6.2.1 排列&6.2.2 第1课时 排列与排列数（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章计数原理 现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆 的乘坐站数有4,5,6三种选择，所以小华、小李下 地铁，已知他们乘坐地铁的站数都不超过9，且他 地铁的方案共有2×3X3=18(种). 们各自在每站下地铁的可能性是相同的. (2)由题表可知，若小华、小李两人共付费6元，则 (1)若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下 小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都 地铁的方案共有多少种？ 付费3元.付费2元的乘坐站数有1,2,3三种选 (2)若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李 择，付费3元的乘坐站数有4,5,6三种选择，付费 先下地铁的概率. 4元的乘坐站数有7,8,9三种选择，因此小华、小 解：(1)由题表可知，若小华、小李两人共付费5 李下地铁的方案共有2×3×3十3×3=27（种），其中 元，则小华、小李一人付费2元一人付费3元，付 小华比小李先下地铁的方案有3×3十3=12（种），因 费2元的乘坐站数有1,2,3三种选择，付费3元 北小华比小李先下地铁的瓶率为号一青 6.2 锹到与组合 6.2.1排列 6.2.2 锇列数 第1课时 排列与排列数 课程标准 素养解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养 题的所有排列 2.借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养 2.会用排列数公式进行求值和证明 课前。预习学案 对应学生用书P9 [情境引入] ?思考1.排列中“一定顺序”的含义是什么？ 教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课 提示：一定顺序就是指排列中的元素与位置有 后与老师们座谈，有12位教师参加，面对市委领导坐 关，当位置不同时排列也就不同 成一排. 2.排列定义中的两个要素是什么？ 问题：这12位老师的坐法共有多少种？ 提示：一是“取出不同的元素”，二是“将元素按 [知识梳理] 定顺序排列” [知识点一]排列的概念 3.两个排列相同的条件是什么？ 1.一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对 提示：两个排列相同则应具备排列的对象及排列 象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对 的顺序均相同. 象中取出m个对象的一个排列. [知识点二]排列数及排列数公式 2.特别地，m三n时的排列（即取出所有对象的排列） 称为全排列. 从n个不同对象中取出m个对象的 排列数 3.排列中元素所满足的两个特性 所有排列的个数，称为从个不同对象 的定义 中取出m个对象的排列数 (1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个 不同的元素，否则不是排列问题， 排列数 Aw(n,m∈N,m) (2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序 的表示 的就是排列，无序的不是排列.检验它是否有顺序 乘积式 AW=(1-1)(n-2)…(n 的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化， 排列 m+1) 有变化就是有顺序，无变化就是无顺序， 数公式 阶乘式 A n! (n-m)! ·13· 数学·选择性必修第三册 [预习自测] A=n×(n-1)X(1-2)X…X2×1 阶乘 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“X”) =则 (1)a,b,c与b,a,c是同一个排列」 (X) (2)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列. 规定 0！=1,A9=1 (×) (3)同一个排列中，同一个元素不能重复出现.(/) (4)在同一个排列中，若交换两个元素的位置，则该 ?思考 4.“排列”与“排列数”是两个相同的概念 排列不发生变化 (×) 吗？如果不是，它们有什么区别？ 2.89×90×91×92×…×100可表示为 提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念 A.A100 B.A10o ，C.A30D.A80 “排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，所谓排 解析：C[A18,=100×99×98×…×(100-12+ 成一列，是指与顺序有关，例如排列AB与排列 1)=100×99×98×…×89.] BA是不同的，可以把一个排列看成一个类似点 3.甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有 坐标的有序数对，它不是一个数，而是完成一件 事的方法. A.3种 B.4种 C.6种D.12种 “排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤ 解析：C[由排列的定义可知，共有A=3X2X1 =6(种)排列方法.门 )个元素的所有不同排列的个数”，它是一个 A 数.如A,B,C三名同学站成一排照相留念的排 51 列有以下6种形式：ABC,ACB,BAC,BCA, 4×3×2 CAB,CBA.这里的每一种形式都是一个排列， 解析：5了 5X4×3X2X1=5· 而排列数是6. 答案：司 课堂。互动学案 对应学生用书P11 题型 排列概念的理解 (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分 [例1]判断下列问题是不是排列问题，并说明理由. 子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是 互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的 (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项 可能性，故是排列 活动，其中一名同学参加活动A,另一名同学参加 (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分 活动B; 别安排给三个学生， (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项 活动： 规律方法 (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； 1.