6.2.1 排列&6.2.2 第1课时 排列与排列数（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章计数原理 五维课堂型 2.用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复 4.5名班委员进行分工，其中A不适合当班 数字的三位数的个数为 ( 长，B只适合当学习委员，则不同的分工方 A.243 B.252C.261 D.648 案种数为 3.中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中 5.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选 国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨 出3种，分别种在不同土质的三块土地上， 伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多 分别印有数字1,2,3，…，8.现准备给该伞 少种？ 面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜 色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称 的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色 相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择， 则不同的涂色方案有 种 c温馨提 学习至此，请完成配套训练 6.2棘列与组合 6.2.1棘列 6.2.2棘列数 第1课时 排列与排列数 课程标准 素养解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养 题的所有排列 2.借助排列数公式进行计算，培养数学运算的 2.会用排列数公式进行求值和证明 素养 ● 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 教师节当天，市委领导到学校考察，听完 [知识点一]排列的概念 一节课后与老师们座谈，有12位教师参加，面 1.一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n) 个对象，按照 排成一列， 对市委领导坐成一排. 称为从n个不同对象中取出m个对象的一 问题：这12位老师的坐法共有多少种？ 个排列. ·9· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 2.特别地， 时的排列（即 A#= 的排列)称为全排列 阶乘 3.排列中元素所满足的两个特性 (1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m 规定 0!= ,A ≤)个不同的元素，否则不是排列问题 (2)有序性：安排这m个元素时是有顺序 的，有序的就是排列，无序的不是排列.检验 ?思考 4.“排列”与“排列数”是两个相同的 它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看 概念吗？如果不是，它们有什么区别？ 结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无 变化就是无顺序. ?思考1.排列中“一定顺序”的含义是什么？ 2.排列定义中的两个要素是什么？ [预习自测] 3.两个排列相同的条件是什么？ 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”）. (1)a,b,c与b,a,c是同一个排列.() (2)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一 个排列. () (3)同一个排列中，同一个元素不能重复 [知识点二] 排列数及排列数公式 出现 () (4)在同一个排列中，若交换两个元素的位 从n个不同对象中取出m个对象的 置，则该排列不发生变化. () 排列数 的个数，称为从n个 2.89×90×91×92×…×100可表示为 的定义 不同对象中取出m个对象的排列数 A.A1o B.A00 C.A18 D.A 排列数 Am(n,m∈N,mn) 3.甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方 的表示 法有 () 乘积式 A A.3种 B.4种 C.6种 D.12种 排列 数公式 阶乘式 n！ A A=(1-m)1 4. ·10· 第六章计数原理 五维课堂兰 课堂。互动学案 题型一 排列概念的理解 规律方法 1.解决本题的关键有两点：一是“取出元素 [例1]判断下列问题是不是排列问题，并说 不重复”，二是“与顺序有关” 明理由， 2.判断一个具体问题是否为排列问题，就看 (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参 取出元素后排列是有序的还是无序的，而 加一项活动，其中一名同学参加活动A, 检验它是否有序的依据就是变换元素的 一名同学参加活动B; “位置”（这里的“位置”应视具体问题的性 (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参 质和条件来决定)，看其结果是否有变化， 加一项活动； 有变化就是排列问题，无变化就不是排列 (3)从所有互质的三位数中选出两个数求 问题 其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求 ⊙[变式训练] 其商； 1.判断下列问题是不是排列问题： (5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来 (1)从1到10十个自然数中任取两个数组 的三个学生坐到这四个空位中的三个上. 成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个 汇思路点拨]判断是否为排列问题关键是 不同的点的坐标？ 选出的元素在被安排时，是否与顺序有关. (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开 若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是 座谈会，有多少种不同的抽取方法？ 排列问题 (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购 买物品后再从另一个门出来，不同的出入方 式共有多少种？ ·11· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 题型二“树形图”在简单排列中的应用一 ⊙[变式训练] [例2]写出下列问题的所有排列， 2.四个人A,B,C,D坐成一排照相有多少种 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组 坐法？将它们列举出来 成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元 素的所有排列. [思路点拨](1)直接列举数字， (2)先画树形图，再结合树形图写出 题型三“排列数公式的推享及应用 [例3】)计算A。-A A+Ag (2)求3A5=4A-1中的x. 汇思路点拨]()可直接运算，也可采用阶 乘式；(2)借助阶乘式求解，注意x的范围. …规律方法 利用“树形图”法解决简单排列 问题的适用范围及策略 1.适用范围：“树形图”在解决排列元素个数 不多的问题时，是一种比较有效的表示 方式. 2.策略：在操作中先将元素按一定顺序排 出，然后以先安排哪个元素为分类标准进 行分类，再安排第二个元素，并按此元素 分类，依次进行，直到完成一个排列，这样 能做到不重不漏，然后再按树形图写出 排列. ·12· 第六章计数原理 五维课堂兰 规律方法 [当堂达标] 1.排列数公式的连乘形式常用于计算具体 1.从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、 的排列数 乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题 2.排列数公式的阶乘形式主要有两个作用： 中，可以看作排列问题的运算有 () ①当m、n较大时，使用计算器快捷地算出 A.1种B.2种 C.3种D.4种 结果； 2.设n∈N+,且n<19,则(19-n)·(20一n) ②对含有字母的排列数的式子进行变形. …(2024一n)等于 ) 注意常用变形A:=nA”-1,nA=A1 A.A号8e- B.A09-7 A:,n·n!=(n十1)！-n！的应用. C.A2 D.A202 3.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有 3.计算排列数或解含有排列数的方程或不 站法为 等式时，要注意先提取公因式进行化简， A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 然后计算，这样做可以减少运算量.A”中 B.甲乙，丙乙，丙甲 隐含了如下条件：m,n∈N,m≤n,Am的 C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 运算结果为正整数.在解与排列数有关的方 D.甲乙，甲丙，乙丙 程或不等式时，要注意未知数的取值范围， 4.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则 ◇[变式训练] 得到的结果有 种. 3.（1)A9等于 5.有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车 A 上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员， A.12 B.24 C.30 D.36 则可能的分配方法有 种.（填数字） (2)A%=9×10×11×12,则m等于( C温馨提西 A.3 B.4 C.5 D.6 学习至此，请完成配套训练 第2课时 排列数的应用 课程标准 素养解读 1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问 1.通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理 题的常用解题方法 的素养 2.能应用排列知识解决简单的实际问题 2.借助排列数公式计算，提升数学运算的素养 ● 课前。 预习学案 [情境引入] 色基调热烈辉煌，22m×10.5m银幕雄居全 上海影城是国内和东南亚 国之冠.上海影城建筑风格独特典雅，环境恢 最大的影城，共有九座风格各 宏气派，功能设施齐全，作为世界九大电影节 异的电影放映厅，SR立体声音 之一一上海国际电影节的主会场，已成为上 响效果撼人.第一放映厅：共有1080个座，红 海标志性的文化建筑. ·13·参考答案 5.解：法一：（直接法）若黄瓜种在第一块土地上，则有3X2 ×1=6(种)不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第 三块土地上均有3×2×1=6（种）不同的种植方法.故不 同的种植方法共有6×3=18（种）. 法二：（间接法）从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有 4×3×2=24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1=6（种）方 法，故共有24一6=18（种）不同的种植方法. 6.2辙列与组合 6.2.1排列 6.2.2 排列数 第1课时排列与排列数 课前预习学案 知识梳理 知识点一 1.一定的顺序2.m=n取出所有对象 [思考] 1.提示：一定顺序就是指排列中的元素与位置有关，当位置 不同时排列也就不同」 2.提示：一是“取出不同的元素”，二是“将元素按一定顺序 排列”. 3.提示：两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序 均相同. 知识点二 所有排列n(n-1)(n-2)…(n-m十1)n×(n-1)× (n-2)X…X21n!11 [思考] 4.提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念.“排列”是指 “按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序 有关，例如排列AB与排列BA是不同的，可以把一个排 列看成一个类似点坐标的有序数对，它不是一个数，而是 完成一件事的方法」 “排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 的所有不同排列的个数”，它是一个数.如A,B,C三名同 学站成一排照相留念的排列有以下6种形式：ABC, ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.这里的每一种形式都是一 个排列，而排列数是6. 预习自测 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.C[A=100×99×98×…×(100-12+1)=100×99 ×98×…×89.] ·11 五维课堂兰 3.C[由排列的定义可知，共有A=3×2×1=6(种)排列 方法.] A 4.