9.2.1 总体取值规律的估计 9.2.2 总体百分位数的估计 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.1　总体取值规律的估计　9.2.2　总体百分位数的估计 一、必备知识基础练 1.某班学生在一次数学考试中各分数段以及人数的成绩分布为:[0,80),2人;[80,90),6人; [90,100),4人;[100,110),8人;[110,120),12人;[120,130),5人;[130,140),6人;[140,150),2人.则分数在[100,130)中的频数以及频率分别为(　　) A.25,0.56 B.20,0.56 C.25,0.50 D.13,0.29 2.某公司某年在各个项目中总投资500万元,如图是几类项目的投资占比情况,已知在1万元以上的项目投资中,少于3万元的项目投资占,那么不少于3万元的项目投资共有(　　) A.56万元 B.65万元 C.91万元 D.147万元 3.抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为81,84,82,86,87,92,90,85,则该学生这8次成绩的第75百分位数为(　　) A.85 B.85.5 C.87 D.88.5 4.为了了解某学校学生的身体发育情况,抽查了该校100名高中男生的体重情况,根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.根据此图,估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数为(　　) A.300 B.360 C.420 D.450 5.根据统计数据显示,某市11个县(市、区)常住人口数据如下表所示,则这11个县(市、区)人口数据的第80百分位数是(　　) 地区 A B C D E F 常住人口 638 060 301 883 952 000 411 558 847 535 560 969 地区 G H I J K 常住人口 228 235 219 511 305 259 455 042 134 276 A.638 060 B.560 969 C.455 042 D.411 558 6.统计某校1 000名学生的数学测试成绩,得到样本的频率分布直方图如图所示,规定不低于60分为及格,不低于80分为优秀,则估计及格人数是　　　　　;优秀率是　　　　　. 7.某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的样本数据的第70百分位数约为　　　　　.  8.某校从高一男生中随机抽取了一个容量为20的身高样本,将得到的数据(单位:cm)从小到大排序:152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,x,172,172,173,173,174,175.若该样本数据的第70百分位数是171,求x的值. 9.中央电视台播出《中国诗词大会》火遍全国,下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示: 组号 分组 频数 频率 第1组 [160,165) 0.100 第2组 [165,170) ① 第3组 [170,175) 20 ② 第4组 [175,180) 20 0.200 第5组 [180,185] 10 0.100 (1)请先求出频率分布表中①,②位置的相应数据,再完成频率分布直方图(用阴影表示). (2)为了能选拔出最优秀的选手,组委会决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取5名选手进入第二轮面试,则第3,4,5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试? 二、关键能力提升练 10.(多选题)已知100个数据的第75百分位数是9.3,则下列说法不正确的是(　　) A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 11.如图为国家统计局于2023年1月20日发布的2016—2022年全国R&D经费总量与R&D经费与GDP之比的数据图表,则(　　) 2016—2022年全国R&D经费及投入强度情况 A.R&D经费总量的平均数超过23 000亿元 B.R&D经费总量的中位数为19 678亿元 C.R&D经费与GDP之比的极差为0.45% D.R&D经费与GDP之比增幅最大的是2021年到2022年 12.(多选题)某城市100户居民月平均用电量(单位:kW·h),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示,则(　　) A.x=0.007 5 B.月平均用电量的众数为220 C.月平均用电量的中位数为224 D.月平均用电量的样本数据的第75百分位数位于区间[240,260)内 13.如图是某市2025年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线图,这7天的日最高气温的样本数据的第10百分位数为　　　　　,日最低气温的样本数据的第80百分位数为　　　　　.  14.某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(90分及以上为认知程度高),现从参赛者中抽取了x人,按年龄分成5组(第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45]),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有5人. (1)求x; (2)求抽取的x人的年龄的样本数据的第50百分位数(结果保留整数); (3)以下是参赛的10人的成绩:90,96,97,95,92,92,98,88,96,99,求这10人成绩的第20百分位数和平均数,以这两个数据为依据,评价参赛人员对“一带一路”的认知程度. 15.