取出3个按顺序分给三节课，分配的时 n! 候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是A.] (n-m)! 2.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的 A:=n(n-1)(n一2)…2·1=n!(读作n的阶 旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面 乘).另外我们规定0！=1. 旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以 表示 种不同的信号. 2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问 解析：分三类完成： 题的基本步骤 第1类，挂1面旗，可以表示A}种不同的信号； 实际问题中每一类， 化归 第2类，挂2面旗，可以表示A?种不同的信号； 每一步中的计数问题 排列问题 (建模) 第3类，挂3面旗，可以表示A种不同的信号； 根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A 回归问题得解 求数学模 +A+A=3+3×2+3×2×1=15(种). 求排列数 型的解 答案：15 ·18· 第六章计数原理 课堂。互动学案 对应学生用书P14 题型一 无限制条件的排列问题 解：(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 [例1](1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同 4个位置上任选1个，有A}种站法，然后其余5人 学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 在另外5个位置上作全排列有A种站法，根据分 (2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人 步乘法计数原理，共有A·A=480(种)站法. 各1本，共有多少种不同的送法？ 法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5 [思路点拨](1)从5本不同的书中选出3本分别 个人中选2个人站，有A种站法，然后其余4人有 送给3名同学，每人得到的书不同，属于求排列数 A种站法，根据分步乘法计数原理，共有A·A 问题； =480(种)站法. (2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本， 法三：芳对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两 每人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法 端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排 计数原理进行计算。 列数，即得所求的站法数，共有A一2A=480(种). 解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名 同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一 (2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种， 个排列，因此不同送法的种数是A=5×4×3= 再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据 60,所以共有60种不同的送法. 分步乘法计数原理，共有A·A=48(种)站法. (2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书 (3)法一：甲在左端的站法有A种，乙在右端的站 都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每 法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A 人各1本书的不同方法种数是5×5×5=125，所以 种，共有A-2A+A=504(种)站法. 共有125种不同的送法. 法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有A 规律方法 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法；若 种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A· 不是排列问题，需用计数原理求其方法种数.排 A·A种，故共有A+A}·A}·A=504(种) 列的概念很清楚，要从“个不同的元素中取出 站法」 m个元素”.即在排列问题中元素不能重复选 规律方法 取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元 “特殊”优先原则 素可以重复选取， 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列 ◇[变式训练] 问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解 1.将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公 题原则是谁“特殊”谁优先.一般从以下三种 共汽车上，每辆汽车分别有1位司机和1位售票 思路考虑： 员，则共有 种不同的分配方案， 1.以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排 解析：解决这个问题可以分为两步： 其他元素； 第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽 2.以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排 车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一 列，有A种方法： 其他位置； 第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共 3.用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排 汽车上，也有A种方法 列总数，再减去不符合要求的排列数.以上三 由分步乘法计数原理知，分配方案共有A·A= 种思路可以简化为下图， 576(种). 以元素为主，优 元素分析法 答案：576 先考虑特殊元素 题型二】 特殊完素或特殊位置问题 直接法 以位置为主，优 [例2]六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同 位置分析法 先考虑特殊位置 的站法？ (1)甲不站两端： 若解题时分类太多，用直接法求 间接法 (2)甲、乙站在两端； 解较为麻烦，往往采用间接法 (3)甲不站左端，乙不站右端. 般地，当限制条件有两个或两个以上时， 汇思路点拨]特殊元素甲、乙优先安排，或先安排 若互不影响，则直接按分步解决；若相互影 特殊位置左、右两端。 响，则先分类，然后在每一类中再分步解决。 ·19· 数学·选择性必修第三册 ◇[变式训练] 棒不为乙共有AAA种安排方法， 2.从6名运动员中选出4人参加4×100m接力赛， 由分类加法计数原理，得共有A十AAA=252(种) 求满足下列条件的参赛方法数： 参赛方法 (1)甲不能跑第一棒和第四棒； 题型元素“相邻”与“不相邻”问题 (2)甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. [例3]3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不 解：(1)法一：（元素分析法）： 同的排队方法的种数 从人（元素）的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类： (1)全体站成一排，男、女各站在一起； 第一类，甲不参赛，有A种参赛方法 (2)全体站成一排，男生必须站在一起； 第二类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三 (3)全体站成一排，男生不能站在一起； 棒，有A种方法，然后安排其他三棒，有A种方 (4)全体站成一排，男、女各不相邻 法，此时有AA种参赛方法 [思路点拨丁相邻元素，一般用“捆绑法”，不相邻 综上，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有A十 元素，一般用“插空法” A2A=240(种). 解：(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A 法二：（位置分析法）： 种排法； 从位置的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，这 女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法； 两棒可以从除甲以外的5人中选2人，有A种方 全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法. 法；其余两棒从剩余4人中选，有A?种方法. 由分步乘法计数原理知，共有A·A·A= 所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有AA?=240 288(种)排队方法. (种). (2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为 法三：（间接法）： 一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A 不考虑对甲的约束，6个人占4个位置，有A种安 种排法 排方法，甲跑第一棒或第四棒的参赛方法有2A 故有A·A=720(种)排队方法。 种，所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有A (3)先安排女生，共有A种排法：男生在4个女生 -2A=240(种). 隔成的五个空中安排，共有A种排法，故共有 (2)法一：（元素分析法）： A·A=1440(种)排法. 从人（元素）的角度考虑，优先考虑乙，可分为如下 (4)排好男生后让女生插空，共有A·A= 两类： 144(种)排法 第一类，乙参加比赛，此时优先考虑乙，分为两种 规律方法 情况： 1.求解相邻问题的方法—“捆绑法” (1)乙跑第一棒，有A=60(种)方法； “捆绑法”是较为简单的求解相邻问题的方法， (ⅱ)乙不跑第一棒，有A种方法（跑第二棒或第三棒）. 其模型为：将n个不同元素排成一排，其中某 此时按甲是否参赛，又分为两类： k个元素排在相邻位置上，求不同的排法种 ①甲参赛，有A2A种方法； 数.其解题方法如下. ②甲不参赛，有A种方法. 先将这飞个元素“捆绑”在一起，看成一个整 故此时（乙不跑第一棒）共有A)（AA+A)= 体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有 96(种)方法. A牛}种排法；再将“捆绑”在一起的元素“内 由分类加法计数原理，得乙参加比赛共有60十96 部”进行排列，共有A种排法.根据分步乘法 =156(种)方法. 第二类，乙不参赛，①若甲参赛，先考虑甲，有A}种 计数原理可知，符合条件的排法共有A 方法，此时共有AA种方法；②若甲不参赛，则有 ·A种 A种方法. 2.求解不相邻问题的方法一“插空法” 解决不相邻问题常用“插空法”，其模型为将n 从而乙不参赛时共有AA十A=96(种)方法。 综上，共有156十96=252（种）参赛方法， 个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相 邻（≤n一十1），求不同的排法种数.其解题 法二：（位置分析法）： 从位置的角度考虑，第一棒与第四棒为特殊位置， 方法如下： 优先考虑第一棒，分为如下两类： (1)将没有要求的(n一)个对象排成一排，其排 第一类，第一棒为乙，则第四棒无限定条件，共有 列方法有A◆种； A种安排方法. (2)将要求互不相邻的k个对象插入(n一k十1)个 第二类，第一棒不为乙，则第一棒有A}种安排方 空中，其排列方法有A+1种.根据分步乘法 法，第四棒（不能为乙和已跑第一棒的人）有A种 计数原理可知，符合条件的排法共有A:· 安排方法，其余两棒共有A?种安排方法，从而第一 A种： ·20· 第六章计数原理 ◇[变式训练] 规律方法 3.某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3 定序问题的解题策略 个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节 这类问题的解法是采用分类法.n个不同元 目编排方法有多少种。 素的全排列有A”种排法，m个不同元素的全排 (1)一个唱歌节目开头，另一个压台； 列有A”种排法.因此A!种排法中，关于m个 (2)2个唱歌节目互不相邻： 元素的不同分法有A”类，而且每一分类的排法 (3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻， 解：(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目 数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有六 有A种排法，所以共有A·A=1440(种)排法. 