解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重 (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； 复”，二是“与顺序有关”. (5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个 2.判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出 学生坐到这四个空位中的三个上 元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是 否有序的依据就是变换元素的“位置”（这里的 汇思路点拨]判断是否为排列问题关键是选出的 “位置”应视具体问题的性质和条件来决定)， 元素在被安排时，是否与顺序有关.若与顺序有关， 看其结果是否有变化，有变化就是排列问题， 就是排列问题，否则就不是排列问题。 无变化就不是排列问题， 解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同 ◇[变式训练] 的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个 1.判断下列问题是不是排列问题： 不同的活动中。 (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角 (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一 坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的 个活动，没有顺序之分. 坐标？ (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序 (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会， 没有要求 有多少种不同的抽取方法？ 14 第六章计数原理 (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品 ◇[变式训练] 后再从另一个门出来，不同的出人方式共有多 2.四个人A,B,C,D坐成一排照相有多少种坐法？ 少种？ 将它们列举出来. 解：(1)由于取出的两数组成，点的坐标与哪一数作 解：先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安 排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法 横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一 计数原理，有4×3×2×1=24（种）. 个排列问题. 画出树形图： (2)因为从10名同学抽取两人去学校开座谈会的 CD 方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题 BD-C AD—C (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是 c< B -D /A—D D -B D-A 排列问题 C DA- C B C- 所以(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题， B -D C 题型二“树形图”在简单排列中的应用 D B AB- [例2]写出下列问题的所有排列. B (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位 B—A 数，共有多少个不同的两位数？ 由“树形图”可知，所有坐法为ABCD,ABDC, (2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所 ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC, 有排列. BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB, CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC, [思路点拨](1)直接列举数字 DBAC,DBCA,DCAB,DCBA (2)先画树形图，再结合树形图写出. 题型三】 排列数公式的推导及应用 解：(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32， A+Ag 24,42,34,43,共有12个不同的两位数。 [例3(1D计算：。-— (2)由题意作树形图，如图」 (2)求3A=4A。1中的x. 助店 [思路点拨了(1)可直接运算，也可采用阶乘式； (2)借助阶乘式求解，注意x的范围. 解：(1)法一： Aj+A; 5A+A 5+1 A。-A0 50A-10A。50-10 故所有的排列为：abc,abd,acb,acd,adb,adc, 3 201 bac,bad,bea,bed,bda,bdc,cab,cad,cba, 9!49! cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb, 法二： Ai+A 4!5 5×9！+9！ 有24个 Aio-Aio 10！101 5×10！-101 4！51 规律方法 6×9!3 4×10!20 利用“树形图”法解决简单排列 3×8! 问题的适用范围及策略 (2)原方程3A=4A1可化为8一方 1.适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多 4×9! 的问题时，是一种比较有效的表示方式。 (10-x)1' 即3×81 4×9×8! 2.策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然 (8-x)! 10-2(9-x)(8-,化简， 后以先安排哪个元素为分类标准进行分类， 得x2-19x+78=0,解得x1=6,x2=13 再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进 由题意知人区8， x-1≤9， 解得x≤8. 