位置有限制的排列问题、相邻问题与不相邻问题 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第二册

位置有限制的排列问题、相邻问题与不相邻问题专项训练 位置有限制的排列问题、相邻问题与不相邻问题专项训练 考点目录 位置有限制的排列问题 相邻问题与不相邻问题 考点一 位置有限制的排列问题 例1．（24-25高二下·广东肇庆·月考）用0，1，2，3，4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法不正确的是（   ） A．共有96个数 B．偶数有60个 C．大于31000的数有24个 D．数字2和数字4不相邻的数有60个 例2．（25-26高三上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末·多选）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．共计有720种不同的排法 B．男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C．男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D．男女生相间排法总数为36种 例4．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法（数字作答）. 例5．（25-26高二上·江苏南通·期末）为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是 ． 例6．（25-26高二上·江西·期末）从0~7这8个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 变式1．（25-26高二上·江西·期末）某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（    ） A．480种 B．504种 C．360种 D．288种 变式2．（25-26高二上·宁夏银川·期末）将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 变式3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末·多选）将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（    ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 变式4．（2026·河北·一模）如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有 种. 变式5．（25-26高二上·辽宁大连·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有 种． 变式6．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末）用2，3，4，5这4个数字组成没有重复数字的四位数. (1)求能组成的四位数的个数； (2)求能组成可以被5整除的四位数的个数； (3)求能组成为偶数的四位数的个数. 考点二 相邻问题与不相邻问题 例1．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）现有5个女生和10个男生要排成一排，要求女生都站在一起，则不同的排法数为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·四川成都·一模）某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．36种 例3．（25-26高三上·湖南·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 例4．（24-25高二下·陕西·月考）两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则有 种不同的排法.（用数字作答） 例5．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有 种排法.（用数字作答） 例6．（24-25高二下·河南新乡·月考）将，，，，，六个人排成一排，要求，排在，之间，且，不相邻，则不同的排列方法的种数为 . 例7．（24-25高二下·河北保定·期末）3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 例8．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法种数. (1)男生必须排在一起 (2)男、女生各不相邻 (3)甲乙两人中间必须有3人 变式1．（24-25高二下·广东茂名·期末）小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 变式2．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 变式3．（24-25高二下·河南郑州·期末）现有3名男生和2名女生并排站成一排，2名女生相邻，男生甲不站排头，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 变式4．（25-26高三上·河北衡水·期末）将五张数字牌按序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为 . 变式5．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）4名女同学和2名男同学站成一排照相，要求2名男生互不相邻，共有 种不同排法. 变式6．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）某班级有4名男生和2名女生参加一场座谈会，座位安排在一排的6个座位上，要求女生不能坐在最左端和最右端，且任意女生不能相邻，则满足条件的座位安排共有 种． 变式7．（24-25高二下·河北保定·期中）为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） (1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ (2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ (3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 变式8．（24-25高二下·云南昭通·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (2)若其中某3道工序必须相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (3)若其中某3道工序两两不能相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $位置有限制的排列问题、相邻问题与不相邻问题专项训练 位置有限制的排列问题、相邻问题与不相邻问题专项训练 考点目录 位置有限制的排列问题 相邻问题与不相邻问题 考点一 位置有限制的排列问题 例1．（24-25高二下·广东肇庆·月考）用0，1，2，3，4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法不正确的是（   ） A．共有96个数 B．偶数有60个 C．大于31000的数有24个 D．