种排法 (2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A种排 法，再从其中7个空（包括两端）中选2个排唱歌节 ◇[变式训练] 目，有A?种插入方法，所以共有A·A= 4.7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人， 30240(种)排法. 男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低 (3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个 的顺序站，有多少种不同的站法？ 曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插 解：7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法 入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换 有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不 位置，有A种排法，故所求共有A·A·A= 同的站法，所以共有2 A A =420(种)不同的站法. 2880(种)排法 [当堂达标] 题型四 排列中的定序问题 1.6位学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为 [例4幻(1)2024年第33届巴黎奥运会设置了4×100 米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规 A.36 B.120 C.240 D.720 则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动 解析：D[不同的排法有A；=6×5×4×3×2×1 员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接 =720(种).] 力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且 2.某单位安排7位员工在10月1日到7日值班，每 每名运动员都要出场.若中国队确定了备战该项目 天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在 的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳 相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7 或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳， 日，则不同的安排方案共有 ( 剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队 A.504种 B.960种 参赛的安排共有 C.1008种 D.1108种 A.144种B.8种 C.24种 D.12种 解析：C[依题意，满足甲、乙两人安排在相邻两天 (2)7个人排成一排 的方案共有AA=1440(种)，其中满足甲、乙两 ①甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不 人安排在相邻两天且丙安排在10月1日的方案共 同的排列方法？ 有A号A=240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两 ②甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相 天且丙安排在10月1日、丁安排在10月7日的方 邻)，则有多少种不同的排列方法？ 案共有AA=48(种). 汇思路点拔]先排无顺序的，再按要求确定元素的 因此，满足题意的方案共有1440一2×240十 顺序。 48=1008(种).] 解：(1)B[由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有 3.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位 2种安排方法，其他两名运动员有A=2(种)安排 数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须 方法，共计2×2=4（种）方法， 是奇数，则这样的七位数有 个 若甲承担自由泳，则乙运动员有2（种）安排方法， 解析：先排奇数位有A种排法，再排偶数位有A 其他两名运动员有A?=2(种)安排方法，共计2×2 种排法，故共有AA=144(种)排法，即这样的七 =4(种)方法， 位数有144个. 所以中国队共有4十4=8（种）不同的安排方法.] 答案：144 (2)①甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的 4.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字 A 一半，故有 =2520(种)不同的排法」 的六位数，要求偶数互不相邻，且0和5必须相邻， 则满足条件的六位数的个数为 .(用数字 ②甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙 作答) 自左自右顺序的排法种数占全体全排列种数的 解析：根据题意分情况讨论：(1)先将数字0和5捆 1 =840（种）不同的排法。 故有 绑在一起，且5排在0的前面，再和数字1,3进行 排列，共有A种排法，排好后形成4个空，最后将 ·21· 数学·选择性必修第三册 数字2,4插空，因为偶数不能相邻，所以2,4不能 教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排 插入与0相邻的空里，故有A种排法. 且连在一起.求： 因此，满足此条件的六位数的个数为AA=36. (1)4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)先将数字0和5捆绑在一起，且0排在5的前 (2)3名女教师互不相邻的坐法有多少种？ 面，再和数字1,3进行排列，因为0不能排在最前 解：(1)根据题意，先将4名男教师排在一起，有A 面，所以共有AA种排法，最后将数字2,4插空， =24种坐法，将排好的男教师视为一个整体，与3 同(1)，共有A种排法. 因此，满足此条件的六位数的个数为A2AA?= 名女教师进行排列，共有A=24种坐法，由分步乘 24.综上，满足条件的六位数的个数为36十24 法计数原理，共有24×24=576种坐法. =60. (2)根据题意，先将4名男教师排好，有A=24种 答案：60 坐法，再在这4名男教师之间及两头的5个空位中 5.