行，直到完成一个排列，这样能做到不重不 漏，然后再按树形图写出排列. 所以原方程的解为x=6. ·15 数学·选择性必修第三册 规律方法 解析：B[因为加法和乘法满足交换律，所以选出 1.排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排 两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关， 列数. 故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有 2.排列数公式的阶乘形式主要有两个作用： 关，故是排列问题.] ①当m、n较大时，使用计算器快捷地算出结果； 2.设n∈N+,且n<19,则(19-n)·(20-n)…(2 ②对含有字母的排列数的式子进行变形 024-n)等于 注意常用变形A:=nA”,nA”=A1一A,n A.A号2- B.A309-7 ·n！=(n十1)！一n！的应用. 3.计算排列数或解含有排列数的方程或不等式 C.A24- D.A22 解析：D[先确定最大数，即2024一，再确定因 时，要注意先提取公因式进行化简，然后计算， 数的个数，即(2024一n)-(19-n)+1=2006,所 这样做可以减少运算量.A:中隐含了如下条 以原式可写为A2…] 件：m,n∈N,m≤n,A”的运算结果为正整数. 3.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未 知数的取值范围. A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 ◇[变式训练] B.甲乙，丙乙，丙甲 3.（1)A9A等于 A C甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 A.12 B.24 C.30 D.36 D.甲乙，甲丙，乙丙 (2)A2=9×10×11×12,则m等于 解析：C[用枚举法，一一列出.门 A.3 B.4 C.5 D.6 4.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的 解析：(1)D[A=7×6×A,A=6×A,所以原 结果有 种. 式=36A 解析：A2=4×3=12. A =36.] 答案：12 (2)B[根据公式A=n×(n-1)X(n-2)×…× 5.有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车上，使每 (n-m+1)知，m=4.] 辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方 [当堂达标] 法有 种.（填数字） 1.从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运 解析：司机、售票员各有A种安排方法，由分步乘 算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排 法计数原理知，共有AA=36(种)不同的安排 列问题的运算有 ) 方法. A.1种B.2种C.3种D.4种 答案：36 课后。素养提升 对应学生课时P163 [基础过关] 3.已知3A81=4A,2,则n等于 1.下列问题属于排列问题的是 A.5 B.7 C.10 D.14 ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； 81 91 ②从10个人中选2人去扫地； 解析：B[由90X3=m×4,得(11- ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队： n)(10-n)=12,解得n=7,n=14(舍).] ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算， A.①④ B.①② 4.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲 C.③④ D.①③④ 只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方 解析：A[根据排列的定义进行判断.] 案共有 2.乘积m(m+1)(m+2)…(m+19)(m+20)(m∈ A.12种 B.24种 N)可表示为 A.A+0B.AC.A9+nD.A别 C.48种 D.120种 解析：A[因为最大数为m十20，所以共有21个 解析：B[同学甲只能在周一值日，，除同学甲外 自然数连续相乘，根据排列公式可得m(m十1)(m 的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日 +2)…(m+19)(m+20)=A2+20.] 顺序的编排方案共有A=24(种).门 ·16· 第六章计数原理 5.(多选)已知下列问题，其中是排列问题的有() 10.8个人排成一排 A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学 (1)共有多少种不同的排法？ 和物理学习小组 (2)8个人排成两排，前后两排各4人共有多少种 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项 不同的排法？ 活动 (3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多 C.从a,b,c,d四个字母中取出2个字母 少种不同的排法？ D.从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个 解：(1)由排列的定义知共有A8种不同的排法. 两位数 (2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间 解析：AD[A是排列问题，因为两名同学参加的 分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列 活动与顺序有关；B不是排列问题，因为两名同学 数A.也可以分步进行，第一步：从8人中任选4 参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取 出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取 人放在前排共有A：种排法，第二步：剩下的4人 出的两个数字还需要按顺序排成一列.] 放在后排共有A种排法，由分步乘法计数原理知 6.(多选)下列等式中，正确的是 共有A×A=A8种排法. A.(n+1)A=A (3)同(2)的分析可知，共有A×A=A(种). B =(n-2)川 11.