7.3 定义、命题、定理&夯实基础专题 平行线中的推理填空问题【培养推理能力】-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）陕西专版

第2课时平行线的性质与判定的综合运用 例题引路 【例】解：(1)：AE∥DG,.∠2+∠CAE=180°.：∠1十∠2=180°，.∠CAE=∠1. .EF∥AC.(2):AE∥DG,.∠AEC=∠CDG=100..∠AEB=180°-∠AEC= 80.:EF平分∠AEB,∠1=合∠AEB=40.由(1)知，∠CAE=∠1=40 基础过关 1.D2.B3.145°4.110°5.解：EF∥AB.理由如下：CD∥AB,∴∠ABC= ∠DCB=70°.：∠CBF=20°，∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=50°.∠EFB=130°， .∠ABF+∠EFB=180°.∴.EF∥AB. 能力提升 6.C7.B8.65°9.EF∠3两直线平行，同旁内角互补∠3同角的补角相等 AB内错角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等10.解：(1)∠GEA= ∠HFB.理由如下：AD∥BC,∠HPA=∠HFB,GE∥HF.∴.∠GEA=∠HPA. .∠GEA=∠HFB.(2)当∠EFC=35时，GH∥AD.理由如下：：AD∥BC,∴.GE∥ HF.根据折叠的性质可知∠G=∠D=70°，∠HFE=∠EFC=35°，.∠H=180°-∠G =180°-70°=110°，∠HFC=∠HFE+∠EFC=35°+35°=70°.∴.∠H+∠HFC= 110°+70°=180°.∴.GH∥BC.AD∥BC,∴.GH∥AD.∴.当∠EFC=35°时，GH∥ AD. 思维拓展 I1.解：延长EF,交CD于点P.AB∥CD,∴∠AEF=∠EPD.又∠AEF= ∠GHD,∴∠EPD=∠GHD.∴.EP∥GH∴.∠EFN+∠FNG=l80.:MG∥FN, ∴.∠G+∠FNG=180°.∴.∠EFN=∠G. 模型构建专题平行线中的拐点问题【一题多解】 1.解：解法一：：EM∥AB,∠B=15°，.∠B+∠BEM=180°.∠BEM=180°-∠B= 165°.：∠BED=90°，∴.∠DEM=360°-∠BEM-∠BED=105.:EM∥AB,AB∥ CD,∴EM∥CD.∠DEM+∠D=180°.∴.∠D=180°-∠DEM=75.解法二：EN ∥AB,.∠BEN=∠B=15.∠DEN=∠BED-∠BEN=75.:EN∥AB,AB∥ CD,∴EN∥CD.∴∠D=∠DEN=75°.【变式题1】解：如图， -“作直线c ∥a,则∠4=∠1=24°.：∠3十∠4=60°，.∠3=60°-∠4=36°.：c∥a,a∥b,∴.b∥ c.∴∠2=180°-∠3=144°.【变式题2】解：(1)过点P向左作PE∥AB,则∠APE= ∠A=50°.PE∥AB,AB∥CD,∴.PE∥CD..∠EPD+∠D=180°.∠D=150°， .∠EPD=180°-∠D=30°..∠APD=∠APE+∠EPD=80°.(2)∠A+∠D ∠APD=180°.理由如下：过点P向右作PE∥AB,则∠A十∠APE=180°.PE∥ AB,AB∥CD,∴.PE∥CD.∴.∠DPE=∠D.∴.∠APE=∠DPE-∠APD=∠D ∠APD.∴∠A十∠D-∠APD=180°，(3)∠APD=∠D-∠A.理由如下：过点P向 右作PF∥AB.:PF∥AB,AB∥CD,.PF∥AB∥CD..∠D=∠DPF,∠A= ∠APF.∠APD=∠DPF-∠APF,∴.∠APD=∠D-∠A.2.解：如图②， 设刀柄左下角顶点为A,过A作直线（平行于刀片边缘线，与垂直 方向的夹角为∠3，与水平方向的夹角为∠4.：直线1平行于刀片边缘线，∠1=35°， ∴∠3=∠1=35°，∠2=∠4.：刀柄外形是一个长方形，∠3十∠4=90°.∴.∠4=90° -∠3=90°-35°=55°.∴.∠2=55°，3.540°4.30°5.C6.解：解法一：AG∥ CD,∴∠AGE=∠CDE=60°.AF∥DE,∴∠BAF=∠AGE=60°.解法二：BM∥ AF,CN∥DE,.∠BAF=∠ABM,∠CDE=∠DCN=6O.AF∥DE,∴.BM∥CN. ∴.