7.1.2 两条直线垂直-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）陕西专版

【名师导学 。◆预习先知 圆新知梳理 ①一般地，当两条直线α，b相交所成的 四个角中，有一个角是 时， 我们说a与b互相垂直，记作“a b”其中的一条直线叫作另一条直线的 ,它们的交点叫作 ②在同一平面内，过一点 条直线与已知直线垂直. ③连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中， 最短.简单说 成： ④直线外一点到这条直线的 的长度，叫作点到直线的距离。 ☑例题引路 【例1】如图，请你过点A画ADBC, 垂足为D. ·A C 【名师点拔】用“一贴、二移、三画”的方法 去画，另外要注明垂足 【学生解答】 【例2】下列说法中，不正确的是() A.一条直线有无数条垂线 B.一条直线只有一条垂线 C.过一点可画平面内多条直线的垂线 D.过直线外一点画直线的垂线，垂足 一定在直线上 【学生解答】 【例3】如图，某工程队计划把河水引到 水池A中，他们先过点A作AB⊥CD, 垂足为B,CD为河岸，然后沿AB开 渠，可以节约人力、物力和财力，这样设 计的数学依据是 R 【学生解答】 3第七章相交线与平行线 7.1.2两条直线垂直 【基础过关 ·。逐点击破 知识点1垂线的定义 1.如图，OA⊥OB.若∠1=55°，则∠2的度数为 ( A.35 B.40° C.45° D.60° B 130 C- 1 /O40°D A 2 E (第1题图) (第2题图) 2.如图，直线AB,CD相交于点O如果∠EOD=40°，∠BOC= 130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是 知识点2垂线的画法及性质 3.如图，在同一平面内，经过直线1外一点A画1的垂线，能 画出 ( A· A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.(教材P5例2变式)如图，已知∠AOB和一点P,过点P 画∠AOB两边的垂线. 。P B 图① 图② 图③ 知识点3垂线段的性质及点到直线的距离 5.如图，AC⊥BC,CD⊥AB,则点C到AB的距离为( A.线段BD的长度 B.线段AD的长度 C.线段CD的长度 D.线段BC的长度 D B D (第5题图) (第6题图) 6.（咸阳期中)噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等 均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度 及暴露时间.人距离声源越近，听到的声音越大，受到的危 害就越大.如图，工厂C处有大型生产机器会产生较大噪 声，人站在（填“A”“B”或“D”)处受到的危害较大.理 由是 !易错点未给出图形，考虑不周全而致错 7.如图，点O为直线AB上C 一点，过点O作射线OC, 使∠BOC=135°.将直角三 角尺MON绕点O旋转一 周，当直线OM与直线OC互相垂直时， ∠AOM的度数是 【能力提升 ◆>·整合运用 8.如图，已知OC是∠BOD的平分线，OD⊥OA, ∠BOC=32°，则∠AOC的度数为() A.58° B.64° C.26 D.68° -D M (第8题图) (第9题图) 9.如图，在三角形ABC中，AB=5,BC=2,点A 到BC边的距离为4.若M是AB边上的一个 动点，则线段CM的长度的最小值是 10.(1)在如图所示的方格纸中，点P是∠AOB 的边OB上的一点，请完成下列各题： ①过点P画OA的垂线，垂足为M; ②在射线OA上找一点N,使得直线 PN⊥OB; (2)在图中PN,PM,ON这三条线段大小关 系是 (用“<”号连接)，并 说明其中的数学理由： 11.(2025·西安铁一中月考)如图，直线AB, CD相交于点O,OM⊥AB于点O. (1)若∠1=∠2，试说明：ON⊥CD; (2)若∠BOC=6∠1，求∠AOC,∠MOD的 度数. 【思维拓展 ，◆◆强化素养 12.如图①，∠AOB,∠COD都是直角. B 图① 图② (1)试猜想∠AOD和∠BOC在数量上是否 存在相等、互余或互补关系，你能说明 你猜想的正确性吗？ (2)当∠COD绕点O旋转到如图②的位置 时，你的猜想还成立吗？为什么？ 数学W七年级下册4参考答案 第七章相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 新知梳理 ①反向延长线 ②顶点反向延长线目相等 例题引路 【例1】(1)∠BOC(2)∠BOF,∠AOE【例2】D 基础过关 1.C2.120° 3.C4.35°5.对顶角相等6.解：因为∠1十∠2=270°，又因为∠1与 ∠2是对顶角，根据“对顶角相等”，所以∠1=∠2.所以2∠1=270°.所以∠1=135°，所 以∠1=∠2=135°.因为∠1十∠3=180°，所以∠3=180°-∠1=180°-135°=45 能力提升 弥 7.C8.90°9.180°【变式】80°10.解：(1)∠BOD∠AOE(2)因为∠DOB= 解 ∠AOC=70°，∠DOB=∠BOE+∠EOD,∠BOE:∠EOD=2:3,所以设∠BOE= 2x°，∠EOD=3x°，则2x+3x=70,解得x=14.所以∠BOE=2x°=28°.所以∠AOE= 180°-∠BOE=180°-28°=152°.11.解：(1)因为∠BOE与∠B0D互为余角，所以 ∠BOE+∠BOD=90°.因为∠BOE=4∠BOD,所以4∠BOD+∠BOD=90°.所以 ∠BOD=18°.(2)因为∠BOE=4∠BOD,所以∠BOE=4X18°=72°.所以∠AOE= 180-∠B0E=180°-72=108.因为OF平分∠A0E,所以∠E0F=∠A0E=54 她 所以∠BOF=∠BOE+∠EOF=72°+54°=126° 思维拓展 12.(1)2(2)6(3)12(4)n(n-1) 7.1.2两条直线垂直 新知梳理 ①直角垂线垂足 ②有且只有一 ③垂线段垂线段最短④垂线段 0 例题引路 【例1】解：如图， 直线AD即为所求.【例2】B【例3】垂线段最短 基础过关 1.A2.互相垂直3.A4.解：如图 线 图① 图② 图③ 5.C6.D垂线段最短7.135°或45 能力提升 8A9号 10.解：(1)①如图，PM即为所求.②如图，PV即为所求 (2)PM<PN<ON垂线段最短11.解：(1)因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°.所以 ∠AOC+∠1=90°.因为∠1=∠2，所以∠AOC+∠2=90°，即∠NOC=90°.所以ON⊥ CD.(2)因为OM⊥AB,所以∠BOM=90°，因为∠BOC=6∠1，所以∠BOM+∠1= 6∠1，即90°+∠1=6∠1.所以∠1=18°.所以∠A0C=90°-∠1=90°-18°=72 ∠M0D=180°-∠1=180°-18°=162°. 第1页（共54页） 思维拓展 12.解：(1)∠AOD与∠BOC互补.说明如下：因为∠AOD=∠AOB十∠BOD=90°十 ∠BOD,∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOD=90°+90°-∠BOC.即 ∠AOD十∠BOC=180°.所以∠AOD与∠BOC互补.(2)猜想还成立.理由如下：因为 ∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，∠AOB,∠COD都是直角，所以90°+ ∠BOC+90°+∠AOD=360°.所以∠BOC十∠AOD=180°.所以∠AOD与∠BOC 互补. 7.1.3两条直线被第三条直线所截 基础过关 1.A2.∠43.B4.∠15.C6.∠3 能力提升 7.B8.70°70°110°对顶9.解：(1)如图. (2)由∠1：∠2： 273 ∠3=1：2：3，设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3x°.由∠2与∠3是邻补角，得∠2+∠3= 2x+3x°=180°，解得x=36.所以∠1=36°，∠2=2x°=72°，∠3=3x°=108， 模型构建专题“三线八角”的常见模型 1.C2.C3.A4.C5.AB AC DE内错6.(1)∠C,∠MOF,∠AOF (2)∠MOE,∠AOE,∠D7.解：(1)同位角：∠FAE和∠B;内错角：∠B和∠DAB;同 旁内角：∠EAB和∠B.(2)∠EAC和∠BCA,∠DAC和∠ACG.(3)∠BAC和∠BCA, ∠FAC和∠ACG. 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 新知梳理 ②相交平行③且只有一 ④平行 例题引路 【例1】D【例2】解：(1)如图，P直线c即为所求.(2)a∥c.理由如下：因为a b ∥b,b∥c,所以a∥c.