6.1.2 基本计数原理的应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

世五维课堂 数学·选择性必修第三册 6.1.2基本计数原理的应用 课程标准 素养解读 1.借助两个计数原理解题，提升数学运算的 1.熟练应用两个计数原理 素养 2.能运用两个计数原理解决一些综合性的 2.通过合理分类或分步解决问题，提升逻辑推 问题 理的素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]两个计数原理的应用 某政协委员从泉城济南前往北京参加会 解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计 议，他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘 数原理综合应用.使用时要做到目的明确， 坐动车，假如这天适合他乘坐的飞机有3个航 层次分明，先后有序，还需特别注意以下 两点： 班，动车有4个班次 (1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应 扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是 “分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者 “分步”的具体标准.分类时需要满足两个条 件：①类与类之间要互斥（保证不重复）： 问题1：此委员这一天从济南到北京共有多少 ②总数要完备（保证不遗漏），也就是要确定 种快捷途径？ 一个合理的分类标准.分步时应按事件发生 问题2：如果该委员先从家乡乘坐汽车到达济 的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间 南市，再乘坐飞机前往北京参加会议，其中 互相独立，互不干扰，并确保连续性。 (2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、 汽车有4班，飞机有3个航班，此委员想从 特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊 家乡到达北京共有多少种途径？ 元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素 [知识梳理] 与其他位置，体现出解题过程中的主次 [知识点一]两个计数原理的区别与联系 思想 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 [预习自测] 相同点 用来计算完成一件事的方法种类 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“X”). 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案 中的方法可以相同 () 不 每步依次完成才算 每类方案中的每一种 (2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数 同 完成这件事（每步中 方法都能独立完成这 字给教室里的座位编号，总共能编出26十10 点 的一种方法不能独 件事 =36(种)不同的号码， 立完成这件事) (3)在分类加法计数原理中的每一种办法都 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 可以完成这件事， 6 第六章计数原理 五维课堂型 2.某校高三有三个班，分别有学生50人、50人、 3.现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色 52人.从中选一人担任学生会主席，共有 的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一 种不同的选法， ( 套，则不同的搭配法种数为 ( A.100 B.102 A.7B.12 C.64 D.81 4.用1,2,3这三个数字能写出 个没 C.152 D.50 有重复数字的偶数 课堂。互动学案 题型一 组数问题 规律方法 对于组数问题，应掌握以下原则： [例1]用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重 1.明确特殊位置或特殊数字，是我们采用 复数字的： “分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位 (1)银行存折的四位密码？ 置（未位或首位）分类，分类中再按特殊位 (2)四位整数？ 置（或特殊元素）优先的策略分步完成；如 (3)比2000大的四位偶数？ 果正面分类较多，可采用间接法求解. [思路点拨](1)用分步乘法计数原理求解； 2.要注意数字“0”不能排在两位或两位以上 (2)0不能作首位，优先排首位，用分步乘 的数的最高位. 法计数原理求解； ◇[变式训练] (3)可以按个位是0,2,4分三类，也可以按 1.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数 首位是2,3,4,5分四类解决，也可以用间 字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个 接法求解， 数为 A.24 B.18 C.12 D.6 题型三 选（抽）取写分配问题 [例2幻]高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四 个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班 级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的 分配方案有 ) A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 汇思路点拨了由于去甲工广的班级分配情 况较多，而其对立面较少，可考虑间接法 求解。 规律方法 解决抽取（分配）问题的方法 1.当涉及对象数目不大时，一般选用列举 法、树状图法、框图法或者图表法， 2.当涉及对象数目很大时，一般有两种 方法： 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 ()直接使用分类加法计数原理或分步乘法 汇思路点拨注意小方格中第2个和第3 计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就 个所涂颜色可能相同，也可能不同，故应分 按分步进行；若是按对象特征抽取的，则 两类：所涂颜色相同和不同，分别求解. 按分类进行， (2)间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取 方法数，然后减去所有不符合条件的抽 取方法数即可· ⊙[变式训练] 2.3个不同的小球放入5个不同的盒子里，每 个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？ 规律方法 解决涂色（种植）问题的一般思路 涂色问题一般是综合利用两个计数原理求 解，有几种常用方法： 1.按区域的不同，以区域为主分步计数，用 分步乘法计数原理分析」 2.以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、 线段”等问题，用分类加法计数原理分析. 3.将空间问题平面化，转化为平面区域的涂 色问题. 4.种植问题按种植的顺序分步进行，用分步 乘法计数原理计数或按种植品种恰当选 题型三】 涂色（种植）问题 取情况分类，用分类加法计数原理计数。 [例3]将3种作物全部种植在如图所示的5 ◇[变式训练] 块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的 3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 试验田不能种同一种作物，则不同的种植方 6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的 法共有 种. 花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种 同样颜色的花，则共有 种不同的栽 种方法。 汇思路点拨]对不相邻的地块种植作物可 能相同也可能不同进行讨论， [例4幻将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图 所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种 [当堂达标] 颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可 1.今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞 以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同 学一行五人决定去看这三部电影，每人只看 一部电影，则不同的选择共有 () A.10种B.60种C.125种D.243种 ·8· 第六章计数原理 五维课堂型 2.用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复 4.5名班委员进行分工，其中A不适合当班 数字的三位数的个数为 ( 长，B只适合当学习委员，则不同的分工方 A.243 B.252C.261 D.648 案种数为 3.中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中 5.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选 国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨 出3种，分别种在不同土质的三块土地上， 伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多 分别印有数字1,2,3，…，8.现准备给该伞 少种？ 面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜 色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称 的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色 相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择， 则不同的涂色方案有 种 c温馨提 学习至此，请完成配套训练 6.2棘列与组合 6.2.1棘列 6.2.2棘列数 第1课时 排列与排列数 课程标准 素养解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养 题的所有排列 2.借助排列数公式进行计算，培养数学运算的 2.会用排列数公式进行求值和证明 素养 ● 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 教师节当天，市委领导到学校考察，听完 [知识点一]排列的概念 一节课后与老师们座谈，有12位教师参加，面 1.一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n) 个对象，按照 排成一列， 对市委领导坐成一排. 称为从n个不同对象中取出m个对象的一 问题：这12位老师的坐法共有多少种？ 个排列. ·9·世五维课堂 法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在 每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个， 5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足 条件的两位数共有1十2+3十4十5十6+7+8=36（个）. [例2]解：完成从这三种型号的电视机中各选1台检验可 分三步完成： 第一步：从甲种型号中选1台，有10种不同的方法： 第二步：从乙种型号中选1台，有8种不同的方法； 第三步：从丙种型号中选1台，有12种不同的方法. 根据分步乘法计数原理，得10×8×12=960（种）. 因此共有960种不同的方法. 变式训练 2.解：(1)分三步： 第一步，排个位，有4种方法； 第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种 方法； 第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方 法.故共有4×3×2=24（个）满足要求的三位数， (2)第一步，排个位，只能从2,4中选1个，有2种方法； 第二步，排十位，从剩下的3个数中选1个，有3种方法； 第三步，排百位，只能从剩下的2个数字中选1个，有2种 方法」 故共有2×3×2=12（个）满足要求的三位偶数， [例3]解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法； 从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不 同的选法.根据分类加法计数原理，共有5十2+7=14 (种)不同的选法」 (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同 的选法，根据分步乘法计数原理，共有5X2×7=70(种)不 同的选法」 (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由 分步乘法计数原理知，有5×2=10（种）不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7= 35(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2X7= 14(种)不同的选法. 所以共有10+35十14=59（种）不同的选法. 变式训练 3.解：(1)从高一选1人作为总负责人有50种选法；从高二 选1人作为总负责人有42种选法；从高三选1人作为总 负责人有30种选法.由分类加法计数原理，可知共有50 十42+30=122（种）选法. ·11 数学·选择性必修第三册 (2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负 责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法.由 分步乘法计数原理，可知共有50×42×30=63000（种） 选法 (3)①从高一和高二中各选1人作为中心发言人，有50× 42=2100(种)选法：②从高二和高三中各选1人作为中 心发言人，有42×30=1260（种）选法；③从高一和高三 中各选1人作为中心发言人，有50×30=1500（种）选法 故共有2100十1260+1500=4860（种）选法. 当堂达标 1.A[每一种方法都能证明该问题，根据分类加法计数原 理，不同的选法共有6十4=10（种）.] 