7.2.1 平行线的概念-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）陕西专版

【名师导学 ◆预习先知 。新知梳理 ①在同一平面内，当直线a,b不相交 时，我们说直线a与b互相平行，记 作“a∥b”. ②在同一平面内，不重合的两条直线只 有两种位置关系： ③过直线外一点有 条直 线与这条直线平行. ④如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相 .也 就是说：如果b∥a,c∥a,那么b∥c. ☑例题引路 【例1】下列说法正确的是 ( A.不相交的两条线段是平行线 B.不相交的两条直线是平行线 C.不相交的两条射线是平行线 D.在同一平面内，不相交的两条直线 是平行线 【学生解答】 【例2】如图，已知直线a∥b,点P在直 线a,b外 (1)用三角尺与直尺画 出过点P且平行于 b的直线c: (2)判断直线a与c的位置关系，并说 明理由 【名师点拨】用三角尺与直尺画过点P 且平行于b的直线c,需要四个步骤： ①一落；②二靠；③三推；④四画. 【学生解答】 7第七章相交线与平行线 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 【基础过关 ◆◆。逐点击破 知识点1认识平行线 1.下列说法不正确的是 A.马路上的斑马线是平行线 B.100米跑道的跑道线是平行线 C.天上的彩虹是平行线 D.火车的平直铁轨线是平行线 2.在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是() A.平行或垂直 B.平行或相交 C.垂直或相交 D.平行、垂直或相交 3.在同一平面内，直线a与b满足下列条件，把它们的位置关 系填在后面的横线上. (1)若a与b没有公共点，则a与b (2)若a与b有且只有一个公共点，则a与b (3)若a与b有两个公共点，则a与b 知识点2平行公理及其推论 4.如图，过点C作线段AB的平行线，下列说法正确的是 ·C A →B A.不能作 B.只能作一条 C.能作两条 D.能作无数条 【变式】如图，在同一平面内，经过一点作已知直线的 平行线，可作平行线的条数有 ( ) A.0条 B.1条 C.0条或1条 D.无数条 5.日常生活情境化如图所示为一个风车的示 意图，当CD旋转到与地面EF平行的位 置时，AB (填“能”或“不能”)同时E 与地面EF平行，理由是 6.如图，P,Q分别是直线EF外两点 (1)过点P画直线AB∥EF,过点Q画直线 CD∥EF, (2)AB与CD有怎样的位置关系？为什么？ O 口能力提升 ·◆整合运用 7.动手操作新趋势如图，将一张长方形纸对折 三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.无法确定 8.（教材P21习题T13变式)观察 如图所示的长方体，解答问题： (1)用符号表示两棱的位置关系： EF AB,AE AB.EH GH,AD BC. (2)AB与DH所在直线不相交，它们 (填“是”或“不是”)平行线.由此可知，在 内，两条不相交的直线才是 平行线. 9.小明玩折纸游戏，如图，取一张长方形的硬 纸板ABCD,将硬纸板ABCD对折，使CD 与AB重合，EF为折痕.把长方形ABFE平 放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变 位置，小明发现总有CD∥AB存在.你知道 为什么吗？ 10.如图，在∠AOB内有一点P. (1)过点P画l1∥OA: (2)过点P画l2∥OB; (3)用量角器量一量1与12的夹角与∠O 的大小有怎样的关系. 【思维拓展 ，◆·强化素养 11.分类讨论新理念先阅读，然后解答 问题：两条直线将平面分成几部分？ 解：如图①，两条直线平行时，它们将平面 分成三部分；如图②，两条直线不平行时， 它们将平面分成四部分， (1)上面问题的解题过程应用了 (填“转化”“分类讨论”或“整体”)的数 学思想。 (2)三条直线将平面分成几部分？请画出来. I I Ⅱ W<Ⅱ Ⅲ 图① 图② 数学W七年级下册8参考答案 第七章相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 新知梳理 ①反向延长线 ②顶点反向延长线目相等 例题引路 【例1】(1)∠BOC(2)∠BOF,∠AOE【例2】D 基础过关 1.C2.120° 3.C4.35°5.