第4节 第1课时 带电粒子在匀强磁场中的运动-【金版新学案】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（粤教版）

第四节　洛伦兹力与现代技术 第1课时　带电粒子在匀强磁场中的运动 【素养目标】　 1.掌握带电粒子在匀强磁场中运动的规律。2.能解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的基本问题。 知识点一　带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题 【情境导入】　如图所示，给励磁线圈通电产生磁场，观察电子束的径迹。 (1)电子束在匀强磁场中运动的轨迹怎样？原因是什么？ (2)保持入射电子的速度不变，增加磁感应强度，电子束径迹有什么变化？ (3)保持磁感应强度不变，增加出射电子的速度，电子束径迹有什么变化？ 提示：(1)轨迹是圆，洛伦兹力提供向心力。 (2)半径减小。 (3)半径增大。 【教材梳理】 (阅读教材P18—P22完成下列填空) 1．带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹 带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时 (1)当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动。 (2)当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动。 2．匀速圆周运动的半径和周期 (1)半径公式：洛伦兹力方向总与速度方向垂直，洛伦兹力充当向心力。根据牛顿第二定律qvB＝m，解得R＝。 (2)周期公式：圆周运动的周期T＝，代入R＝，解得T＝，周期与速度和半径无关。 【师生互动】　任务1.带电粒子在匀强磁场中一定做匀速圆周运动吗？ 任务2.带电粒子在匀强磁场中运动的速度越大，则周期越大吗？ 任务3.带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力的作用时速度大小可能变化吗？ 提示：任务1.只有当带电粒子垂直射入匀强磁场且重力不计时，粒子才做匀速圆周运动。 任务2.由T＝可知，带电粒子在磁场中运动的周期与粒子的速度无关。 任务3.洛伦兹力永不做功，带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力的作用时速度大小不变。 学生用书第18页 质子p(H)和α粒子(He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα，则下列选项中正确的是(　　) A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2 B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1 C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2 D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1 答案：A 解析：质子p(H)和α粒子(He)的电荷量之比为qp∶qα＝1∶2，质量之比为mp∶mα＝1∶4。由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知，轨道半径R＝，周期T＝，因为两粒子速率相同，则可得Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2，故选A。 1．分析带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动，要紧抓洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m。 2．同一粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，由r＝知，r与v成正比；由T＝知，T与速度无关，与半径无关。　　 针对练．(2024·深圳市耀华实验学校高二期中)薄铝板将垂直纸面向外的匀强磁场分成Ⅰ、Ⅱ两个区域。一高速带电粒子穿过铝板后速度减小，所带电荷量保持不变。一段时间内带电粒子穿过铝板前后在两个区域运动的轨迹均为圆弧，如图中虚线所示。已知区域Ⅰ的圆弧半径小于区域Ⅱ的圆弧半径，粒子重力忽略不计。则该粒子(　　) A．带正电，从区域Ⅰ穿过铝板到达区域Ⅱ B．带正电，从区域Ⅱ穿过铝板到达区域Ⅰ C．带负电，从区域Ⅰ穿过铝板到达区域Ⅱ D．带负电，从区域Ⅱ穿过铝板到达区域Ⅰ 答案：D 解析：粒子穿过铝板后，速度减小，根据r＝可知，轨迹半径减小，由题图可知粒子一定是从区域Ⅱ穿过铝板到达区域Ⅰ，根据左手定则可知该粒子带负电，故选D。 知识点二　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1．确定圆心位置的两种方法 (1)已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。 (2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作过其中点的垂线，这两条垂线的交点就是圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。 2．求解运动半径的三种方法 (1)根据半径公式r＝求解。 (2)根据勾股定理求解。如图丙所示，若已知出射点相对于入射点下移了x，磁场的宽度为d，则有r2＝d2＋(r－x)2。 (3)根据三角函数求解。