数字2和数字4不相邻的数有60个 【答案】C 【详解】对于A，首位不能为，故共有种；剩下的4个数全排列共有种，一共有种，故A正确， 对于B，末位为0时，剩下的4个数全排列共有种； 末位为2时，首位不能为，故共有种，剩下的3个数全排列共有种，一共有种； 末位为4时，首位不能为，故共有种，剩下的3个数全排列共有种，一共有种； 总计有种，故B正确， 对于C，首位为4时，剩下的4个数全排列共有种； 首位为3时，千位为，剩下的3个数全排列共有种，一共有种；千位为，剩下的3个数全排列共有种， 总计有种，故C错误， 对于D，一共的排列共有96个数，数字2和数字4相邻的数共有种，0在首位的情况有种， 数字2和数字4不相邻的数有种，故D正确. 故选：C. 例2．（25-26高三上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲站在最右端的排法有种， 甲不站两端，乙也不在最右端的排法有：. 所以甲不站最左端，乙不站最右端的排法种数为：种. 甲站在最右端，老师站中间的排法有种， 甲不站两端，乙也不在最右端，老师站中间的排法有：. 所以甲不站最左端，乙不站最右端，老师站在最中间的排法种数为：种. 所以甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为：. 故选：A 例3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末·多选）若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．共计有720种不同的排法 B．男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C．男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D．男女生相间排法总数为36种 【答案】ABC 【详解】对于A，3男3女排成一排共有种不同的排法，故A正确； 对于B，男生甲在排头或在排尾的排法总数为种，故B正确； 对于C，男生甲、乙相邻的排法总数为种，故C正确； 对于D，男女生相间排法总数为种，故D错误 故选：ABC. 例4．（24-25高二下·重庆渝中·月考）某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法（数字作答）. 【答案】 【详解】依题意，完成这件事共分两步完成， 第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法； 第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法， 由分步乘法计数原理得一共种排法． 故答案为：. 例5．（25-26高二上·江苏南通·期末）为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是 ． 【答案】 【详解】小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅进行排列，不同挂法总数为：种． 故答案为：． 例6．（25-26高二上·江西·期末）从0~7这8个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)1470 (2)750 【详解】（1）首位不排0，共个； （2） 个位为0的四位数偶数：； 个位不为0的四位数偶数：， 总计个． 变式1．（25-26高二上·江西·期末）某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（    ） A．480种 B．504种 C．360种 D．288种 【答案】B 【详解】由6名演员站成一排表演，共有种排法， 甲站在最左边，有种排法，乙站在最右边，有种排法， 甲站在最左端且乙站在最右端，有种排法， 所以甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有种排法. 故选：B. 变式2．（25-26高二上·宁夏银川·期末）将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】方法一：使用错位排列公式. 4个元素的错位排列数. 方法二：分类讨论. 第一步：数字1不能在1号位，有3种放法（比如放在2号位）. 第二步：此时考虑2号数字的放法. （1）若2号数字放在1号位，则剩下3、4号数字和3、4号位，只有1种错排方法. （2）若2号数字不放在1号位，则问题等价于把2、3、4号数字放在1、3、4号位进行错排（其中2号数字的“位置”是1号位），有种方法. 因此，数字1放在2号位时，共有种方法。由对称性，总方法数共有种. 故选：C． 变式3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末·多选）将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（    ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 【答案】AC 【详解】对于A：首先将名女生排在中间的三个位置，再将名男生排在其余四个位置， 则有种排法，故A正确； 对于B：首先排两个男生在头尾、其余人全排列，则有种排法，故B错误； 对于C：首先将名男生全排列，再将名女生插空排列，则有种排法，故C正确； 对于D：女生甲在女生乙右边属于定序问题，则有种排法，故D错误； 故选：AC 变式4．（2026·河北·一模）如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有 种. 【答案】 【详解】将三个有阴影的圆中填入的数字用 表示， 当 为9，8，7时，有 种填法； 当 为9，8，6时，则7不能与6相邻， 故7有种填法，剩余的五个数字可以任意填在空白圆中，有 种情况，有2160 种填法； 当 为9，8，5时，则与5相邻的只能是4，3，2，1中的三个数字， 有 种填法； 当 为9，8，4时，则与4相邻的只能是3，2，1，有 种填法； 当 为9，7，6时，则8与9相邻且8只有1种位置，有 种填法； 当 为9，7，5时，则8与9相邻且8只有1种位置， 6不与5相邻有2种位置选择，有 种填法； 当 为9，7，4时，则8与9相邻且8只有1种位置， 与4相邻的只能是3，2，1，故有 种填法. 所以填法共有： (种). 故答案为： 变式5．（25-26高二上·辽宁大连·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有 种． 【答案】30 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 变式6．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末）用2，3，4，5这4个数字组成没有重复数字的四位数. (1)求能组成的四位数的个数； (2)求能组成可以被5整除的四位数的个数； (3)求能组成为偶数的四位数的个数. 【答案】(1)24 (2)6 (3)12 【详解】（1）能组成的四位数的个数为. （2）能组成可以被5整除的四位数，其个位数字为5，所求个数为. （3）能组成为偶数的四位数，其个位数字为2，4之一，所求个数为. 考点二 相邻问题与不相邻问题 例1．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）现有5个女生和10个男生要排成一排，要求女生都站在一起，则不同的排法数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先把5名女生捆绑在一起，看成一个整体，内部有种排法， 再把这个整体与另外10名男生进行排列，有种排法， 所以不同的排法数为． 故选：B 例2．（2025·四川成都·一模）某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．