对顶角相等6.解：因为∠1十∠2=270°，又因为∠1与 ∠2是对顶角，根据“对顶角相等”，所以∠1=∠2.所以2∠1=270°.所以∠1=135°，所 以∠1=∠2=135°.因为∠1十∠3=180°，所以∠3=180°-∠1=180°-135°=45 能力提升 弥 7.C8.90°9.180°【变式】80°10.解：(1)∠BOD∠AOE(2)因为∠DOB= 解 ∠AOC=70°，∠DOB=∠BOE+∠EOD,∠BOE:∠EOD=2:3,所以设∠BOE= 2x°，∠EOD=3x°，则2x+3x=70,解得x=14.所以∠BOE=2x°=28°.所以∠AOE= 180°-∠BOE=180°-28°=152°.11.解：(1)因为∠BOE与∠B0D互为余角，所以 ∠BOE+∠BOD=90°.因为∠BOE=4∠BOD,所以4∠BOD+∠BOD=90°.所以 ∠BOD=18°.(2)因为∠BOE=4∠BOD,所以∠BOE=4X18°=72°.所以∠AOE= 180-∠B0E=180°-72=108.因为OF平分∠A0E,所以∠E0F=∠A0E=54 她 所以∠BOF=∠BOE+∠EOF=72°+54°=126° 思维拓展 12.(1)2(2)6(3)12(4)n(n-1) 7.1.2两条直线垂直 新知梳理 ①直角垂线垂足 ②有且只有一 ③垂线段垂线段最短④垂线段 0 例题引路 【例1】解：如图， 直线AD即为所求.【例2】B【例3】垂线段最短 基础过关 1.A2.互相垂直3.A4.解：如图 线 图① 图② 图③ 5.C6.D垂线段最短7.135°或45 能力提升 8A9号 10.解：(1)①如图，PM即为所求.②如图，PV即为所求 (2)PM<PN<ON垂线段最短11.解：(1)因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°.所以 ∠AOC+∠1=90°.因为∠1=∠2，所以∠AOC+∠2=90°，即∠NOC=90°.所以ON⊥ CD.(2)因为OM⊥AB,所以∠BOM=90°，因为∠BOC=6∠1，所以∠BOM+∠1= 6∠1，即90°+∠1=6∠1.所以∠1=18°.所以∠A0C=90°-∠1=90°-18°=72 ∠M0D=180°-∠1=180°-18°=162°. 第1页（共54页） 思维拓展 12.解：(1)∠AOD与∠BOC互补.说明如下：因为∠AOD=∠AOB十∠BOD=90°十 ∠BOD,∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOD=90°+90°-∠BOC.即 ∠AOD十∠BOC=180°.所以∠AOD与∠BOC互补.(2)猜想还成立.理由如下：因为 ∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，∠AOB,∠COD都是直角，所以90°+ ∠BOC+90°+∠AOD=360°.所以∠BOC十∠AOD=180°.所以∠AOD与∠BOC 互补. 7.1.3两条直线被第三条直线所截 基础过关 1.A2.∠43.B4.∠15.C6.∠3 能力提升 7.B8.70°70°110°对顶9.解：(1)如图. (2)由∠1：∠2： 273 ∠3=1：2：3，设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3x°.由∠2与∠3是邻补角，得∠2+∠3= 2x+3x°=180°，解得x=36.所以∠1=36°，∠2=2x°=72°，∠3=3x°=108， 模型构建专题“三线八角”的常见模型 1.C2.C3.A4.C5.AB AC DE内错6.(1)∠C,∠MOF,∠AOF (2)∠MOE,∠AOE,∠D7.解：(1)同位角：∠FAE和∠B;内错角：∠B和∠DAB;同 旁内角：∠EAB和∠B.(2)∠EAC和∠BCA,∠DAC和∠ACG.(3)∠BAC和∠BCA, ∠FAC和∠ACG. 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 新知梳理 ②相交平行③且只有一 ④平行 例题引路 【例1】D【例2】解：(1)如图，P直线c即为所求.(2)a∥c.理由如下：因为a b ∥b,b∥c,所以a∥c.(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行) 基础过关 1.C2.B3.