如图丙所示，若已知出射速度方向与入射速度方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有r＝。 3．确定运动时间的两种方法 (1)利用粒子运动的圆弧所对应的圆心角α求解：运动时间t＝T(或t＝T)。 (2)利用粒子在磁场中运动的弧长l和速率v求解：运动时间t＝或t＝T。 4．圆心角与偏向角、弦切角的关系 (1)带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧对应的圆心角α，即α＝φ，如图丁所示。 学生用书第19页 (2)圆弧所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图丁所示。 直线边界 (多选)(2025·东莞市高二期中)质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是(　　) A．M带负电，N带正电 B．M的速率小于N的速率 C．洛伦兹力对M做正功，对N做负功 D．M的运行时间等于N的运行时间 答案：AD 解析：由左手定则可判出M带负电荷，N带正电荷，故A正确；带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，得R＝，由题图可知N的半径小于M的半径，所以M的速率大于N的速率，故B错误；洛伦兹力方向与速度方向始终垂直，所以洛伦兹力对粒子不做功，故C错误；粒子在磁场中运动半周，即时间为其周期的一半，而周期为T＝，与粒子运动的速度无关，所以M的运行时间等于N的运行时间，故D正确。 1．“三步法”处理带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动问题 2．如图甲、乙、丙所示，带电粒子进出磁场时具有对称性，射入和射出磁场时速度与边界夹角大小相等。 　　 针对练．如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0＜θ＜π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)。则下列说法正确的是(　　) A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大 C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远 答案：C 解析：粒子运动周期T＝，当θ一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝T，ω＝，可知t、ω均与v无关，A、B错误；当v一定时，由t＝T知，θ越大，粒子在磁场中运动的时间越短，C正确；当v一定时，由r＝知，r一定；当θ从0变至的过程中，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越远，当θ大于时，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越近，D错误。 平行边界 (多选)(2025·汕头市高二校考)如图，在正方形ABCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，M、N分别为AB及CD的中点，将一个带正电的粒子在A点沿AD方向以速度v射入匀强磁场，该粒子恰好从B点射出，不计粒子重力，下列说法正确的是(　　) A．若粒子射入的速度为2v，则粒子从M点射出 B．若粒子射入的速度为2v，则粒子从C点射出 C．若粒子射入的速度为，则粒子从N点射出 D．若粒子射入的速度为，则粒子从M点射出 答案：BD 解析：设正方形区域边长为2a，那么当粒子速度为v时，做圆周运动半径为a，根据公式r＝，若粒子射入的速度为2v，可得r1＝2a，粒子从C点射出，故A错误，B正确；若粒子射入的速度为，则r2＝，粒子从M点射入，故C错误，D正确。故选B、D。 带电粒子在平行边界磁场运动的常见情况 对于平行边界的磁场，常常涉及带电粒子恰好从磁场飞出(或恰好飞不出)的临界问题，常见有两种情景： 1．粒子从磁场边界的端点飞出，如图甲所示。 2．粒子的轨迹恰好与磁场边界相切，如图乙、丙所示。 学生用书第20页 针对练．如图所示，左、右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，长度足够长，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量大小为q的粒子，以与左边界PP′成θ＝45°的速度v0垂直射入磁场。不计粒子重力，为了使粒子不能从边界QQ′射出，求： (1)当粒子带正电时，v0的最大值是多少？ (2)当粒子带负电时，v0的最大值是多少？ (3)两种情况下粒子在磁场中运动时间的比值是多少？ 答案：(1)qBd　(2)qBd　(3) 解析：(1)设带电粒子在磁场中的偏转半径为r1，当带电粒子带正电恰好不能从QQ′边界射出时，轨迹如图所示。 由几何关系得 r1－r1cos 45°＝d， r1＝(2＋)d，洛伦兹力提供向心力，则 qv0B＝ 联立v0＝qBd。 (2) 若为负电，设带电粒子在磁场中的偏转半径为r2，轨迹如图所示。 由几何关系得r2＋r2cos 45°＝d r2＝(2－)d，洛伦兹力提供向心力。 则qv0B＝m 联立v0＝qBd。 (3)由于粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据T＝可知虽然粒子的带电性不同，但是两种粒子在磁场中的运动周期和角速度相同，根据圆周运动的角速度公式可得θ＝ωt 则两种情况下粒子在磁场中的运动时间之比等于它们在磁场中转过的角度之比，则＝＝＝。 