(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行) 基础过关 1.C2.B3.(1)平行(2)相交(3)重合4.B【变式】C5.不能过直线外一 点有且只有一条直线与这条直线平行6.解：(1)如图. Q(2)AB∥CD. D —B E -F 理由如下：因为AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD. 能力提升 7.C8.(1)∥⊥⊥∥(2)不是同一平面9.解：因为AB∥EF,CD∥EF,所 以AB∥CD.依据：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 10.解：(1)(2)如图.(3)如图， 1与l2的夹角有两个，设为∠1，∠2.量 0 得∠1=∠0=50°，∠2=130°，所以∠2+∠0=180°.综上所述，l1与2的夹角与∠0 相等或互补. 思维拓展 11.解：(1)分类讨论(2)如图，三条直线将平面分成四或六或七部分. Ⅲ\V Ⅲ N V IVV 答图① 答图② 答图③ 答图④ 第2页（共54页） 7.2.2平行线的判定 新知梳理 ①相等②相等3互补 例题引路 【例1】解：(1)由∠1=∠2可得AB∥CD.理由：内错角相等，两直线平行，(2)由∠B+ ∠BAD=180°可得AD∥BC.理由：同旁内角互补，两直线平行.(3)由∠B=∠5可得 AB∥CD.理由：同位角相等，两直线平行，【例2】解：AB∥CD.理由如下：·∠ACD= 70°，∠ACB=60°，.∠BCD=∠ACD+∠ACB=70°+60°=130°.∠B=50°， .∠BCD+∠B=180.∴.AB∥CD. 基础过关 1.D2.同位角相等，两直线平行3.B4.1324内错角相等，两直线平行 5.100°6.同旁内角互补，两直线平行 能力提升 7.B8.∠DAE=∠B9,30°10.解：光线a与光线b平行.理由如下：如图. /a:∠3=∠4，∠3+∠5=180°，∠4+∠6=180°，∴∠5=∠6.：∠1=∠2， 空气56 1Y7 水8 6%空气 ∴.∠1+∠5=∠2+∠6.∴.∠3+∠7=∠4十∠8.∴.a∥b,即光线a与光线b平行. 思维拓展 11.解：(1)∠PAD=32°，∠PAD=∠BAE,.∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE= 116°.(2)BC∥PA.理由如下：：∠PAD=∠BAE,∴.∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE =180°-2∠BAE.同理可得∠ABC=180°-2∠ABE.∠BAE+∠ABE=90°， .∠PAB+∠ABC=180°-2∠BAE+180°-2∠ABE=360°-2（∠BAE+∠ABE)= 180°..BC∥PA. 7.2.3平行线的性质 第1课时平行线的性质 新知梳理 ①相等②相等3互补 例题引路 【例1】解：∠A=∠C,∠B=∠D.理由如下：AB∥CD,∴.∠A十∠D=180°.：AD∥ BC,∴.∠C十∠D=180°.∴.∠A=∠C.同理可得∠B=∠D.【例2】解：如图， 过点B作EF∥AM,则∠1=∠A=120°.：∠ABC=150°，.∠2= ∠ABC-∠1=150°-120°=30°.：AM∥CN,.EF∥CN.∴.∠2+∠C=180°.∴.∠C =180°-∠2=180°-30°=150°. 基础过关 1.B2.160°3.D4.36°5.C6.65 能力提升 7.B8.B9.140°10.65°11.解：(1)∠A=∠B.理由如下：BC∥AD,∴.∠B= ∠DOE.又：BE∥AF,∠DOE=∠A.∠A=∠B.(2)BE∥AF,∠EOA十∠A =180°.∠E0A=∠D0B=135°，.∠A=180°-∠E0A=180°-135°=45°. 思维拓展 12.解：(1)：AB∥CD,∴∠1=∠3.BE∥DF,∴.∠2=∠3.∠1=∠2.(2)AB∥ CD,∠1=∠3.：BE∥DF,∠2+∠3=180°.∴∠1+∠2=180°.(3)相等或互补 (4)设一个角的度数为x°，则另一个角的度数为3x°-60°.①当x=3x一60时，解得x= 30.此时3x°一60°=x°=30°.则这两个角的度数分别为30°，30°：②当x十3x一60=180 时，解得x=60.此时3x°-60°=3×60°-60°=120°.则这两个角的度数分别为60°， 120°. 第3页（共54页）