第6章 计数原理 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂单元双测卷（人教A版）

数 新高考 第 学 同步单元双测卷 A （时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 整 1.设n∈N,且n<20,则(20-n)(21-n)…(100 一n)等于 A.Aio- B.Ai0 C.ARoo- D.A8- 2.南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最 如 大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南 阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博 物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于 2025年3月3日（周一）至3月9日（周日）组织 高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参 观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年 级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天， 则不同的方案有 ( A.20种 B.50种 C.60种 D.100种 3.有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位 同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法 有 ( A.10种 B.20种 C.25种 D.32种 4,(x+22(一D的展开式的常数项是0 娇 A.-3 B.-2 C.2 D.3 5.某校在“数学联赛”考试后选取了6名教师参加 阅卷，试卷共4道解答题，要求将这6名教师分 成4组，每组改一道解答题，其中2组各有2名 教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方 案的种数是 A.216 B.420 C.720 D.1080 数学试题第六章 A卷 六章计数原理 卷·基础达标卷 满分：150分) 6.若实数a=2-√2，则a10-2C1oa十22C。a8-… +210等于 () A.32 B.-32 C.1024 D.512 7.现用五种不同的颜色对如图所示的四个部分进 行涂色，要求有公共边的两块不能涂同一种颜 色，则不同的涂色方法种数为 () A.180 B.200 C.240 D.260 8.5名大人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起 也不排在头尾，则不同的排法种数有() A.A·A种 B.A·A种 C.A·A种 D.A7-4A6种 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18 分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分) 9.对任意实数x,有(2x-3)°=a。十a1(x一1)十a2 (x-1)2十a3(x一1)3+…十a(x-1)°.则下列 结论成立的是 () A.a2=-144 B.ao=1 C.ao+a1+a2+…+ag=1 D.ao-a1+a2-a3+…-ag=-3 10.若Cw-1>3C,则m的取值可能是 () A.6 B.7 C.8 D.9 第1页（共4页） 11.下列说法正确的是 () A.某班4位同学从文学、经济和科技三类不同 的图书中各任选一类，不同的结果共有 64种 B.用1,2,3三个数字可以组成9个三位奇数 C.从集合A={a,b,c,d}中任取2个元素组成 集合B,则集合B中含有元素b的概率为2 D.两个男生和两个女生随机排成一列，则两个 女生不相邻的概率是号 题号 1 2 6 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分，将答案填在题中横线上) 12.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂 色，每个格子涂1种颜色，要求最多使用3种 颜色，且相邻的2个格子颜色不同，则不同的 涂色方法共有 种 13.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x+a2x3+ a3x2十a4x十a5,则a1= ,a5= 14.《九章算术》中称底面为矩形而有一侧棱垂直 于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱 的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶 点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样 的阳马的个数是 A 数学试题第六章A 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分13分)有9名学生，其中2名会下 象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象 棋，4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9 名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛， 另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派 方法？ 第2页（共4页） 16.（本小题满分15分)如图有41 B 个编号为A,B,C,D的小三 角形，要在每一个小三角形中 涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜 色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同， 共有多少种不同的涂色方法？ 数学试题第六章A 17(本小题满分15分)在(W丘，）”(n≥3，n N)的展开式中，第2,3,4项的二项系数依次 成等差数列 (1)求n的值； (2)求展开式中含x2的项. 卷第3页（共4页) 18.(本小题满分17分)已知（匠+号）”的展开式 中，只有第6项的二项式系数最大， (1)求该展开式中所有有理项的项数； (2)求该展开式中系数最大的项， 数学试题第六章A 19.