∠MBC=∠NCB.,AB∥CD,∠ABC=∠BCD..∠ABC-∠MBC=∠BCD ∠VCB,即∠ABM=∠DCN...∠BAF=∠CDE=60 第4页（共54页） 7.3定义、命题、定理 第1课时定义与命题 基础过关 1.D2.C3.D4.两直线平行同位角相等5.解：(1)如果两个角互补，那么这两 个角是钝角：题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角.(2)如果两个数互为相反数， 那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相 等，6.D7.D8.如果两条直线相交，那么它们的交点只有一个真 能力提升 9.B10.解：(1)命题“相等的角是直角”的题设是两个或两个以上的角相等，结论是这 儿个角是直角；改写成“如果…那么…”的形式为如果两个或两个以上的角相等， 那么这几个角是直角.(2)“相等的角是直角”是假命题. 第2课时定理与证明 基础过关 1.D2.C3.B4.A5.OM⊥BD垂直的定义对顶角相等∠D等量代换 BD内错角相等，两直线平行∠ONA两直线平行，内错角相等 能力提升 6.A7.C8.解：(1)如果∠1十∠2=180°，∠3=∠A,那么AB∥CD.(2)该命题为真 命题.理由如下：：∠1十∠2=180°，∴.AD∥EF.∴.∠3=∠D.:∠3=∠A,∴.∠A= ∠D.∴.AB∥CD. 夯实基础专题平行线中的推理填空问题【培养推理能力】 1.垂直的定义2同角的余角相等内错角相等，两直线平行2.垂直的定义两 直线平行，同位角相等∠BFD同角的余角相等内错角相等，两直线平行3.两 直线平行，同旁内角互补同旁内角互补，两直线平行EF∥BG两直线平行，同位 角相等等量代换同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补4.解： (1)两直线平行，内错角相等EF同位角相等，两直线平行(2)·AD∥EF, .∠FEA+∠3=180°..∠FEA=125°，.∠3=180°-∠FEA=55°.AD平分 ∠BAC,.∠BAC=2∠3=110°. 7.4平移 基础过关 1.C2.C3.B4.A5.解：如图， 三角形A'B'C即为所求 能力提升 6.C7.1408.解：(1)如图，△A'B'C即为所求.(2)如图， 记AC第一 次平移后得到的线段为A"C”.连接AA”,CC”,A'A”,CC”.在平移过程中，线段AC扫过 的图形的面积为S平行四边形1℃℃十S平行四边形ACC=4X2十2X2=12. 模型构建专题利用平移求不规则图形的 面积和周长【回归教材·通性通法】 1.C【变式题】982.8403.26【变式题】94.4256【变式题】63 数学活动画平行线的方法 知识回顾：相等相等互补情境回顾：同位角相等，两直线平行探究情境1：同位 角相等，两直线平行探究情境2：①②③④探究情境3：RS对应点所连的线段 平行且相等探究情境4：解：AB∥CD.理由如下：由图②中的折叠，得∠FEC= ∠FED.:∠FEC十∠FED=180°，∴.∠FEC=∠FED=90°.由图③中的折叠，得 ∠FPB=∠BPE.:∠FPB+∠BPE=180°，∴.∠FPB=∠BPE=90°.∴.∠FEC= 第5页（共54页） ∠FPB=90°.∴AB∥CD.变式情境：解：(1)AC∥DE.理由如下：由折叠的性质，得 ∠CAD=∠DAE,∠CDA=∠ADE.BM∥AN,.∠CDA=∠DAE..∠CAD= ∠ADE.AC∥DE.(2)AD∥EF.理由如下：由折叠的性质，得∠DEF=∠FEN, ∠CDA=∠ADE.NBM∥AN,∴∠CDE=∠DEN..∠CDA+∠ADE=∠DEF+ ∠FEN.∴.2∠ADE=2∠DEF.∠ADE=∠DEF.∴.AD∥EF 第七章章末复习 思维导图 平行相等相等互补相等相等互补 考点整合 1.C2.解：(1)∠AOC,∠FOE,∠BOD(2):OE⊥AB,OF⊥CD,∴.∠AOE=90°， ∠COF=90°.即∠AOF+∠EOF=90°，∠AOC+∠AOF=90°.∴.∠AOC=∠EOF. “∠EOF=子∠A0D,∠A0D=4∠EBOF=4∠A0C,“∠A0C+∠AOD=180, .∠A0℃+4∠AOC=180°..∠AOC=36°..∠E0F=∠AOC=36°.3.B4.85° 5.∠ABD=∠EBD(答案不唯一)6.