6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 主讲教师： 学 校： 年 级：高二 学 科：高中数学（人教A版） 问题 近期学校新购置了一批课桌，需要对每张课桌设定一个编号（由1个字母和2个数字组成），编号的第一个位置要求是字母，后两个位置是数字（可以重复），你觉得有多少种不同的编号？ 这就是本章要研究的“计数”问题. 如果问题中数量较少，通过列举一个一个地数也是计数的一种基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高或者不现实.所以我们有必要去探索一些高效巧妙的计数方法。 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 思考1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 给一个座位编号 怎么去做这件事情 在字母或数字中选择一个 每类能否单独完成 能够，关键词是“或” 如何计数 26+10=36（种） 你能概括出上述计数过程的基本环节吗？ （1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类 （2）分别计算各类号码的个数 （3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数. 一般地，有如下分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 例1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如右表所示： A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 经济学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每类能否单独完成 如何计数 选择一个专业 从A大学或B大学中选择一个专业 能够，关键词是“或” 5+4=9（种） 变式1 如果数学也是A大学的强项专业，如右表所示：那么 A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择， 如果只能选一个专业，那么这名同学共有多少种选择？ 注意：运用分类加法计数原理的前提条件是：每类不同方案中的方法互不相同. A大学 B大学 数学 数学 生物学 会计学 化学 经济学 医学 法学 物理学 工程学 解：因为只区分专业选择的不同，而不区分专业从属学校的 差异，所以当数学均为A，B两所大学的强项专业时，专业可 选择种数为6+4－1=9. 变式2 在例1的条件下增加C大学的2个不同专业，如右表所示： 这时这名同学从中选择一个专业，共有多少种选择？ A大学 B大学 C大学 生物学 数学 教育学 化学 会计学 心理学 医学 经济学 物理学 法学 工程学 解：因为3所大学没有一个专业是相同的，所以根据分类加法 计数原理，这名同学可能的专业选择种数为N=5+4+2=11. 小结：如果完成一件事有三类不同的方案，在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3 类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+m3 种不同的方法. 延伸：如果完成一件事有n类不同的方案，在每一类方案中分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+……+mn种不同的方法. 你能举几个生活中可以运用分类加法计数原理的计数例子吗? 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每类能否单独完成 如何计数 思考2：用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 注意：树状图是解决计数问题常用的方法. 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 给一个座位编号 怎么去做这件事情 先选一个字母，再选一个数字 每步骤能否单独完成 不能，关键词是“和” 如何计数 6×9=54（种） 字母 A 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 得到的号码 A1 A7 A5 A9 A4 A2 A3 A6 A8 你能概括出上述计数过程的基本环节吗？ （1）确定分步标准，根据问题条件分为先确定字母，后确定数字两步 （2）分别计算各步方法个数 （3）各步方法的个数相乘，得出所有号码的个数. 一般地，有如下分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 注意：无论第一步采用哪种方法，与之对应的第二步都有相同的方法数. 例2 某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每步骤能否单独完成 如何计数 选男生和女生各一名 先从男生中选一名，再从女生中选一名 不能，关键词是“和” 30×24=720（种） 变式 某班有男生30名，女生24名以及任课老师6名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛以及选出1名任课老师为比赛学生加油，共有多少种不同的选法？ 解：这里要完成的事情是“选男生，女生以及任课老师各1名”，可以分3个步骤：第一步，选男生，有30种选法；第二步，选女生，有24种选法；第三步，选任课老师，有6种选法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为N=30×24×6=4320. 小结：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步中有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有m1×m2×m3种不同的方法. 延伸：如果完成一件事需要n个步骤，做每一步分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×……×mn种不同的方法. 你能举几个生活中可以运用分步乘法计数原理的计数例子吗? 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每步骤能否单独完成 如何计数 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. （1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每类能否单独完成 如何计数 4+3+2=9（种） 从书架上取1本书 从第一层或第二层或第三层中挑选一本书 能够，关键词是“或” 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每步骤能否单独完成 如何计数 4×3×2=24（种） 从书架上取3本书 先从第一层挑1本书 再从第二层挑1本书 最后从第三层挑1本书 不能，表达“和”的意思 变式 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从中任取2本不同学科的书，有多少种不同取法？ 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每类能否单独完成 如何计数 4×3+4×2+3×2=26（种） 从书架上取2本不同学科的书 挑选计算机书和文艺书各1本 或挑选计算机书和体育书各1本 或挑选文艺书和体育书各1本 能够，但每一类内部又要分步完成 回顾问题 近期学校新购置了一批课桌，需要对每张课桌设定一个编号（由1个字母和2个数字组成），编号的第一个位置要求是字母，后两个位置是数字（可以重复），你觉得有多少种不同的编号？ 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每步骤能否单独完成 如何计数 26×10×10=2600（种） 设定一个编号 先第一个位置选字母 再第二个位置选数字 最后第三个位置选数字 不能，关键词是“和” 课堂小结 1.分类加法计数原理： 2.分步乘法计数原理： 如果完成一件事有n类不同的方案，在每一类方案中分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+……+mn种不同的方法. 如果完成一件事需要n个步骤，做每一步分别有m1，m2，m3，……，mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×……×mn种不同的方法. 分类完成 相加 分步完成 相乘 在运用两个计数原理解决问题之前，最重要的是要在开始计算之前仔细分析要完成的“一件事”是什么？怎么完成？ 不重不漏 步骤完整 同学们，再见 $$