1.5.2 数量积的坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.5.2 数量积的坐标表示 及其计算 　　设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则如下运算律成立: 　　(1)交换律：a·b= ； 　　(2)与数乘的结合律：a·(λ b) = ； 　　(3)分配律：a·(b+c)= . 1.数量积的运算律 b·a λ(a·b) a·b+a·c (1)a±b=(x1，y1)±(x2，y2)= . (2)λa=λ(x，y)= . (x1±x2，y1±y2) (λx，λy) 2.向量线性运算的坐标表示 向量的坐标是向量分解式中的系数。根据数量积的运算律，很容易由向量坐标算出数量积. 设是相互垂直的单位向量，组成平面上的一组基， ·=·=1·=0. 一、数量积的坐标运算 于是可得两个向量a=(,)，b=(,)的数量积的坐标表达式为 a·b=()·()=+. 设向量a,b在这组基下的坐标分别为(,), (,)，则 a·b=(+)·(+) 对应坐标相乘后再求和! =(·)+(·)+(·)+(·) =+. 1.向量的长度： (1)向量a=(x,y)与自身的夹角为0，因此a·a= . 于是得到计算向量a=(x,y)的模（即长度）的公式为|a|= . |a||a|cos0=|a|2 = 试一试：有了向量数量积的坐标表示，你能完成下列公式的推导吗？ (2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)， (x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|= . 根据两个非零向量a=(,), b=(,)数量积的定义，得到计算两向量夹角余弦值的公式为cos<a,>= . 2.夹角余弦值： 3.垂直条件： 已知向量a=(,), b=(,)，则a⊥ba·b= = =0. 注意：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一. 0 　 例1 已知a=(3，1)，　　　　　，求k为何值时： 　　(1) a∥b；　 (2) a⊥b； (3) a与b的夹角为钝角. (2)因为a⊥b，所以　　　　　　　　，解得 提示：先写出两者坐标表示，注意它们的区别. 为钝角时需满足哪些条件？ 解：(1)因为a∥b，所以　　　　　　　 ，解得 　　(3)因为　<〈a，b〉<π，所以cos〈a，b〉<0， 　　则由向量夹角余弦公式可得 解得 　　由(1)知，　　　时，a∥b，即a，b共线，此时〈a，b〉=π. 　　所以　　　且　　　时，a，b的夹角为钝角. (3) a与b的夹角为钝角. 要注意共线的情况 例2 如图，已知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(12，8)，点B的坐标为(-4，12)，作BD⊥OA，垂足为点D. (1)求|OA|，|OB|，|AB|； (2)求cos∠AOB； (3)将OA 绕点O 逆时针旋转90°到OA′， 求点A′的坐标； (4)求|BD|； (5)求S△OAB. 提示：先与同学交流分析每问实际求什么，再利用相关公式求解. 解：(1)由=(12，8)， =(－4，12)，得 =(－4－12，12－8)=(－16，4)， (2)因为· =(12，8)·(－4，12)=12×(－4)+8×12=48， 　　所以 因此 (1)求|OA|，|OB|，|AB|； (2)求cos∠AOB； (3)记| |=r， 与x轴正方向的夹角为α，则 =(rcos α，rsin α)， 由于点A的坐标为(12，8)，那么rcos α=12，rsin α=8. 因此=(－8，12)，即点A′的坐标为(－8，12). (3)将OA 绕点O 逆时针旋转90°到OA′，求点A′的坐标； (4)将向量投影到上，得到投影向量， 则| |=| |. 而| |就是在方向上的投影| |cos∠A′OB的绝对值，则 　　一般地，设向量=(x，y)在非零向量a=(a，b) 方向上的投影向量为，则投影长为 (4)求|BD|； (5) (方法一) S△OAB=　|OA||BD| 　　(方法二) S△OAB=　|OA||BD| 　　　　　　　　　=　|OA||OB|sin∠AOB =　 |OA||OB|sin(90°－∠BOA′) 　　　　　　　　　=　|OA′||OB|cos∠BOA′ =　 · =　(－8，12)·(－4，12) 　　　　　　　　　=88. (5)求S△OAB. 坐标表达式 数量积的坐标表示 计算公式 向量的长度 夹角余弦值 数量积的坐标及其计算 垂直条件 本节课你学到了哪些知识，谈谈你的收获： D 2.设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则下列结论中正确的是（ ） A.|a|＝|b| B.a·b＝0 C.a∥b D.(a－b)⊥b 解：因为a－b＝(1，－1)， 所以(a－b)·b＝1－1＝0， 所以(a－b)⊥b. 解：∵a∥b，∴y＋4＝0，解得y＝－4， ∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝ . ∴b＝(－2，－4). D 解：∵a＝(2，0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1·cos 60°＝1. B 思考：如何用a与b的坐标来表示向量a，b的数量积a·b呢？ 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，我们可以求出a＋b，a－b 以及λa(λ≠0)的坐标． 答案：C　 1.已知a＝(－2，4)，b＝(1，2)，则a·b＝(　　) A．0　　　 B．10 C．6 D．－10 解析：由题意知，a·b＝(－2)×1＋4×2＝6. 答案：D　 2.已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝(　　) A．－1 B．－eq \f(1,2) C．eq \f(1,2) D．1 解析：∵a·b＝1×2＋(－1)×x＝2－x＝1，∴x＝1. 答案：eq \f(π,4)　eq \r(10) 3．已知向量a＝(3，1)，b＝(1，2)，则向量a与b的夹角为________，|a|＝________． 解析：由题意知，cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3×1＋1×2,\r(32＋12)×\r(12＋22))＝eq \f(5,\r(10)×\r(5))＝eq \f(\r(2),2). 因为向量夹角的取值范围是[0，π]， 所以向量a与b的夹角为eq \f(π,4)，|a|＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10). 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．(　　) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0. (　　) (3)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为180°. (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 4 3.设向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( ) A.4 B.5 C.3 D.4 4.已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( ) A. B.2 C.4 D.12 ∴|a＋2b|＝＝2. $