从0,1,2,3这四个数中，每次取3个不同的数字 排成一个三位数，写出其中大于200的所有三 C.A=A,·A 位数. D. 解：大于200的三位数的首位是2或3，所以共有： 解析：ABCD[通过计算可知选项A、B、C、D均 201,203,210,213,230,231,301,302,310,312, 正确.门 320,321. 7.北京的三条文化带一一大运河文化带、长城文化 [能力提升] 带、西山永定河文化带，是北京文化脉络乃至中华 12.若S=A+A+A+A+…+A1,则S的个位 文明的精华所在.为了让同学们了解这三条文化带 数字是 的内涵，现从4名老师中选3名老师，每人讲述一 A.8 B.5 C.3 D.0 条文化带，每条文化带由一名老师讲述，则不同的 解析：C[因为当n≥5时，A”的个位数字是0， 分配方案种数是 故S的个位数取决于前四个排列数.又A十A十 解析：从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文 化带，每条文化带由一名老师讲述，相当于从4个 A+A=33,故选C.] 不同元素中选3个元素的排列问题，则不同的分配 13.甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次 方案种数为A=4×3×2=24. 传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多 答案：24 少种？ 8计算：A+A 解：由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙. As-A5 若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图. A3+As 解析：入-入 ,甲<乙一→丙一甲 甲→乙 丙→乙→甲 8×7×6×5×4+8×7×6×5 5 丙、”甲乙→甲 9×8×7×6×5×4-9×8×7X6X527: 、丙→甲 、乙一→丙→甲 答案：品 共5种. 9.若集合P={xx=A,m∈N},则集合P中共有 同样甲第一次发球给丙，也有5种情况. 个元素 由分类加法计数原理，共有5十5=10（种）不同的 解析：因为x=A, 传球方法。 所以有m∈N"且m4, [素养培优] 所以P中的元素为A1=4,A好=12，A=A=24, 14.现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的 即集合P中有3个元素. 如图的四个区域进行涂色，有公共边的两个区域 答案：3 不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？ ·17· 数学·选择性必修第三册 解：由图形知，I与可以同色，因此涂四个区域 可用3种颜色，也可用4种颜色，用3种颜色涂 色，即I与V同色，把I与Ⅳ视为同一个区域，有 A种方法，用4种颜色涂色，有A种方法，所以 不同的涂色方法种数是A+A=210十840= 1050. 第2课时 排列数的应用 课程标准 素养解读 1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问 1.通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养 题的常用解题方法 2.借助排列数公式计算，提升数学运算的素养 2.能应用排列知识解决简单的实际问题 课前。预习学案 对应学生用书P13 [情境引入] 3.求解排列应用题的主要方法有： 上海影城是国内和东南亚最大 (1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； 的影城，共有九座风格各异的电影 (2)特殊元素（或位置）优先安排的方法； shangbai Film Ar (3)合理分类与准确分步的方法； 放映厅，SR立体声音响效果撼人 (4)相邻问题捆绑处理的方法； 第一放映厅：共有1080个座，红色基调热烈辉煌，22 (5)不相邻问题插空处理的方法； m×10.5m银幕雄居全国之冠.上海影城建筑风格独 (6)分排问题直排处理的方法： 特典雅，环境恢宏气派，功能设施齐全，作为世界九大 (7)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法； 电影节之一一上海国际电影节的主会场，已成为上 (8)定序问题除法处理的方法； (9)正难则反，等价转化的策略： 海标志性的文化建筑. (10)复杂排列问题通过试验、画简图等直观化的处理 某次电影展，有12部参赛影片，影展组委会两天 方法. 在某一影院播映这12部电影，每天6部，其中有2部 [预习自测] 电影要求不在同一天放映，共有多少种不同的排片 1.某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学 方案？ 中任选三科来安排，则不同排课法的种数是() [知识梳理] A.15 B.A C.35 D.5 解析：B[把下午三节课看成“3个位置”，把语文、 [知识点一]排列及其应用 数学、英语、物理、化学看成“5个元素”，分别用A, 1.排列数公式 B,C,D,E来表示，一种排课法可看作是从A,B, Am=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n,m∈N,m≤n) C,D,E中取出3个按顺序分给三节课，分配的时 n! 候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是A.] (n-m)! 2.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的 A:=n(n-1)(n一2)…2·1=n!(读作n的阶 旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面 乘).另外我们规定0！=1. 旗，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以 表示 种不同的信号. 2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问 解析：分三类完成： 题的基本步骤 第1类，挂1面旗，可以表示A}种不同的信号； 实际问题中每一类， 化归 第2类，挂2面旗，可以表示A?种不同的信号； 每一步中的计数问题 排列问题 (建模) 第3类，挂3面旗，可以表示A种不同的信号； 根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A 回归问题得解 求数学模 +A+A=3+3×2+3×2×1=15(种). 求排列数 型的解 答案：15 ·18·