(1)平行(2)相交(3)重合4.B【变式】C5.不能过直线外一 点有且只有一条直线与这条直线平行6.解：(1)如图. Q(2)AB∥CD. D —B E -F 理由如下：因为AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD. 能力提升 7.C8.(1)∥⊥⊥∥(2)不是同一平面9.解：因为AB∥EF,CD∥EF,所 以AB∥CD.依据：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 10.解：(1)(2)如图.(3)如图， 1与l2的夹角有两个，设为∠1，∠2.量 0 得∠1=∠0=50°，∠2=130°，所以∠2+∠0=180°.综上所述，l1与2的夹角与∠0 相等或互补. 思维拓展 11.解：(1)分类讨论(2)如图，三条直线将平面分成四或六或七部分. Ⅲ\V Ⅲ N V IVV 答图① 答图② 答图③ 答图④ 第2页（共54页） 7.2.2平行线的判定 新知梳理 ①相等②相等3互补 例题引路 【例1】解：(1)由∠1=∠2可得AB∥CD.理由：内错角相等，两直线平行，(2)由∠B+ ∠BAD=180°可得AD∥BC.理由：同旁内角互补，两直线平行.(3)由∠B=∠5可得 AB∥CD.理由：同位角相等，两直线平行，【例2】解：AB∥CD.理由如下：·∠ACD= 70°，∠ACB=60°，.∠BCD=∠ACD+∠ACB=70°+60°=130°.∠B=50°， .∠BCD+∠B=180.∴.AB∥CD. 基础过关 1.D2.同位角相等，两直线平行3.B4.1324内错角相等，两直线平行 5.100°6.同旁内角互补，两直线平行 能力提升 7.B8.∠DAE=∠B9,30°10.解：光线a与光线b平行.理由如下：如图. /a:∠3=∠4，∠3+∠5=180°，∠4+∠6=180°，∴∠5=∠6.：∠1=∠2， 空气56 1Y7 水8 6%空气 ∴.∠1+∠5=∠2+∠6.∴.∠3+∠7=∠4十∠8.∴.a∥b,即光线a与光线b平行. 思维拓展 11.解：(1)∠PAD=32°，∠PAD=∠BAE,.∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE= 116°.(2)BC∥PA.理由如下：：∠PAD=∠BAE,∴.∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE =180°-2∠BAE.同理可得∠ABC=180°-2∠ABE.∠BAE+∠ABE=90°， .∠PAB+∠ABC=180°-2∠BAE+180°-2∠ABE=360°-2（∠BAE+∠ABE)= 180°..BC∥PA. 7.2.3平行线的性质 第1课时平行线的性质 新知梳理 ①相等②相等3互补 例题引路 【例1】解：∠A=∠C,∠B=∠D.理由如下：AB∥CD,∴.∠A十∠D=180°.：AD∥ BC,∴.∠C十∠D=180°.∴.∠A=∠C.同理可得∠B=∠D.【例2】解：如图， 过点B作EF∥AM,则∠1=∠A=120°.：∠ABC=150°，.∠2= ∠ABC-∠1=150°-120°=30°.：AM∥CN,.EF∥CN.∴.∠2+∠C=180°.∴.∠C =180°-∠2=180°-30°=150°. 基础过关 1.B2.160°3.D4.36°5.C6.65 能力提升 7.B8.B9.140°10.65°11.解：(1)∠A=∠B.理由如下：BC∥AD,∴.∠B= ∠DOE.又：BE∥AF,∠DOE=∠A.∠A=∠B.(2)BE∥AF,∠EOA十∠A =180°.∠E0A=∠D0B=135°，.∠A=180°-∠E0A=180°-135°=45°. 思维拓展 12.解：(1)：AB∥CD,∴∠1=∠3.BE∥DF,∴.∠2=∠3.∠1=∠2.(2)AB∥ CD,∠1=∠3.：BE∥DF,∠2+∠3=180°.∴∠1+∠2=180°.(3)相等或互补 (4)设一个角的度数为x°，则另一个角的度数为3x°-60°.①当x=3x一60时，解得x= 30.此时3x°一60°=x°=30°.则这两个角的度数分别为30°，30°：②当x十3x一60=180 时，解得x=60.此时3x°-60°=3×60°-60°=120°.则这两个角的度数分别为60°， 120°. 第3页（共54页）