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2024年11月11日的网购金额,所得数据如下表: 网购金额/千元 人数 频率 [0,1] 16 0.08 (1,2] 24 0.12 (2,3] x p (3,4] y q (4,5] 16 0.08 (5,6] 14 0.07 合计 200 1.00 已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2. (1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(如图); (2)估计网购金额(单位:千元)的样本数据的第25百分位数(结果保留3位有效数字). 答案 1.A　解析 由题意知该班总人数为2+6+4+8+12+5+6+2=45,其中成绩在[100,130)的人数为8+12+5=25,故分数在[100,130)中的频数为25,频率为≈0.56. 2.B　解析 由题意,因为在1万元以上的项目投资中,少于3万元的项目投资占,所以在1万元以上的项目投资中,不少于3万元的项目投资占比为,而1万元以上的项目投资占总投资的比例为1-46%-33%=21%,所以不少于3万元的项目投资共有500×21%×=65(万元).故选B. 3.D　解析 8次的数学成绩由低到高排列为81,82,84,85,86,87,90,92,因为8×75%=6,故第75百分位数为=88.5.故选D. 4.B　解析 由题中频率分布直方图,得这100名高中男生体重不小于70.5 kg的频率是(0.04+0.035+0.015)×2=0.18,所以估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的频率是0.18,则估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数为2 000×0.18=360. 5.A　解析 将11个数从小到大排列可得:134 276,219 511,228 235,301 883,305 259,411 558,455 042,560 969,638 060,847 535,952 000,由11×80%=8.8,根据百分位数的定义可知,该组数据的第80百分位数是第9个数:638 060. 6.800　20%　解析 及格率是1-(0.005+0.015)×10=0.8, 所以估计及格人数是1 000×0.8=800,优秀率是(0.01+0.01)×10=0.2=20%. 7.16.5　解析 设成绩的第70百分位数为x,因为=0.55,=0.85, 所以x∈[16,17),所以0.55+(x-16)×=0.70,解得x=16.5. 8.解 因为20×70%=14,所以第70百分位数为第14个数和第15个数的平均数, 因为该样本数据的第70百分位数是171,所以=171,解得x=170. 9.解 (1)第1组的频数为100×0.100=10,所以①填100-10-20-20-10=40,对应频率为0.400. ②填=0.200,由此补全频率分布表如下: 组号 分组 频数 频率 第1组 [160,165) 10 0.100 第2组 [165,170) 40 0.400 第3组 [170,175) 20 0.200 第4组 [175,180) 20 0.200 第5组 [180,185] 10 0.100 由此补全频率分布直方图如下: (2)第3,4,5组的频率之比为0.200∶0.200∶0.100=2∶2∶1, 所以第3,4,5组分别抽取2人、2人、1人. 10.ABD　解析 因为75×=75为整数,所以第75个数据和76个数据的平均数为第75百分位数,是9.3,则C正确,D错误;第75个数据与第76个数据有可能均是9.3,A错误;第75个数据有可能是9.2,第76个数据可能是9.4,B错误.故选ABD. 11.C　解析 R&D经费总量的平均数为×(15 677+17 606+19 678+22 144+24 393+27 956+30 870)≈22 617.7<23 000,所以A错误;R&D经费总量的中位数为22 144亿元,所以B错误;R&D经费与GDP之比的极差为2.55%-2.10%=0.45%,所以C正确;R&D经费与GDP之比增幅最大的是2019年到2020年,所以D错误. 12.ACD　解析 由直方图的性质可得(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,解得x=0.007 5,故A正确; 由直方图可知月平均用电量的众数为=230,故B错误; 因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5, 所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a, 则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,解得a=224,故C正确; 因为(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5)×20=0.85, 所以月平均用电量的样本数据的第75百分位数位于区间[240,260)内,故D正确. 13.24　16　解析 由折线图可知,把日最高气温按照从小到大排序,得24,24.5,24.5,25,26,26,27,因为共有7个数据,所以7×=0.7,不是整数,所以这7天日最高气温的样本数据的第10百分位数是第1个数据,为24.把日最低气温按照从小到大排序,得12,12,13,14,15,16,17.因为共有7个数据,所以7×=5.6,不是整数,所以这7天日最低气温的样本数据的第80百分位数是第6个数据,为16. 14.解 (1)第一组频率为0.01×5=0.05, 所以x==100. (2)第50百分位数即中位数,设其为a,则由图可得0.01×5+0.07×5+(a-30)×0.06=0.5,解得a=≈32,所以抽取的x人的年龄的样本数据的第50百分位数为32. (3)按照成绩从小到大的顺序排列为:88,90,92,92,95,96,96,97,98,99,故第20百分位数为=91,平均数为×(88+90+92+92+95+96+96+97+98+99)=94.3. 评价:从第20百分位数和平均数来看,参赛人员的认知程度很高. 15.解 (1)根据题意有 解得 所以p=0.4,q=0.25. 补全频率分布直方图如图所示: (2)由(1)可知,网购金额不高于2千元的频率为0.08+0.12=0.2, 网购金额不高于3千元的频率为0.2+0.4=0.6, 所以网购金额的样本数据的第25百分位数在区间(2,3]内, 则网购金额的样本数据的第25百分位数为2+×1=2.125≈2.13. 8 学科网（北京）股份有限公司 $