6.1.1 基本计数原理（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章计数原理 五维课堂兰 第九章 计数原理 6.1分美加法计数原理与分步乘法计数原理 6.1.1基本计数原理 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解分类加法计数原理及其1.通过两个计数原理的学习，培养逻辑推理的 意义 素养 2.通过实例，了解分步乘法计数原理及其2.借助两个计数原理解决一些简单的实际问 意义 题，提升数学运算的素养 课前。预习学案 [情境引入] m.种不同的方法，那么完成这件事共有N 某赛季足球比赛的 三 种不同的 计分规则是：胜一场，得3 方法。 分；平一场，得1分；负一 ?思考1.定义中每一类中的每一种方法能 场，得0分.一球队打完 否独立完成这件事？ 15场，积分为33分，若不 考虑顺序，你能确定该队胜、负、平的情况吗？ 若能，有多少种情况？ 2.各种方案之间有何关系？每一类方案中各 [知识梳理] 种方法之间有何关系？ [知识点一]分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案 中有m种不同的方法，在第2类方案中共 有n种不同的方法，那么完成这件事共有 [知识点二]分步乘法计数原理 种不同方法。 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 推广：完成一件事，如果有n类办法，且第一 种不同的方法，做第2步有n种不同的方 类办法中有m1种不同的方法，第二类办法 法，那么完成这件事共有N= 种不 中有2种不同的方法…第n类办法中有 同的方法 1。 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 推广：完成一件事，如果需要分成个步骤， ?思考6.分类加法计数原理每一类中的方 且做第一步有m1种不同的方法，做第二步 法和分步乘法计数原理每一步中的方法有 有m2种不同的方法…做第n步有mn种 何区别？ 不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法 ?思考3.定义中每一步中的每一种方法能 否独立完成这件事？ [预习自测] 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”）. (1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方 法都能完成这件事 ( 4.定义中的“完成一件事”指的是什么？ (2)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成 这个步骤的方法是各不相同的 (3)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完 5.根据定义完成一件事的方法数怎样计算？ 成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完 成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情 才算完成 2.某校高一年级共8个班，高二年级共6个 [知识点三]分类加法计数原理与分步乘法 班，从中选一个班级负责学校星期一早晨升 计数原理的区别与联系 旗活动，安排方法共有 () 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 分类 分步 A.8种B.6种C.14种D.48种 每类方案都能独 每一步得到的只是 3.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种 立完成这件事， 中间结果，任何一步 交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发 它是独立的、一 都不能独立完成这 4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种 次性的且每次得 件事，缺少任何一步 本质 到的是最后结 也不能完成这件事， 交通工具的不同走法数为 ) 果，只需一种方 只有各个步骤都完 A.1+1+1=3 B.3+4+2=9 法就可完成这 成了，才能完成这 C.3×4×2=24 D.以上都不对 件事 件事 4.已知x∈{2,3,7}，y∈{-1，-2,4}，则(x, 各步之间是关联的、 y)可表示不同的点的个数是 ( 各类 各类方案之间是 独立的，“关联”确保 (步)的 互斥的、并列的， 连续性，“独立”确保 A.1 B.3 C.6 D.9 关系 即“分类互斥” 不重复，即“分步互 5.一个礼堂有4个门，若从任意一个门进时， 依” 从任意一门出，共有不同走法 种 ·2· 第六章计数原理 五维课堂兰 课堂。互动学案 题型一 分类加法计数原理的应用 规律方法 1.应用分类加法计数原理应注意如下问题 [例1]高三·一班有学生50人，男生30人， 女生20人；高三·二班有学生60人，男生30 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么 事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才 人，女生30人；高三·三班有学生55人，男生 算是完成这件事. 35人，女生20人 (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立 (1)从高三·一班、二班或三班中选一名学 完成这件事，而不需要再用到其他的方 生任校学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三·一班、二班男生中，或从高三· 法.即各类方法之间是互斥的，并列的， 独立的. 三班女生中选一名学生任校学生会体育部 (3)不同方案的任意两种方法是不同的方 长，有多少种不同的选法？ 法，也就是分类时必须做到既“不重复” 汇思路点拨了所谓“完成一件事，有几类方 也“不遗漏” 案”，是指对完成这件事情的所有方案的 2.利用分类加法计数原理计数时的解题 个分类.利用分类加法计数原理求解。 流程 分类→将完成这件事的方法分成若干类 计数→求出每一类的方法数 结论→将每一类的方法数相加得出结果 ⊙[变式训练] 1.(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其 中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7 人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一 人为组长，有多少种不同的选法？ (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位 数字的两位数共有多少个？ ·3· 世五维课堂 数学·选择性必修第三册 题型二分步乘法计数原理的应用 ⊙[变式训练] [例2]某商店现有甲种型号电视机10台，乙 2.从1,2,3,4这四个数字中选三个数字，组成 种型号电视机8台，丙种型号电视机12台， 无重复数字的整数，则满足下列条件的数有 从这三种型号的电视机中各选1台检验，有 多少个？ 多少种不同的选法？ (1)三位数； [思路点拔]本题中要完成的事是在每种 (2)三位偶数 型号的电视机中选择1台，而每种型号的 选择方法数又是明确可知的，故应分步 完成 规律方法 题型目 两个计数原理的综合应用 1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情 [例3]现有5幅不同的国画，2幅不同的油 要分几个步骤，只有每个步骤都完成了， 画，7幅不同的水彩画， 才算完成这件事情，每个步骤缺一不可， (1)从中任选一幅画布置房间，有多少种不 2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路； 同的选法？ (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步； (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布 (2)计数：求出每一步中的方法数； 置房间，有多少种不同的选法？ (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终 (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置 结果 房间，有多少种不同的选法？ 第六章计数原理 五维课堂坐 思路点拨了 (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求 完成 分类 分类加法计数原理 这两人要来自不同的年级，则有多少种不同 件事 的选法？ 分步 分步乘法计数原理 [当堂达标] 1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方 法证明，有6名同学只会用综合法证明，有 4名同学只会用分析法证明，现从这些同学 中任选1名同学证明这个问题，不同的选法 种数为 ( A.10 B.16 C.20 D.24 2.用0、1、2、3、4、5六个数字组成无重复数字 的四位数，比3542大的四位数的个数是 ( 规律方法 A.360 B.240 C.120 1.当题目无从下手时，可考虑要完成的这件 D.60 3.一个科技小组中有4名女同学和5名男同 事是什么，即怎样做才算完成这件事，然 学，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选 后给出完成这件事的一种或几种方法，从 派方法共有 这几种方法中归纳出解题方法. 种；若从中任选1名女 同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选 2.分类时标准要明确，做到不重不漏，有时 派方法共有 种 要恰当画出示意图或树状图，使问题的分 4.为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二 析更直观、清楚，便于探索规律， 3.混合问题一般是先分类再分步： (1)班的男生38人和女生18人中选取1名学 生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代 ⊙[变式训练] 表的方法有 种 3.现有高一学生50人，高二学生42人，高三学 5.有10本不同的数学书，9本不同的语文书， 生30人，组成冬令营. 8本不同的英语书，从中任取两本不同类的 (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少 书，共有 种不同的取法。 种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 不同的选法？ ·5参考答案 参考 第六章计数原理 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 6.1.1基本计数原理 课前预习学案 知识梳理 知识点一 m十nm1+m2+…十mn [思考] 1.提示：能，每一类中的每一种方法都能独立完成这件事。 2.提示：各种方案之间相互独立，并且任何一类方案中任何 一种方法也相互独立， 知识点二 mXnm1Xm2X…Xmn [思考] 3.提示：不能，每一步中的每一种方法不能独立完成这 件事， 4.提示：完成一件事指的是将完成这件事划分成几个步骤， 各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了， 整个事件才算完成 5.提示：从计数上看，各步的方法数的积就是完成这一件事 的方法总数， 知识点三 6.提示：分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件 事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完 成一件事情」 预习自测 1.(1)/(2)/(3)/ 2.C[分两类：第1类，从高一年级8个班中选一个班共有 8种安排方法；第2类，从高二年级中选一个班共有6种 安排方法.故共有8十6=14（种）安排方法.所以选C.] 3.B[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走 法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类， 乘轮船，从2次中选1次有2种走法.所以，共有3十4十 2=9(种)不同的走法.] ·11 五维课堂到 答案 4.D[这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中 任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{一1，一2,4}中 任取一个值y有3种方法.根据分步乘法计数原理知，有 3X3=9(个)不同的，点.] 5.解析：由分步乘法计数原理得4×4=16种. 