2.C[因为3542是能排出的四位数中千位为3的最大的 数，所以比3542大的四位数的千位只能是4或5，所以共 有2×5×4×3=120个比3542大的四位数.] 3.解析：根据分类加法计数原理知，从中任选1人参加学科 竞赛，不同的选派方法共有4十5=9（种）；由分步乘法计 数原理知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科 竞赛，不同的选派方法共有4×5=20（种）. 答案：920 4.解析：完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生， 有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分 类加法计数原理，共有N=38+18=56(种)不同的选法. 答案：56 5.解析：取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计 数原理有10×9=90（种）不同取法；取两本书中，一本语 文、一本英语，有9X8=72(种)不同取法，取两本书中，一 本数学、一本英语，有10X8=80(种)不同取法.综合以上 三类，利用分类加法计数原理，共有90十72十80=242 (种)不同取法. 答案：242 6.1.2基本计数原理的应用 课前预习学案 预习自测 1.提示：(1)X在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方 法是不同的，若相同它只能在同一类方案中且只能算是一种 方法。 (2)√因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0~9共有 10个，所以总共可以编出26十10=36（种）不同的号码. (3)√在分类加法计数原理中的每一种办法都是独立 的，可单独完成这件事 参考答案 2C[这名学生会主席可能是一班学生，可能是二班学生，也 可能是三班学生.依分类加法计数原理，共有50十50+52= 152(种)不同选法.] 3.B[完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不 同的选法；第二步，选长裤有3种不同的选法.所以根据 分步乘法计数原理共有4×3=12（种）不同的搭配方法.] 4.解析：用1,2,3这三个数字能写出1个一位偶数，2； 用1,2,3这三个数字能写出2个没有重复数字的两位偶 数，12,32； 用1,2,3这三个数字能写出2个没有重复数字的三位偶 数，132,312. 所以用1,2,3这三个数字共能写出5个没有重复数字的 偶数 答案：5 课堂互动学案 [例1]解：(1)分步解决. 第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取 方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取 方法； 第三步；选取左边第三个位置上的数字，有4种选取 方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取 方法 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有 6×5×4×3=360(个). (2)分步解决。 第一步：首位数字有5种选取方法； 第二步：百位数字有5种选取方法； 第三步：十位数字有4种选取方法； 第四步：个位数字有3种选取方法. 由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有 5×5×4×3=300(个). (3)法一：按末位是0,2,4分为三类： 第一类：末位是0的有4×4×3=48（个）； 第二类：末位是2的有3×4×3=36（个）； 五维课堂 第三类：末位是4的有3×4×3=36（个）. 则由分类加法计数原理有N=48十36十36=120（个）. 法二：按千位是2,3,4,5分四类： 第一类：千位是2的有2×4×3=24（个）； 第二类：千位是3的有3×4×3=36（个）； 第三类：千位是4的有2×4×3=24（个）； 第四类：千位是5的有3×4×3=36（个）. 则由分类加法计数原理有N=24+36十24+36=120（个）. 法三：用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶 数分两类： 第一类：末位是0的有5×4×3=60（个）； 第二类：末位是2或4的有2×4×4×3=96（个）. 共有60十96=156（个）. 其中比2000小的有：千位是1的共有3×4×3=36（个）， 所以符合条件的四位偶数共有156一36=120（个）. 变式训练 1.B[由于三位数是奇数，分两类：奇偶奇和偶奇奇.(1)若 是奇偶奇，则个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2 种选择，共有3×2×2=12（个）奇数；(2)若是偶奇奇，则 个位有3种选择，十位有2种选择，百位不能选0，有1种 选择，共有3×2×1=6（个）奇数.因此总共有12+6= 18(种)情况.] [例2]C[法一：（直接法）》 以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类： 第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情 况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外 三个工厂，其分配方案共有3×3=9（种）： 第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个 工厂，其分配方案共有3×3×3=27（种）. 综上所述，不同的分配方案有1十9十27=37（种）. 法二：（间接法） 先计算三个班自由选择去工厂的总数，再扣除甲工厂无 人去的情况，即4×4×4-3×3X3=37(种)方案.] 变式训练 2.解：（以小球为研究对象）分三步来完成： 第一步：放第一个小球有5种选择； 第二步：放第二个小球有4种选择； 3 世五维课堂 第三步：放第三个小球有3种选择。 根据分步乘法计数原理得： 共有方法数N=5×4×3=60(种). [例3]解析：分别用α，b,c代表3种作物，先安排第一块 田，有3种方法，不妨设放入Q,再安排第二块田，有两种 方法b或c,不妨设放入b,第三块也有两种方法a或c. ①若第三块田放c: 第四、五块田分别有2种方法，共有2X2=4(种)方法. ②若第三块田放a: a b a 第四块有b或c两种方法， (i)若第四块放c: ab a c 第五块有2种方法； （ⅱ)若第四块放b: a b a b 第五块只能种作物c,共1种方法。 综上，共有3×2×(2×2+2十1)=42（种）方法. 答案：42 [例4幻解：第1个小方格可以从5种颜色中选任何一种颜 色涂上，有5种不同的涂法. ①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3= 12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由 分步乘法计数原理可知有5×12×3=180（种）不同的 涂法。 ②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由 于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂 法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4=80（种）不同的 涂法 由分类加法计数原理可得共有180十80=260（种）不同 的涂法 变式训练 3.