圆形边界 (2025·深圳市期末) 如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若粒子射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力。则为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设磁场区域的半径为r，根据几何关系可知，带电粒子以v1射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径R1＝r，带电粒子以v2射入磁场时，在磁场中运动的轨迹半径R2＝r，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得R＝，则R1＝，R2＝，解得＝＝。故选B。 带电粒子在圆形边界磁场运动的常见情况 粒子进出圆形边界的磁场具有对称性，常见以下两种情景： 1．如图甲所示，粒子沿半径方向射入必沿半径方向射出。 2．如图乙所示，粒子不沿半径方向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也一定为θ。 针对练．(2025·广州市高二统考开学考试)两个质量、电荷量均相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。粒子重力不计，则下列说法正确的是(　　) A．a粒子带正电 B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b粒子在磁场中运动的速率较大 D．b粒子在磁场中运动时间较长 答案：C 解析：由于a粒子进入磁场后向下偏转，根据左手定则可以判断出它带负电，同理可知b粒子带正电，选项A错误；由题图看出a粒子的偏转半径较小，根据洛伦兹力提供向心力可知qvB＝m，解得R＝，故半径越小的速度越小，再由f＝qvB可知，速度越小的洛伦兹力越小，故a粒子在磁场中所受洛伦兹力较小，选项B错误，C正确；又因为粒子在磁场中的周期为T＝，粒子的质量m、电荷量q都相等，故周期相等，但b粒子在磁场中的偏转角较小，由粒子在磁场中的时间t＝T可知，粒子在磁场中运动时间较短，选项D错误。故选C。 学生用书第21页 1．(多选)(2025·东莞市校联考)如图甲所示，用强磁场将百万开尔文的高温等离子体(等量的正离子和电子)约束在特定区域实现受控核聚变的装置叫托克马克。我国托克马克装置在世界上首次实现了稳定运行100秒的成绩。多个磁场才能实现磁约束，图乙为其中沿管道方向的一个磁场，越靠管的右侧磁场越强。不计离子重力，关于离子在图乙磁场中运动时，下列说法正确的是(　　) A．离子从磁场右侧区域运动到左侧区域，磁场对其做负功 B．离子在磁场中运动时，磁场对其一定不做功 C．离子从磁场右侧区域运动到左侧区域，速度变大 D．离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，运动半径减小 答案：BD 解析：离子在磁场中运动时，由于洛伦兹力方向总是与速度方向垂直，可知磁场对其一定不做功，故A错误，B正确；因洛伦兹力不做功，则离子从磁场右侧区域运动到左侧区域，速度大小不变，故C错误；离子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得r＝，离子由磁场的左侧区域向右侧区域运动时，磁感应强度变大，可知离子运动半径减小，故D正确。故选B、D。 2．如图所示，a和b带电荷量相同，以相同动能从A点射入磁场，在匀强磁场中做圆周运动的半径ra＝2rb，则可知(重力不计)(　　) A．两粒子都带正电，质量比ma∶mb＝4∶1 B．两粒子都带负电，质量比ma∶mb＝4∶1 C．两粒子都带正电，质量比ma∶mb＝1∶4 D．两粒子都带负电，质量比ma∶mb＝1∶4 答案：B 解析：两粒子进入磁场后均向下偏转，可知在A点受到的洛伦兹力均向下，由左手定则可知，这两个粒子均带负电，根据洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得r＝，又动能Ek＝mv2，联立解得m＝，可见m与半径r的平方成正比，故ma∶mb＝ra2∶rb2＝(2rb)2∶rb2＝4∶1，故B正确。 3．如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(　　) A．v> B．v< C．v> D．v< 答案：A 解析：由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨迹与EF相切，如图所示。由几何知识得R＋R cos θ＝d，由洛伦兹力提供向心力有ev0B＝，解得v0＝，当v＞v0即v>时，电子能从边界EF射出，故A正确。 4．(2024·广州市高二期末)如图所示，一重力不计的带电粒子以一定的速率从a点对准圆心射入一圆形匀强磁场，恰好从b点射出，则(　　) A．该粒子带正电 B．增大粒子射入磁场的速率，该粒子从ab间射出 C．无论怎么改变粒子速度大小，都不会从ac的左半区域射出 D．减小粒子射入磁场的速率，该粒子在磁场中运动时间保持不变 答案：C 解析：粒子从a点射入从b点射出，则由左手定则可确定出粒子带负电，A错误；粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，由于带电粒子的B、q、m均相同，所以r与v成正比，因此当速率增大时，粒子将从bc间射出，B错误；由于粒子带负电，在洛伦兹力的作用下一定是向右偏转的，因此是不可能从ac的左半区域射出，C正确；由周期公式得T＝＝，由于带电粒子的B、q、m均相同，所以T均相同，当减小粒子射入磁场的速率，轨迹半径改变，运动圆弧对应的圆心角改变，则运动时间改变，D错误。故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $