6.1.1 基本计数原理（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章计数原理 第九章 计数原理 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 6.1.1基本计数原理 课程标准 素养解读 1.通过两个计数原理的学习，培养逻辑推理的素养 1.通过实例，了解分类加法计数原理及其意义 2.借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数 2.通过实例，了解分步乘法计数原理及其意义 学运算的素养 课前。预习学案 对应学生用书P1 ● [情境引入] [知识点二]分步乘法计数原理 某赛季足球比赛的计分 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的 规则是：胜一场，得3分；平 方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件 场，得1分；负一场，得0分 一球队打完15场，积分为33 事共有N=m×n种不同的方法。 分，若不考虑顺序，你能确定 推广：完成一件事，如果需要分成n个步骤，且做第 该队胜、负、平的情况吗？若 一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同 能，有多少种情况？ [知识梳理了 的方法…做第n步有mm种不同的方法，那么完 [知识点一]分类加法计数原理 成这件事共有N=m,×m2×…Xm种不同的 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 方法。 种不同的方法，在第2类方案中共有n种不同的方 法，那么完成这件事共有m十n种不同方法. 2思考3.定义中每一步中的每一种方法能否独立 推广：完成一件事，如果有n类办法，且第一类办法 中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不 完成这件事？ 同的方法…第n类办法中有m,种不同的方法， 提示：不能，每一步中的每一种方法不能独立完成 那么完成这件事共有N=m1十m2十…+mn种不 这件事。 同的方法 4.定义中的“完成一件事”指的是什么？ ?思考1.定义中每一类中的每一种方法能否独立 提示：完成一件事指的是将完成这件事划分成几 完成这件事？ 提示：能，每一类中的每一种方法都能独立完成这 个步骤，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有 件事. 步骤都完成了，整个事件才算完成： 2.各种方案之间有何关系？每一类方案中各种方法 5.根据定义完成一件事的方法数怎样计算？ 之间有何关系？ 提示：各种方案之间相互独立，并且任何一类方案 提示：从计数上看，各步的方法数的积就是完成这 中任何一种方法也相互独立. 一件事的方法总数 数学·选择性必修第三册 [知识点三]分类加法计数原理与分步乘法计数原 2.某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中 理的区别与联系 选一个班级负责学校星期一早晨升旗活动，安排方 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 法共有 关键词 分类 分步 A.8种B.6种C.14种D.48种 每类方案都能独 每一步得到的只是 解析：C[分两类：第1类，从高一年级8个班中选 立完成这件事， 中间结果，任何一步 一个班共有8种安排方法；第2类，从高二年级中 它是独立的、一 都不能独立完成这 选一个班共有6种安排方法.故共有8十6=14（种） 次性的且每次得 件事，缺少任何一步 本质 安排方法.所以选C.] 到的是最后结 也不能完成这件事， 果，只需一种方 只有各个步骤都完 3.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工 法就可完成这 成了，才能完成这 具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2 件事 件事 次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法 各步之间是关联的、 数为 各类 各类方案之间是 独立的，“关联”确保 A.1+1+1=3 B.3+4+2=9 (步)的 互斥的、并列的， 连续性，“独立”确保 C.3×4×2=24 D.以上都不对 关系 即“分类互斥” 不重复，即“分步 解析：B[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1 互依” 次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有 ?思考6.分类加法计数原理每一类中的方法和分 4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种 步乘法计数原理每一步中的方法有何区别？ 走法.所以，共有3十4十2=9（种）不同的走法.] 提示：分类加法计数原理每一类中的方案可以完 4.已知x∈{2,3,7}，y∈{-1，-2,4}，则(x,y)可表 成一件事情，而分步乘法计数原理每一步中的方 示不同的点的个数是 ( 法不能独立完成一件事情： A.1 B.3 C.6 D.9 [预习自测] 解析：D[这件事可分为两步完成：第一步，在集 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）， 合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集 (1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能 合{-1，一2,4}中任取一个值y有3种方法.根据 完成这件事】 (/) 分步乘法计数原理知，有3×3=9（个）不同的点.] (2)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步 骤的方法是各不相同的. (√) 5.一个礼堂有4个门，若从任意一个门进时，从任意 (3)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那 门出，共有不同走法 种 么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有 解析：由分步乘法计数原理得4×4=16种. 两个步骤都完成后，这件事情才算完成。 (/) 答案：16 课堂。互动学案 对应学生用书P3 题型一分类加法计数原理的应用 汇思路点拨了所谓“完成一件事，有九类方案”，是 [例1]高三·一班有学生50人，男生30人，女生 指对完成这件事情的所有方案的一个分类.利用分 20人；高三·二班有学生60人，男生30人，女生30 类加法计数原理求解。 人；高三·三班有学生55人，男生35人，女生 [解](1)分三类： 20人 第一类选法，从高三·一班中任选一名，有50种不 (1)从高三·一班、二班或三班中选一名学生任校 同的方法； 学生会主席，有多少种不同的选法？ 第二类选法，从高三·二班中任选一名，有60种不 (2)从高三·一班、二班男生中，或从高三·三班女 同的方法； 生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不 第三类选法，从高三·三班中任选一名，有55种不 同的选法？ 同的方法 第六章计数原理 根据分类加法计数原理，得50十60+55=165（种）， 题型二“分步乘法计数原理的应用 因此共有165种不同的选法. [例2]某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号 (2)分三类： 电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号 第一类选法，从高三·一班男生中任选一名，有30种 的电视机中各选1台检验，有多少种不同的选法？ 不同的方法； [思路点拔了本题中要完成的事是在每种型号的 第二类选法，从高三·二班男生中任选一名，有30种 电视机中选择1台，而每种型号的选择方法数又是 不同的方法； 第三类选法，从高三·三班女生中任选一名，有20种 明确可知的，故应分步完成 不同的方法！ 解：完成从这三种型号的电视机中各选1台检验可 根据分类加法计数原理，得30+30十20=80（种）. 分三步完成： 故共有80种不同的选法. 第一步：从甲种型号中选1台，有10种不同的 规律方法 方法； 1.应用分类加法计数原理应注意如下问题 第二步：从乙种型号中选1台，有8种不同的方法； (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事， 第三步：从丙种型号中选1台，有12种不同的 完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完 方法 成这件事. 根据分步乘法计数原理，得10×8×12=960（种）. (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成 因此共有960种不同的方法. 这件事，而不需要再用到其他的方法.即各类 方法之间是互斥的，并列的，独立的。 规律方法… (3)不同方案的任意两种方法是不同的方法，也 1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分 就是分类时必须做到既“不重复”也“不遗 几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成 漏” 这件事情，每个步骤缺一不可. 2.利用分类加法计数原理计数时的解题流程 2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路； 分类一→将完成这件事的方法分成若干类 (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步； (2)计数：求出每一步中的方法数； 计数一求出每一类的方法数 (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果。 ⊙[变式训练] 结论→将每一类的方法数相加得出结果 2.从1,2,3,4这四个数字中选三个数字，组成无重复 ◇[变式训练] 数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？ 1.(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、 (1)三位数； 二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿 (2)三位偶数 组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种 解：（1)分三步： 不同的选法？ 第一步，排个位，有4种方法； (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的 第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3 两位数共有多少个？ 种方法； 解：(1)分四类： 第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2 从一班中选一人，有4种选法； 种方法.故共有4×3×2=24（个）满足要求的三 从二班中选一人，有5种选法； 位数 从三班中选一人，有6种选法； 从四班中选一人，有7种选法 (2)第一步，排个位，只能从2,4中选1个，有2种 共有不同选法N=4十5十6十7=22（种）. 方法； (2)法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7， 第二步，排十位，从剩下的3个数中选1个，有3种 8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两 方法； 位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 第三步，排百位，只能从剩下的2个数字中选1个， 个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共 有2种方法。 有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）. 故共有2×3×2=12（个）满足要求的三位偶数 法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8 题型 两个计数原理的综合应用 类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2 [例3]现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅 个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加 法计数原理知，满足条件的两位数共有1十2十3十 不同的水彩画. 4+5+6+7+8=36(个). (1)从中任选一幅画布置房间，有多少种不同的 选法？ ·3· 数学·选择性必修第三册 (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房 (3)①从高一和高二中各选1人作为中心发言人， 间，有多少种不同的选法？ 有50×42=2100（种）选法；②从高二和高三中各 (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间， 选1人作为中心发言人，有42×30=1260（种）选 有多少种不同的选法？ 法；③从高一和高三中各选1人作为中心发言人， [思路点拨 有50×30=1500（种）选法.故共有2100+1260 十1500=4860（种）选法. 