解析：分两大类. 第一大类，6,5,1,2四部分栽种4种不同颜色的花，共分 两步 第1步，在6,5,1,2四部分栽种不同颜色的花，共有4×3 ×2×1=24(种)不同栽法； ·1j 数学·选择性必修第三册 第2步，栽种3,4部分，又有两类.第1类，3与6栽种的 颜色相同，4与2栽种的颜色相同，有1种栽法；第2类，3 与5栽种的颜色相同，4与2或6栽种的颜色相同，有2 种栽法，共有1+2=3（种）栽法. 由分步乘法计数原理，第一大类共有24×3=72（种）不同的 栽种方法 第二大类，在6,5,1,2四部分中，2与5栽种的颜色相同， 可分三步 第1步，栽种6,5,1部分，可从4种颜色的花中选3种进 行栽种，有4×3×2=24（种）栽法； 第2步，栽种第2部分，与5相同，有1种栽法； 第3步，栽种3,4部分，又有两类.第1类，3与6相同，4 栽种剩余的第4种颜色的花，有1种栽法；第2类，3栽种 剩余第4种颜色的花，4与6栽种相同颜色的花，有1种 栽法，共有2种栽法」 由分步乘法计数原理得第二大类共有24×1×2=48（种） 不同的栽种方法.故共有72十48=120（种）不同的栽种 方法 答案：120 当堂达标 1.D[五人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选 择共有35=243种，故选D.] 2.B[0,1,2,…,9共能组成9×10×10=900（个）三位数，其 中无重复数字的三位数有9×9×8=648（个），所以有重 复数字的三位数有900-648=252（个）.] 3.解析：根据题意，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即可确 定整个伞面的涂色.先涂区域1，有6种选择，再涂区域2， 有5种选择，当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3 有4种选择，剩下的区域4有4种选择；当区域3与区域 1涂的颜色相同时，剩下的区域4有5种选择，故不同的 涂色方案有6×5×(4×4十5)种=630种. 答案：630 4.解析：根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不 适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余 的3人担任剩余的工作，有3×2×1=6（种）情况，由分步 乘法计数原理，可得出共有1×3×6=18（种）分工方案. 答案：18 参考答案 5.解：法一：（直接法）若黄瓜种在第一块土地上，则有3X2 ×1=6(种)不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第 三块土地上均有3×2×1=6（种）不同的种植方法.故不 同的种植方法共有6×3=18（种）. 法二：（间接法）从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有 4×3×2=24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1=6（种）方 法，故共有24一6=18（种）不同的种植方法. 6.2辙列与组合 6.2.1排列 6.2.2 排列数 第1课时排列与排列数 课前预习学案 知识梳理 知识点一 1.一定的顺序2.m=n取出所有对象 [思考] 1.提示：一定顺序就是指排列中的元素与位置有关，当位置 不同时排列也就不同」 2.提示：一是“取出不同的元素”，二是“将元素按一定顺序 排列”. 3.提示：两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序 均相同. 知识点二 所有排列n(n-1)(n-2)…(n-m十1)n×(n-1)× (n-2)X…X21n!11 [思考] 4.提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念.“排列”是指 “按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序 有关，例如排列AB与排列BA是不同的，可以把一个排 列看成一个类似点坐标的有序数对，它不是一个数，而是 完成一件事的方法」 “排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 的所有不同排列的个数”，它是一个数.如A,B,C三名同 学站成一排照相留念的排列有以下6种形式：ABC, ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.这里的每一种形式都是一 个排列，而排列数是6. 预习自测 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.C[A=100×99×98×…×(100-12+1)=100×99 ×98×…×89.] ·11 五维课堂兰 3.C[由排列的定义可知，共有A=3×2×1=6(种)排列 方法.] A 4.解析： 4×3×2 1 5×4×3×2X15, 答案：方 1 课堂互动学案 [例1]解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同 的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同 的活动中 (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活 动，没有顺序之分. (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有 要求 (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分 母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会 产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列. (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安 排给三个学生 变式训练 1.解：(1)由于取出的两数组成，点的坐标与哪一数作横坐 标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列 问题」 (2)因为从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不 用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题 (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列 问题 所以(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题. [例2]解：(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32， 24,42,34,43,共有12个不同的两位数. (2)由题意作树形图，如图. 这众 故所有的排列为：abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac, bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb, dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,共有24个. 5