(17分)为迎接端午节，某社区准备参加市里举 行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选 手中随机选出男、女选手各2名参加此次比 赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有 如下方案： (1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位 置上； (2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且 座位不相邻； (3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加. 卷第4页（共4页) 第六章 计数原理A卷 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂)☐ 填 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 正确填涂 注 准考证号。 涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色黑水签字笔书写， 错误填涂 涂写要工整、清晰。 样 ☑xO 事 3按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 万0方三 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 请在各题 选择题(1~8小题，每小题5分，9~11小题，每小题6分，共58分) 1ABCD 4AB阿D 7A BC D 10 A BCD 的答题区域内作答 2A BCD 5 ABCD 8 ABCD 11ABCD 3 ABCD 6 ABCD 9 ABCD 非选择题（需用0.5毫米黑色签字笔书写） 填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 边 12. 13. 的答案无效 14. 解答题：本题共5小题，共77分 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章A卷第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) B A C 0 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答 ,超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章A卷第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为回2 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章A卷第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章A卷第4页（共4页）参考 参芳 第六章计数原理 A卷基础达标卷 1.C[由题意可得，共有(100-n)-(20-n)+1 =81项，所以(20-n)(21-n)…(100-n)= A00-n,故选C.] 2.C[因为博物院每周一闭馆，所以高一年级可 以从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周 五和周六，周六和周日中选择2日去参观，共5 种选择，再从剩下的四天里安排高二、高三年 级，有A种安排方法，根据分步计数原理，知不 同的方案有5×A=5×4×3=60种.] 3.C[每位同学都有5种选择，则不同的报名方 法有5×5=25（种）.故选C.] 4D[第一个因式取2，第二个图式取含的项得： 1×C(-1)4=5;第一个因式取2，第二个因式 取常数项得：2×（一1）5=一2，故展开式的常数 项是5+(-2)=3.] 5.D[6人分成4组共有CCC=45(种)不同 AA 的分组方案，所以共有45A4=1080种分配 方案.] 6.A[由二项式定理，得a-2C10a°十22Ca3 …+20=C9o(-2)°a0+Cio(-2)'a°+C。( 2)2a8+…+C19(-2)1°=(a-2)10=(-√2)10= 25=32.] 7.D[先涂I,有5种涂法，然后涂Ⅱ，V,最后 涂Ⅲ. ①当Ⅱ，N相同时，涂法有4×1×4种，故不同 的涂色方法种数有5×4×4=80. ②当Ⅱ，V不同时，涂法有4X3×3种，故不同 的涂色方法种数有5×4×3×3=180. 综上所述，不同的涂色方法数为80十180 =260.] 答案 答案 8.A[先排大人，有A种排法，去掉头尾后，有4 个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插 在4个空位中，有A?种排法，由分步乘法计数 原理可知，有A·A种不同的排法，故选A.] 9.ACD[对任意实数x,有(2x-3)°=a。十a (x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+ag(x- 1)°=[-1+2(x-1)]°， ∴.a2=-C8×22=-144,故A正确； 令x=1,可得a=(2-3)°=-1，故B不正确； 令x=2,可得a0十a1十a2十…十ag=(2X2- 3)9=1,故C正确； 令x=0,可得a0-a1十a2-…-ag=(0-3)9= 一3°，故D正确.故选ACD.] 10.BC[根据题意，对于Cg1和3C,有0≤m 1≤8且0≤m≤8，则有1≤m≤8， 8! 若Cg1>3C,则有(m-D(9-m> 3X- 8! !(8-m)1i 变形可得：m>27-3m, 解可得：m>27。 49 综合可得：<m<8,则n=7或8， 故选BC.] 11.CD[对于A,第1位同学可以从三类不同的 图书中任选一类，有3种选法，同理，其他的3 位同学也都各有3种选法，则不同的选书方法 有3×3X3×3=81种，故A错误； 对于B,个位可以放1,3，十位和百位都可以放 1,2,3,所以有2×3×3=18个奇数，故B 错误； 对于C,从集合A中任取2个元素可得到集合 B的个数为C,含有b的个数为C, 关楼率P-得=日成C医瑞： 对于D,两个女生和两个男生随机排成一列， 数学A版·选择 总的排法有A4=24(种)， 两个女生不相邻的排法有A×A=12(种)， 所以两个女生不相尔的概率P-号日 故D正确.故选CD.] 12.解析：如图，将4个区域标上A,B,C,D,当使 用2种颜色时，涂色种数为C×2=30种. ABCD 当使用3种颜色时，可能(A,C)或(A,D)或 (B,D)涂同一颜色，涂色方案有C8·A·3 360(种).所以涂色方案共有360+30=390（种）. 答案：390 13.解析：因为多项式(x+1)3(x十2)2=x5+a1x 十a2x3十a3x2十a4x十a5,a4为x项的系数， 所以根据二项式定理得a4=C12×22十13× C2×2=16,a5是常数项，所以a5=13×22=4. 答案：164 14.解析：如图所示. 根据正六边形的性质可知，当另 一条边取BB1时，顶，点可取D或 D1或E或E1,共4种情况，同理， 当另一条边取CC1,EE1,FF1时， 顶，点的选取也各有4种情况；当另一条边取 DD1时，不存在符合题意的阳马，因此符合要 求的阳马的个数是4×4=16. 答案：16 15.