(1)解：∠DCE=24°，∠ABE=3∠DCE, ∴.∠ABE=3×24°=72°.：∠A=59°，∠D=121°，∠A+∠D=59°+121°=180°. AB∥CD.∠DFE=∠ABE=72°.(2)证明：由(1)知∠DFE=72°，.∠BFC= ∠DFE=72°.：∠BFP=48°，∴.∠PFC=∠BFC-∠BFP=72°-48°=24°.又 ∠DCE=24°，∠PFC=∠DCE..CE∥PF.7.C8.如果两个角是同一个角的 余角，那么这两个角相等9.一3（答案不唯一）1（答案不唯一）10.C11.D 12.解：(1)三角形DEF如图所示 (2)①AD∥CF,AD=CF ②同旁内角内错角 聚焦课标 13.解：任务1：75°任务2：∠DEM-∠DPB=30°.理由如下：过点D作DH∥MN,如 图③所示，∴∠HDE=∠DEM.:'AB∥MN,.DH∥AB∥MN,∴.∠HDP=∠DPB. ∠HDE-∠HDP=∠EDF,且∠EDF=30°，∴∠DEM-∠DPB=30°.任务3： ∠ACE的角度所有可能的值为135或150°或60°或45°或15°.【解析】如图④，：'AB∥ EC,∠B=45°，∠ECB=∠B=45°.∴.∠ACE=∠ACB+∠BCE=90°+45°=135°；如 答图①，CB∥ED,∠E=60°，∴∠ECB=∠E=60°.∴.∠ACE=∠ECB+∠BCA= 60°+90°=150°；如答图②，：CA∥ED,∠E=60°，∴∠ACE=∠E=60°；如答图③， AB∥DC,∠B=45°，∴.∠BCD=∠B=45°，.∠ECB=∠ECD-∠BCD=90°-45 =45°，∴.∠ACE=90°-∠BCE=90°-45°=45°：如答图④，设BC与ED交于点T. :AB∥ED,∠B=45°，∴.∠ETC=∠B=45..∠ECT=180°-（∠ETC+∠E)=180 -(45°+60)=75..∠ACE=90°-∠ECT=90°-75°=15.综上所述，∠ACE的角 度所有可能的值为135°或150°或60°或45°或15°. 大人多 54 答图① 答图②答图③ 答图④ 第八章实数 8.1平方根 第1课时平方根 新知梳理 ①平方根二次方根 ②开平方开平方日两互为相反数0没有④士√a 正、负根号a 第6页（共54页）7.3定义 第1课时 ·基础过关 ,,◆逐点击破 知识点1定义 1.下列不是数学对象的定义的是 A.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫 作数轴 B.使方程左，右两边的值相等的未知数的值 叫作方程的解 C.有公共顶点，并且一个角的两边分别是另 一角两边的反向延长线的两个角互为对 顶角 D.两点确定一条直线 知识点2命题及其结构 2.下列语句是命题的是 A.作线段AB=CDB.两直线平行 C.对顶角相等 D.连接AB 3.命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行”的题设是() A.平行 B.两条直线 C.同一条直线 D.两条直线都与第三条直线平行 4.命题“两直线平行，同位角相等”的题设是 ,结论是 5.(教材P23练习T3变式)把下列句子改写成 “如果…那么…”的形式，并回答题设是 什么，结论是什么 (1)两个互补的角是钝角； (2)互为相反数的两个数的绝对值相等. 17第七章相交线与平行线 命题、定理 定义与命题 知识点3真命题与假命题 6.下列命题是真命题的是 A.若a=4,则a=4 B.如果两条直线被第三条直线所截，那么同 位角相等 C.从直线外一点到这条直线的垂线段叫作 该点到直线的距离 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直 7.(2025·榆林期中)下列命题中，是假命题的是 ( A.对顶角相等 B.同位角相等，两直线平行 C.两点之间，线段最短 D.任何一个角都比它的补角小 8.将命题“两直线相交，只有一个交点”改写成“如 果…那么…”的形式是 ,它是 命题， 【能力提升 ◆◆◆整合运用 9.下列命题：①邻补角互补；②同位角相等，两 直线平行；③若|a=b1,则a=b;④若x> y,则a2x>ay.其中，是真命题的是（) A.②③ B.①② C.①②④ D.①②③④ 10.根据命题“相等的角是直角”，解答下列问题. (1)指出命题的题设和结论，并改写成“如 果…那么…”的形式； (2)判断此命题是真命题还是假命题。 