根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高 插入3名女教师，有A=60种坐法，由分步乘法计数 山》已上映，某学校政治组有4名男教师和3名女 原理，共有60×24=1440种坐法. 课后。素养提升 对应学生课时P165 [基础过关] 6.(多选)在青华中学举行的课本剧大赛中，高二(16) 1.要从a,b,c,d,e5个人中选出1名组长和1名副组 班有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一 长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是() 等奖的学生排成一排合影，则 () A.20 B.16 C.10 D.6 A.3名男生排在一起，有36种不同排法 解析：B[不考虑限制条件有A种选法，若a当 B.2名女生不排在一起，有72种不同排法 副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A一A C.3名男生均不相邻，有12种不同排法 =16(种)选法.] D.女生不站在两端，有108种不同排法 2.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须 解析：ABC[对于A项，先让3名男生全排再作 相邻且B在A的右边，那么不同的排法有( 为一个整体和2名女生做一个全排，共有A·A A.60种 B.48种C.36种D.24种 =36种，故A项正确； 解析：D[把A,B视为一人，且B排在A的右边， 对于B项，先让3名男生全排，形成4个空位让2 则本题相当于4人的全排列，故有A=24(种) 名女生排入，共有A·A=72种，故B项正确： 排法.] 对于C项，先让2名女生全排，形成3个空位让3 3.用1,2,3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字 名男生排入，共有A·A=12种，故C项正确； 的三位偶数的个数为 ( 对于D项，先从三个男生中选出2人放在两端，再 A.324B.224 C.360 D.648 将剩下3人进行全排然后放中间，共有A·A= 解析：B[先排个位数，有A种，然后排十位和百 36,故D项错误.] 位，有A种，故共有AA=224(个)没有重复数字 7.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给 的三位偶数.门 4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券 4.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照， 连号，那么不同的分法种数是 要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不 同的排法种数为 解析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张 ( ) A.1440 参观券连号，1和2,2和3,3和4,4和5，四种连号，其 B.960 C.720 D.480 解析：B[5名志愿者先排成一排，有A种排法，将2 他号码各为一组，分给4人，共有4×A=96(种). 位老人看成一个元素插入5名志愿者中间的4个空 答案：96 中，且2位老人的位置全排列，不同的排法共有A· 8.二阶魔方是一个2×2×2的正方体，由8个角块组 A·A=960(种).] 成，没有中心块和棱块，结构相对简单.若空间中方 5.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数， 向不同但状态相同（即通过整体旋转后相同）的情 其中比40000大的偶数共有 ( 况只算一种，则任意二阶魔方共有 种不同 A.144个B.120个C.96个D.72个 的状态.（提示：任选其中1个角块作为参考，则其 解析：B[当五位数的万位为4时，个位可以是0， 余7块能自由排列，在这7块中，任意确定6块，最 2,此时满足条件的偶数共有2A=48(个)；当五位 后1块也就唯一确定了) 数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件 解析：任选其中1个角块作为参考，考虑其余7块 的偶数共有3A=72(个)，所以比40000大的偶数 排列情况，在这7块中，任意确定6块，最后一块也 共有48+72=120（个）.] 确定了，所以任意二阶魔方有A=7×6×5×4×3 ·22· 第六章计数原理 ×2种=5040种状态.再考虑每个角块有三种朝 (4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多 向，扣除状态相同的情况，则有5040×3种= 少种不同的排法？ 3674160种状态. (5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生， 答案：3674160 且男生不能相邻有多少种排法？ 9.在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个 (6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾， 程序，(1)若程序A只能出现在第一步或最后一 有多少种不同的排法？ 步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编 解：(1)前排2人，后排4人，相当于6个人全排 排方法共有 种； 列，共有A=720(种)排法. (2)若程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序 (2)先将甲排在前排A,乙排在后排A,其余4人 的编排方法共有 种. 解析：(1)首先，程序A只能出现在第一步或最后 全排列A,根据分步乘法原理得AAA=192(种) 一步，有2种方法；其次，将程序B和C看作一个元 排法 素，有4个位置可以选择，而B与C又可交换位置， (3)甲、乙视为一个人，即看成5人全排列问题 所以有4A种方法；最后将剩余的3个程序进行排 A,再将甲、乙两人排列A,根据分步乘法原理可 列，有A种方法.综上所述，实验顺序的编排方法共 得AA=240种排法. 有2X4A×A=96(种). (4)甲必在乙的右边属于定序问题，用除法， (2)当B,C相邻，且与D不相邻时，有AAA= A =360(种)排法， 144(种)方法；当B,C不相邻，且都与D不相邻时 A 有AA=144(种)方法，故共有288种编排方法. (5)将3名男生插入3名女生之间的4个空位，这 答案：(1)96(2)288 样保证男生不相邻，根据分步乘法原理得AA= 10.从-3，-2，-1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个 144(种)排法. 不同的数字作为二次函数y=ax2十b.x十c的系数 (6)法一：乙在排头其余5人全排列，共有A种 a,b,c,问： 排法； (1)共能组成多少个不同的二次函数？ 乙不在排头，排头和排尾均为A},其余4个位置 (2)在这些二次函数中，图象关于y轴对称的有多 全排列有A,根据分步乘法原理得A!A}A, 少个？ 再根据分类加法原理得A+A!AA=504(种) 解：(1)法一：（直接法一优先考虑特殊位置）因 排法。 为a≠0， 法二：（间接法）A-2A+A=720-240+24= 所以确定二次项系数有7种，确定一次项和常数 504(种)排法」 项有A号种，所以共有7A号=294个不同的二次 [能力提升] 函数， 12.若集合A,B,C,D满足A,B,C都是D的子集，且 法二：（直接法—一优先考虑特殊元素） A∩B,B∩C,A∩C均只有一个元素，且A∩B∩ 当a,b,c中不含0时，有A个；当a,b,c中含有0 C=必，称(A,B,C)为D的一个“有序子集列”.若 时，有2A号个，故共有A+2A=294(个)不同的 D有6个元素；则有 个“有序子集列”. 二次函数 解析：根据题意，先确定满足“x∈A∩B,y∈B∩ 法三：（间接法） C,x∈C∩A且A∩B∩C=0”的三元组(x,yz) 共可构成A个函数，其中当a=0时，有A?个均 不符合要求，从而共有A一A?=294(个)不同的 的个数，再确定集合D中除x、y、之外的其他元素 二次函数 的分布情况，从而根据乘法原理算出集合D的 (2)依题意b=0,所以共有A=42(个)符合条件 “有序子集列”的总数.对于任一个“有序子集列” 的二次函数. (A,B,C),必然存在一个三元组(x,y,之)，使得“x 11.某小组6个人排队照相留念. ∈A∩B,y∈B∩C,x∈C∩A,且A∩B∩C=”, (1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少 若AUBUC中还有除了x、y、之的其他元素，记为 种不同的排法？ t,则t只能在(A,B,C)之一中出现（或者根本不 (2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中 出现).另外，对于任一个三元组(x,y,之)都能通过 甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？ 令x∈A∩B,y∈B∩C,x∈C∩A的形式，构建出 (3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多 一个“有序子集列”A,B,C.集合D中的三元组 少种不同的排法？ (x,y,之)有A个，对于集合D中除x、y、之外的其 ·23· 数学·选择性必修第三册 他元素，每个都有4种可能；不属于AUBUC,或 [素养培优] 属于A,或属于B,或属于C.再安排每个子集的其 14.已知圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),从 他元素，对于每个子集，除了公共元素外，还有3 0,3,4,5,6,7,8,9,10这9个数中选出3个不同的 个位置需要安排元素.因为每个位置都有4种选 数，分别作圆心的横坐标，纵坐标和圆的半径.问： 择（放入该子集或不放入），所以每个子集的安排 (1)可以作多少个不同的圆？ 方式有43种.理由：分步乘法计数原理，每个位置 (2)经过原点的圆有多少个？ 的选择相互独立，所以总的安排方式是各个位置 (3)圆心在直线x十y-10=0上的圆有多少个？ 选择方式的乘积.最后计算总的“有序子集列”个 解：(1)可分两步完成：第一步，先选r,因为r>0, 数，根据分步乘法计数原理，总的“有序子集列”个 则r有A8种选法，第二步，再选a,b,在剩余8个 数为A8×43.计算可得：A×43=120×64= 数中任取2个，有A种选法，所以由分步乘法计 7680. 数原理可得有A8·A=448(个)不同的圆. 答案：7680 (2)圆(x-a)2十(y-b)2=r2经过原，点，a,b,r满 13.10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅 足a2+b2=r2,满足该条件的a,b,r共有3,4,5与 子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？ 6,8,10两组，考虑a,b的顺序，有A种情况，所 解：坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中 以符合题意的圆有2A?=4(个). 的任意6个人，若把人抽象成元素，将6把不同的 (3)圆心在直线x十y-10=0上，即满足a十b= 10,则满足条件的a,b有三组：0,10；3,7；4,6. 椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素 当a,b取10,0时，r有7种情况， 中取6个元素占据6个不同的位置，显然是从10个 当a,b取3,7；4,6时，r不可取0，有6种情况， 元素中任取6个元素的排列问题，从而不同的坐法共 考虑a,b的顺序，有A种情况， 有A。=151200(种). 所以满足题意的圆共有AA;十2AA:=38(个) 6.2.3 组合 6.2.4 组合数 第1课时 组合与组合数 课程标准 素养解读 1.理解组合与组合数的概念 1,通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养 2.会推导组合数公式，并会应用公式求值 2.借助组合数公式及组合数的性质进行计算，培养数学 3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明 运算的素养 课前。预习学案 对应学生用书P18 [情境引入] 的一个组合 某国际会议中心有A、B、 组合概念的两个要点 C、D、E等5种不同功能的会 (1)取出的对象是不同的； 议室，且每种功能的会议室又 (2)“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关， 有大、中、小和特小等4种型 无序性是组合的特征性质. 号，总共20个会议室.现在有 一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会 2思考1.组合对元素有何要求？ 议室，并且每种功能的会议室选2个型号.试问会议 提示：组合要求n个元素是不同的，被取的m个 中心的工作人员有多少种安排会议室的方法？ 元素也是不同的 [知识梳理] 2.组合是有放回抽取还是无放回抽取？ [知识点一]组合的概念 提示：无放回抽取，即从n个不同的元素中进行 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象 m次不放回地取出」 并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象 ·24·