解：设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成 集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组 成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学 组成集合C,则选派2名参赛同学的方法可以 分为以下4类： 第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1 人参加围棋比赛，方法数为C?·C=6(种)； 第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人 参加围棋比赛，方法数为C4·C3=12(种)； 第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人 参加象棋比赛，方法数为C·C2=8(种)； 第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法 数为A=12(种)； ·2· 生必修第三册 由分类加法计数原理，选派方法数共有：6十12 +8+12=38(种). 6.解：分为两类：第一类：若A,C同色，则A有5 种涂法，B有4种涂法，C有1种涂法（与A相 同)，D有4种涂法。 故N1=5×4×1×4=80. 第二类：若A,C不同色，则A有5种涂法，B 有4种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法. 故N2=5×4×3×3=180(种). 综上可知不同的涂法共有N=N1+N2=80十 180=260(种). 解：①因为(2左(n≥3，n∈N)的展 开式中，第2,3,4项的二项式系数依次成等差 数列， 所以2C=C+C,求得n=7,或n=2(舍去). (2)二项展开式的通项公式为T+1=C· (-2·号，令143张=2，求得=2， 4 可得展开式中含x的项为T=C·青·2= 18.解：(1)由题意，可和号十1=6，所以n=10. 所以T,+1=C0x学2x=Ci。2x学，因为 105r∈Z且0≤r≤10，r∈N,所以=0,2,4， 2 6,8,10. 所以展开式中所有有理项的项数为6. (2)设第r十1项的系数最大， 1 Ci2≥C1.2-1, 则 即 (Co2>≥C612+1, 1 2 10-,≥，+ 解≤<号 22 因为r∈N,所以r=7. 所以展开式中系数最大的项为Tg=C。2'x翌 =15360x, 参考 19.解析：(1)因为男选手小王必须参加，并且坐在 第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女 中，选1男2女，排在前3个位置即可，所以排 法种数为：CC号A=5×10×6种=300种. (2)完成这件事可以分两步： 第一步：先选人，有CC=20种选法； 第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻 的排法种数为：A2A=12. 由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为： 20×12=240. (3)完成这件事的方法可以分两类： 第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有： C2C4C%A4=1920种； 第二类：小钱和小赵都参加，方法有CCA= 240种. 由分类加法计数原理得：不同的排法种数为： 1920+240=2160. 第六章计数原理 B素养提升卷 1上A[依题老得m一2X化简得 (m-3)·(m一4)=2，解得m=2或m=5, 又m≥5，.m=5,故选A.] 2.B[先从正方体的3对互相平行的平面中选取 1对，选法有3种，再在剩余的4个平面中任选 1个，选法有4种，故共有3×4=12（种）.] 3.C[(√x+x)的展开式的通项为 T+1=C6(WE)s-'x'=C%x岁， 令6=4，可得r=2,则T+1=C6x学-15x. 2 (1+)的展开式的通项为T+1=C()广 Cy*,令k=2,可得T2+1=Cy2=10y2,综 上可得，含号项的系数为15X10=150.] 4.B[甲和另一个人一起分到A班有C3A= 6(种)分法，甲一个人分到A班有CA=6(种) 分法，故共有6十6=12种分法.故选B.] 5.A[由题意，若三位数的回文数是偶数，则末 (首)位可能为2,4,6,8如果末（首）位为2，中间 答案 一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位 为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以 有4×10=40（个），故选A] 6.C[圆周上8个等分点共可构成4条直径，而 直径所对的圆周角是直角，又每条直径对应着6 个直角三角形，共有CC6=24(个)直角三角形， 锐角三角形或钝角三角形的个数为C8一CC =32(个).] 7.C[法一：因为(2+ax)(1+x)5=(2+a.x)X (1+5x+10x2+10x3+5.x4+x5), 所以x2的系数为20十5a,由题意得20+5a= 25,解得a=1.设(2+x)(1十x)5=a。十a1x十… +a6x6,令x=1,得(2+1)(1+1)5=a0+a1+ …十a6=96. 法二：由乘法分配律知(2十ax)(1十x)5的展开 式中x2的系数为2·C%+aC=20+5a, 所以20+5a=25,解得a=1, 设(2十x)(1十x)5=a十a1x十…+asx, 令x=1,得(2+1)(1+1)5=a十a1+…+a6= 96.故选C.] 8.B[按每一位数上算筹的根数分类，一共有 15种情况： (5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1), (3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3), (1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4) 由题图可知，2根及2根以上的算筹可以表示两 个数字，则上述情况能表示的三位数的个数分 别为2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2，故5根 算筹能表示的三位数的个数为2十2十2十4十2 +4+4+4+4+4+2+2十4+2+2=44.故 选B.] 9.ABC[每人有四项工作可以安排，所以5人都 安排一项工作的不同方法数为45，故选项A中 说法错误；每项工作至少有1人参加，则有一项 工作安排2人，其他三项工作各1人，所以共有 C1CA种不同方法数，选项B中AC是每项 工作先安排1人，还剩下1人在四项工作中选 择，这样会有重复，比如：“甲、乙、丙、丁分别安 排翻译、导游、礼仪、司机，戊安排翻译”与“戊、 乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，甲安