完成 分类 分类加法计数原理 件事 [当堂达标] 分步一 分步乘法计数原理 1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明， 解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法； 有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用 从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有 分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这 7种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有5十 个问题，不同的选法种数为 ( ) 2+7=14(种)不同的选法」 A.10 B.16 C.20 D.24 (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7 解析：A[每一种方法都能证明该问题，根据分类 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5X2× 加法计数原理，不同的选法共有6十4=10（种）.] 7=70(种)不同的选法. 2.用0、1、2、3、4、5六个数字组成无重复数字的四位 (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油 数，比3542大的四位数的个数是 画，由分步乘法计数原理知，有5×2=10（种）不同 A.360 B.240C.120 D.60 的选法； 解析：C[因为3542是能排出的四位数中千位为 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7 3的最大的数，所以比3542大的四位数的千位只 =35(种)不同的选法： 能是4或5，所以共有2×5×4×3=120个比3542 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7 大的四位数.] =14(种)不同的选法. 3.一个科技小组中有4名女同学和5名男同学，从中 所以共有10+35+14=59（种）不同的选法。 任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有 规律方法 种；若从中任选1名女同学和1名男同学 1.当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是 参加学科竞赛，不同的选派方法共有 种. 什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完 解析：根据分类加法计数原理知，从中任选1人参 成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中 加学科竞赛，不同的选派方法共有4十5=9（种）； 归纳出解题方法 由分步乘法计数原理知，从中任选1名女同学和1 2.分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰 名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有 当画出示意图或树状图，使问题的分析更直 4×5=20(种). 观、清楚，便于探索规律. 答案：920 3,混合问题一般是先分类再分步 4.为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男 ◇[变式训练] 生38人和女生18人中选取1名学生做代表，参加学 3.现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人， 校组织的调查团，则选取代表的方法有 种 组成冬令营， 解析：完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名 (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同 男生，有38种选法；第二类：选1名女生，有18种 的选法？ 选法，根据分类加法计数原理，共有N=38十18= (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的 56(种)不同的选法」 选法？ 答案：56 (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人 5.有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不 要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有 解：(1)从高一选1人作为总负责人有50种选法； 种不同的取法。 从高二选1人作为总负责人有42种选法：从高三 解析：取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步 选1人作为总负责人有30种选法.由分类加法计 乘法计数原理有10×9=90（种）不同取法；取两本 数原理，可知共有50十42十30=122（种）选法. 书中，一本语文、一本英语，有9×8=72（种）不同 (2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选 取法，取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8 1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有 =80(种)不同取法.综合以上三类，利用分类加法 30种选法.由分步乘法计数原理，可知共有50×42 计数原理，共有90十72十80=242（种）不同取法. ×30=63000(种)选法. 答案：242 第六章计数原理 课后。素养提升 对应学生P159 [基础过关] 字组成无重复数字的三位数，则 1.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要 A.组成的三位数的个数为30 求从两类课程中选一门，则不同的选法共有( B.在组成的三位数中，奇数的个数为36 A.3种 B.4种 C.在组成的三位数中，“凸数”的个数为24 C.7种 D.12种 D.在组成的三位数中，“凸数”的个数为20 解析：C[选择课程的方法有2类：从A类课程中 解析：BD[A:5个数组成无重复的三位数的个数 选一门有3种不同的方法，从B类课程中选1门有 为5×4×3=60，故A错误； 4种不同的方法，∴.共有不同选法3十4=7（种）.] B:奇数为个位数是1,3,5的三位数，个数为3×4×3 2.已知x∈{2,3,7}，y∈{-3，-4,8}，则x·y可表 =36,故B正确；C:“凸数”分为3类，①十位数为5，则 示不同的值的个数为 有4×3=12个；②十位数为4，则有3×2=6个； A.8 B.12C.10 D.9 ③十位数为3，则有2×1=2个，所以共有20个，故 解析：D[分两步：第一步，在集合{2,3,7}中任取 C错误；D:由选项C的分析可知，D正确.] 一个值，有3种不同的取法；第二步，在集合 7.如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路 {一3，一4,8}中任取一个值，有3种不同的取法.