36种 【答案】C 【详解】由题意，把相邻的2道工序做排列，再把它与其它3道工序作全排， 所以加工顺序有种. 故选：C 例3．（25-26高三上·湖南·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 【答案】C 【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：C 例4．（24-25高二下·陕西·月考）两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则有 种不同的排法.（用数字作答） 【答案】816 【详解】不考虑甲的排列限制，先不排乙和两名老师，其他人任意排列有种排法， 再将两名老师（捆绑在一起）和乙插入五个空隙中，有种排法， 即此时排法有种，而甲站最左边的排法有种， 故符合条件的排法共有种. 故答案为：816. 例5．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有 种排法.（用数字作答） 【答案】72 【详解】先排男生，则有种，再从3名女生中选2名女生排在3名男生的中间， 则有种排法，最后一名女生排在首或尾，再有种排法， 最后由分步乘法计算原理可得：. 故答案为：72. 例6．（24-25高二下·河南新乡·月考）将，，，，，六个人排成一排，要求，排在，之间，且，不相邻，则不同的排列方法的种数为 . 【答案】 【详解】首先排，，共有种方法； 再将，插在，之间，进行全排列，共有种方法； 由于，不相邻，所以最后在，，，排好形成的5个位置中选择2个位置放置，，共有种方法， 根据分步乘法计数原理可得一共有种方法. 故答案为：. 例7．（24-25高二下·河北保定·期末）3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 【答案】(1)144 (2)960 (3)4896 【详解】（1）依题意，不同排法种数是. （2）甲乙都站在第一排，有种；甲乙都站在第二排，有种， 所以不同排法种数是. （3）7个人站7个位置的排列有种，其中语文小组成员站在一排的有， 所以不同站法种数是. 例8．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法种数. (1)男生必须排在一起 (2)男、女生各不相邻 (3)甲乙两人中间必须有3人 【答案】(1)720种 (2)144种 (3)720种 【详解】（1）男生必须排在一起 第一步：将3名男生看作一个整体，与4名女生进行排列，共有种排法. 第二步：在男生内部进行排列，共有种排法. 第三步：根据乘法原理，男生必须排在一起的排法共有种. （2）若男女各不相邻，必须是3名男生将4名女生隔开， 第一步：将4名女生进行排列，共有种排法. 第二步：将3名男生插入4名女生之间的3个空位中（两端除外，不合题意），共有种排法. 第三步：根据乘法原理，男女各不相邻的排法共有种. （3）甲、乙两人中间必须有3人 第一步：将甲、乙两人全排列，则共有种情况. 第二步：在甲、乙两人中间插入3人，可以从剩下的5人中选出3人进行排列，共有种排法. 第三步：将剩下的2人与排好的5人组成的整体进行排列，共有种排法. 第四步：根据乘法原理，甲、乙两人中间必须有3人的排法共有种. 变式1．（24-25高二下·广东茂名·期末）小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】D 【详解】将“a”和“b”看成一个整体，与1，2，3进行全排列，再将“a”和“b”交换顺序， 所以不同的放置方式种数为. 故选：D. 变式2．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【详解】甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演， 若甲和乙相邻，则有种排法，且甲和乙都不站在两端丙、丁、戊、己4名同学选2人在两端有种排法， 所以不同的排列方式有种排法. 故选：D. 变式3．（24-25高二下·河南郑州·期末）现有3名男生和2名女生并排站成一排，2名女生相邻，男生甲不站排头，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【详解】将两名女生“捆绑”，看成整体，总的排法有种， 其中男生甲站排头的排法有种， 所以男生甲不站排头的不同排法种数为种. 故选：B. 变式4．（25-26高三上·河北衡水·期末）将五张数字牌按序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为 . 【答案】 【详解】总排列数：， 两个相邻的排列数：， 两个相邻的排列数：， 两个相邻且两个相邻的排列数：， 由容斥原理得：. 故答案为： 变式5．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）4名女同学和2名男同学站成一排照相，要求2名男生互不相邻，共有 种不同排法. 【答案】480 【详解】先排4个女生，有种排法； 女生排好后，连同两端在内，有5个空位置，从中选两个，排入男生，有种排法； 所以满足条件的排法有种. 故答案为：480 变式6．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）某班级有4名男生和2名女生参加一场座谈会，座位安排在一排的6个座位上，要求女生不能坐在最左端和最右端，且任意女生不能相邻，则满足条件的座位安排共有 种． 【答案】144 【详解】根据题意4名男生全排列：， 排好后除了最左端和最右端有3个空，选两个空位安排2名女生进去：， 故满足条件的座位安排共有种. 故答案为：144. 变式7．（24-25高二下·河北保定·期中）为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） (1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ (2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ (3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【详解】（1）先将3名男生排在一起，有种排法， 再将2名女生排在一起，有种排法， 将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理可知，共有种排法． （2）先将3名男生排好，共有种排法， 再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，共有种排法． （3）先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有种排法， 由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法． 变式8．（24-25高二下·云南昭通·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (2)若其中某3道工序必须相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (3)若其中某3道工序两两不能相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ 【答案】(1)288 (2)144 (3)144 【详解】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面， 有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （2）先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序 2 学科网（北京）股份有限公司 $