答案：16 课堂互动学案 [例1][解](1)分三类： 第一类选法，从高三·一班中任选一名，有50种不同的 方法； 第二类选法，从高三·二班中任选一名，有60种不同的 方法； 第三类选法，从高三·三班中任选一名，有55种不同的 方法 根据分类加法计数原理，得50十60十55=165（种）， 因此共有165种不同的选法. (2)分三类： 第一类选法，从高三·一班男生中任选一名，有30种不同的 方法； 第二类选法，从高三·二班男生中任选一名，有30种不同的 方法； 第三类选法，从高三·三班女生中任选一名，有20种不同的 方法」 根据分类加法计数原理，得30十30十20=80（种）. 故共有80种不同的选法， 变式训练 1.解：(1)分四类： 从一班中选一人，有4种选法； 从二班中选一人，有5种选法； 从三班中选一人，有6种选法； 从四班中选一人，有7种选法 共有不同选法N=4十5+6+7=22（种）. (2)法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情 况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是 8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计 数原理知，符合题意的两位数共有8十7十6十5十4十3十2 +1=36(个). 世五维课堂 法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在 每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个， 5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足 条件的两位数共有1十2+3十4十5十6+7+8=36（个）. [例2]解：完成从这三种型号的电视机中各选1台检验可 分三步完成： 第一步：从甲种型号中选1台，有10种不同的方法： 第二步：从乙种型号中选1台，有8种不同的方法； 第三步：从丙种型号中选1台，有12种不同的方法. 根据分步乘法计数原理，得10×8×12=960（种）. 因此共有960种不同的方法. 变式训练 2.解：(1)分三步： 第一步，排个位，有4种方法； 第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种 方法； 第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方 法.故共有4×3×2=24（个）满足要求的三位数， (2)第一步，排个位，只能从2,4中选1个，有2种方法； 第二步，排十位，从剩下的3个数中选1个，有3种方法； 第三步，排百位，只能从剩下的2个数字中选1个，有2种 方法」 故共有2×3×2=12（个）满足要求的三位偶数， [例3]解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法； 从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不 同的选法.根据分类加法计数原理，共有5十2+7=14 (种)不同的选法」 (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同 的选法，根据分步乘法计数原理，共有5X2×7=70(种)不 同的选法」 (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由 分步乘法计数原理知，有5×2=10（种）不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7= 35(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2X7= 14(种)不同的选法. 所以共有10+35十14=59（种）不同的选法. 变式训练 3.解：(1)从高一选1人作为总负责人有50种选法；从高二 选1人作为总负责人有42种选法；从高三选1人作为总 负责人有30种选法.由分类加法计数原理，可知共有50 十42+30=122（种）选法. ·11 数学·选择性必修第三册 (2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负 责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法.由 分步乘法计数原理，可知共有50×42×30=63000（种） 选法 (3)①从高一和高二中各选1人作为中心发言人，有50× 42=2100(种)选法：②从高二和高三中各选1人作为中 心发言人，有42×30=1260（种）选法；③从高一和高三 中各选1人作为中心发言人，有50×30=1500（种）选法 故共有2100十1260+1500=4860（种）选法. 当堂达标 1.A[每一种方法都能证明该问题，根据分类加法计数原 理，不同的选法共有6十4=10（种）.] 2.C[因为3542是能排出的四位数中千位为3的最大的 数，所以比3542大的四位数的千位只能是4或5，所以共 有2×5×4×3=120个比3542大的四位数.] 3.解析：根据分类加法计数原理知，从中任选1人参加学科 竞赛，不同的选派方法共有4十5=9（种）；由分步乘法计 数原理知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科 竞赛，不同的选派方法共有4×5=20（种）. 答案：920 4.解析：完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生， 有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分 类加法计数原理，共有N=38+18=56(种)不同的选法. 答案：56 5.解析：取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计 数原理有10×9=90（种）不同取法；取两本书中，一本语 文、一本英语，有9X8=72(种)不同取法，取两本书中，一 本数学、一本英语，有10X8=80(种)不同取法.综合以上 三类，利用分类加法计数原理，共有90十72十80=242 (种)不同取法. 答案：242 6.1.2基本计数原理的应用 课前预习学案 预习自测 1.提示：(1)X在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方 法是不同的，若相同它只能在同一类方案中且只能算是一种 方法。 (2)√因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0~9共有 10个，所以总共可以编出26十10=36（种）不同的号码. (3)√在分类加法计数原理中的每一种办法都是独立 的，可单独完成这件事