第2课时 基础过关 ◆逐点击破 知识点1定理 1.命题“对顶角相等”是 A.角的定义 B.假命题 C.基本事实 D.定理 2.下列说法错误的是 A.命题不一定是定理，定理一定是命题 B.定理不可能是假命题 C.真命题是定理 D.如果真命题的正确性是经过推理证实的， 那么这样得到的真命题就是定理 知识点2证明 3.如图，用两个相同的三角尺可以过点P作出直 线m的平行线n,能解释其中道理的定理是 A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.对顶角相等，两直线平行 4.(2025·延安开学考试)对于命题“若a<1,则 a<1”,能说明它是假命题的a的值可以是 ( A.-2 B号 c.-2 D.0 5.如图，AB和CD交于点O,∠C=∠COA, ∠D=∠BOD,过点O作OM⊥BD于点M, 延长MO交AC于点N.求证：ON⊥AC. 补全下列证明过程，并在括号内填写依据， 证明： (已知)， .∠OMB=90( :∠C=∠COA,∠D=∠BOD (已知)， 又.∠COA=∠BOD( ∴.∠C= .∥AC( 定理与证明 =∠OMB( ∴.∠ONA=90°.∴.ON⊥AC ·能力提升 ●》·整合运用 6.（2025·咸阳期末)下列可以作为定理的有 ①一个能被2整除的数也必能被4整除； ②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是 3;④三角形内角和为180°. A.1个 B.2个C.3个D.4个 7.(西安西咸新区期未)下列可以作为命题“若 x>y,则x2>y2”是假命题的反例是( ) A.x=-2,y=-1B.x=2,y=-1 C.x=-1,y=-2D.x=2,y=1 8.(2025·榆林月考)如图，已知直线AB,CD, 连接AD,BC,点E,F分别在BC,CD上，连 接EF.现有以下选项：①∠1十∠2=180°； ②∠3=∠A;③AB∥CD. (1)请以①②为题设，③为结论，用“如 果…那么…”的形式写出这个命题； (2)判断(1)中所写命题的真假，若为真命题， 则说明理由；若为假命题，则举出反例. 数学W七年级下册18 夯实基础专题 平行线中的推理填空问题【培养推理能力】 1.(2025·西安铁一中月考)请将解题过程补 .∠B+∠G=180°( 充完整： 又∠A=∠G(已知)， 如图，CD⊥AB,垂足为D,F是BC上的 .∠A+∠B=180°（等量代换）. 点，FE⊥AB,垂足为E,且∠1=∠2，试说明 .AD∥BG( DG∥BC. .AD∥EF(已知)， 解：，FE⊥AB,CD⊥AB, (如果两条直线都与第三条直 .∠BEF=∠BDC=90( 线平行，那么这两条直线也互相平行) ∴.∠AEF=∠B( .∠B+∠ =90°，∠B十 .∠A+∠AEF=180°（等量代换）. ∠BCD=90°. ∠A=∠EFD(已知)， ∴.∠2=∠BCD( ∴.∠EFD+∠AEF=180°( .∠1=∠2， .AB∥CD( .∠1=∠BCD(等量代换). .∠A+∠D=180°( .DG∥BC( ∠D=∠AEF(同角的补角相等) 2.如图，BE⊥DF于点P,BE∥CF.若∠AFC+ 4.如图，DG∥AB,∠1=∠2，求证：∠ADF= ∠D=90°，求证：AB∥CD ∠EFB. 补全下面的解题过程. (1)完成下面的解答过程. 证明：BE⊥DF(已知)， 证明：.DG∥AB(已知)， .∠DPE=90°( .∠1=∠3( ). ∠1=∠2（已知）， ,BE∥CF(已知)， .∠2=∠3（等量代换） ∴.∠CFD=∠DPE=90°( .AD∥ ( .∠AFC+∠BFD=180°-∠CFD=90° .∠ADF=∠EFB(两直线平行，同位角 (平角的定义) 相等). .∠AFC+∠D=90°（已知）， (2)在(1)的条件下，若∠FEA=125°，AD平 =∠D( 分∠BAC,求∠BAC的度数. .AB∥CD( 3.(2025·渭南期末)中国汉字博大精深，方块 文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个 “巴”字，如图②是由图①抽象出的几何图 形，其中AB∥GH,AD∥EF,∠A=∠G ∠EFD,求证：∠D=∠AEF. 图① 图② 证明：AB∥GH(已知)， 19第七章相交线与平行线