解析： 4×3×2 1 5×4×3×2X15, 答案：方 1 课堂互动学案 [例1]解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同 的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同 的活动中 (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活 动，没有顺序之分. (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有 要求 (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分 母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会 产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列. (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安 排给三个学生 变式训练 1.解：(1)由于取出的两数组成，点的坐标与哪一数作横坐 标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列 问题」 (2)因为从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不 用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题 (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列 问题 所以(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题. [例2]解：(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32， 24,42,34,43,共有12个不同的两位数. (2)由题意作树形图，如图. 这众 故所有的排列为：abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac, bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb, dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,共有24个. 5 世五维课堂 变式训练 2.解：先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有 2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4 ×3×2×1=24(种). 画出树形图： C—D C-D A<D一C C<B-D BCA-D D—B D—A D<B-C D/A-C C—B C一A ∠B—D C-B A D-B AB-C CB<A-D D -BA—C D—A C—A D<AB C∠A-B B—A B—A 由“树形图”可知，所有坐法为ABCD,ABDC,ACBD, ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA, BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB, CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA. [例3]解：(1)法一： A3+A 5A+A 5+1 A10-A050A6-10Ag50-10 、3 0 9！+91 A3+A 4!5！ 5×9！+9! 6×9! 法二：A90-A 10!101 5X10！-10=4X10 4151 (2)原方程3A话=4A话1可化为，3×8别=4X9 (8-x)I(10-x)I' 即3X81 4×9×8! (8-x110-x)(9=x》(8-化简， 得x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=13. 1x≤8， 由题意知 解得x≤8. (x-1≤9， 所以原方程的解为x=6. 变式训练 3.(I)D[A9=7X6×A,A=6XA,所以原式=36A A =36.] (2)B[根据公式A=nX(n-1)×(n-2)×…×(n一 m十1)知，m=4.] ·11 数学·选择性必修第三册 当堂达标 1.B[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加 法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题 而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，] 2.解析：D[先确定最大数，即2024一n,再确定因数的个 数，即(2024一n)一(19一n)+1=2006,所以原式可写 为A382-·] 3.C[用枚举法，一一列出.] 4.解析：A=4×3=12. 答案：12 5.解析：司机、售票员各有A种安排方法，由分步乘法计数 原理知，共有AA=36(种)不同的安排方法， 答案：36 第2课时排列数的应用 课前预习学案 知识梳理 知识点一 1.n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n,m∈N,m≤n) (n=m1n(n-1)(n-2)…2·1nl1 n！ 预习自测 1.B[把下午三节课看成“3个位置”，把语文、数学、英语、 物理、化学看成“5个元素”，分别用A,B,C,D,E来表示， 一种排课法可看作是从A,B,C,D,E中取出3个按顺序 分给三节课，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法 的种数是A.] 2.解析：分三类完成： 第1类，挂1面旗，可以表示A3种不同的信号； 第2类，挂2面旗，可以表示A号种不同的信号； 第3类，挂3面旗，可以表示A种不同的信号； 根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A十A?十 A=3+3×2+3×2×1=15(种). 答案：15 课堂互动学案 [例1]解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名 同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排 列，因此不同送法的种数是A=5×4×3=60,所以共有 60种不同的送法， 6