故 的条数为 x·y可表示3×3=9（个）不同的值（易知各值互不 B 相同).] 3.某班小张等4位同学报名参加A,B,C三个课外活 解析：从A处到B处的电路接通可分两步：第一 动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能 步，前一个并联电路接通有2条线路；第二步，后一 报A小组，则不同的报名方法有 () 个并联电路接通有3条线路.由分步乘法计数原理 A.27种 B.36种 知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数 C.54种 D.81种 为2×3=6（条）. 解析：C[小张的报名方法有2种，其他3位同学 答案：6 各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3X 8.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行 3×3=54(种)不同的报名方法.] 车路线有 条 4.将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一 解析：经过一次十字路口可分两步：第一步确定入 条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不 口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路 同染色的方法种数为 ( 口任选一个，共3种，由分步乘法计数原理知不同 A.80 B.100 C.110 D.120 的行车路线有4×3=12（条）. 解析：D[如图，若先染A有5种色可 答案：12 选，B有4种色可选，C有3种色可选，D 9.工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需 有2种色可选，则不同染色方法共有5× 要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺 4×3×2=120(种).] 丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧 5.五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个 紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第 同学可自由选择，则不同的选择种数是 ) 四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方 A.5 B.5×4×3×2 式有 种 C.4 D.5×4 解析：C[每位同学有4种选择，由分步乘法计数 原理可得，5位同学就有4×4×4×4×4=4（种） 选择，故不同的选择种数是45.] 6.(多选)若一个三位数中十位上的数字比百位上的 数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”， 解析：随意拧紧一个螺丝有6种方法，拧紧第二个 如231、354等都是“凸数”，用1,2,3,4,5这五个数 螺丝只有1种方法，拧紧第三个螺丝有4种方法， ·5· 数学·选择性必修第三册 拧紧第四个螺丝只有1种方法，拧紧第五个螺丝有 10块这样的骨牌和一个田字格，田字格可以剪1 2种方法，拧紧第六个螺丝只有1种方法，所以不 块“L”形骨牌，则一共可以剪21块“L”形骨牌. 同的固定方式有6×1×4×1×2×1=48（种）. 只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字 答案：48 格即可，所以最多能够剪成21块“L”形骨牌.故 10.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一 选C.] 门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英 13.用1,2,3,4四个数字（可重复）排成三位数，并把 语和日语的各一人，有多少种不同的选法？ 这些三位数由小到大排成一个数列{an}. 解：既会英语又会日语的有7十3一9=1（人），仅 (1)写出这个数列的前11项， 会英语的有6人，仅会日语的有2人.先分类后 (2)这个数列共有多少项？ 分步： (3)若am=341,求n. 先从仅会英、日语的人中各选1人，有6×2=12 解：(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131， (种)选法； 132,133. 从仅会英语和英、日语都会的人中各选1人，有6 (2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位 ×1=6(种)选法； 数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4 从仅会日语和英、日语都会的人中各选1人，有2 ×4=64(项). ×1=2(种)选法. (3)比am=341小的数有两类： 根据分类加法计数原理，共有12十6十2=20（种） ① 不同的选法. 11.从集合{1,2,3，…，10}的子集中，选出有5个元素 的子集，使得这5个元素中的任意2个元素的和 2 不等于11，这样的子集共有多少个？ ② 解：和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8， 4与7,5与6.满足条件的子集中的元素不能取同 3 1 一组中的两个数.而每组元素的取法有2种，所以 3 2 X 子集的个数为2×2×2×2×2=2=32.即满足条 3 3 件的子集共有32个. 共有2×4×4+1×3×4=44（项）. [能力提升] 所以n=44十1=45（项）. 12.有一种棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小 [素养培优] 方格因破损而被剪去（破损位置不确定）.“L”形骨 牌由三个相邻的小方格组成，如图所示.现要将这 14.求三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的 个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则( 个数 解：设较小的两边长为x,y,且x≤y, 则x≤y≤11，x+y>11,xy∈N*. “L”形骨牌 当x=1时，y=11; 当x=2时，y=10,11; 当x=3时，y=9,10,11; 棋盘 当x=4时，y=8,9,10,11; A.最多能剪成19块“L”形骨牌 当x=5时，y=7,8,9,10,11; B.最多能剪成20块“L”形骨牌 当x=6时，y=6,7,8,9,10,11: C.最多能剪成21块“L”形骨牌 当x=7时，y=7,8,9,10,11: D.以上答案都不对 … 解析：C[考虑2×3的6块方格，如图： 当x=11时，y=11, 所以不同三角形的个数为1+2十3+4十5+6+5 块这样的骨牌含有2块“L”形骨牌，一共可以剪成 +4+3+2+1=36. ·6·