7.2.3 第1课时 平行线的性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）广西专版

冒名师导学。预习先知 新知梳理 ①两直线平行，同位角 ②两直线平行，内错角 ③两直线平行，同旁内角 例题引路 【例1】如图，AB∥ CD,AD∥BC,∠A 和∠C,∠B和∠D 有怎样的大小关系？为什么？ 【名师点拨】已知条件中有两组平行直 线，根据平行线的性质，推导出角与角 之间的数量关系 【学生解答】 【例2】如图，一条 公路修到湖边时， 需拐弯绕湖通过， M 如果第一次拐的 角是∠A=120°，第二次拐的角是 ∠ABC=150°，第三次拐的角是∠C, 这时的道路恰好和第一次拐弯之前的 道路平行，求∠C的度数， 【名师点拨】过点B作EF∥AM,则 AM∥EF∥CN,利用平行线的性质即 可求得/C的度数 【学生解答】 11 数学W七年级下册 7.2.3平行线的性质 落1课时 平行线的性质 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1 两直线平行，同位角相等 1.如图，直线a,b被直线c所截.若a∥b,∠1=70°，则∠2的 度数是 ( A.50° B.60° C.70° D.110° (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.(河池南丹县一模)把一块直尺与一块三角尺如图放置，若 ∠1=40°，则∠2的度数为 ) A.140° B.130° C.50 D.120 3.一副三角尺按如图所示方式放置，斜边平行，则∠1的度数 为 知识点2两直线平行，内错角相等 4.如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A= 130°，那么∠B的度数是 ( ) A.1609 B.150 C.140° D.130° D0-- C--- D A--- B （第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.(四川甘孜州)如图，AB∥CD,AD平分∠BAC,∠1=30°，则 ∠2的度数为 ) A.15 B.309 C.45 D.60° 知识点3两直线平行，同旁内角互补 6.(青海)如图，一个弯曲管道AB∥CD,∠ABC=120°，则 ∠BCD的度数是 ) A.120 B.30° C.60° D.150° 7.如图是某考古队发掘出的一块梯形残缺玉片，工作人员从 玉片上量得∠A=115°，∠D=100°，已知梯形的两底AD∥ BC,请你帮助工作人员求出另外两个角的度数. D 115°100 ------ 8 祠能力提升。整合运用 8.(陕西)如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B= 145°，则∠D的度数为 A.25° B.359 C.45 D.55 空气 B (第8题图) (第9题图) 9.跨学科物理（南宁期中）光在不同介质中的传 播速度不同，因此当光线从空气射向水中时， 会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射 光线，在水中的两条折射光线也是平行的.若 水面和杯底互相平行，且∠1=125°，则∠2的 度数为 10.(北海期未)如图，将长方 形纸片按如图所示方式折 叠.若∠1=55°，则∠2的 度数为 11.如图，已知∠B=∠C,∠1=∠AGE. (1)请判断直线AB,CD的位置关系，并说 明理由； (2)若∠BEC=4∠B,求∠BFD的度数， ⊙ 思维拓展。学科素养 12.数学思想分类讨论【提出问题】若两个角的 两边分别平行，则这两个角有怎样的数量 关系？ 【解决问题】分两种情况进行探究，请结合 图形探究这两个角的数量关系 (1)如图①，AB∥EF,BC∥DE.试说明： ∠1=∠2； (2)如图②，AB∥EF,BC∥DE.试说明：∠1+ ∠2=180°； 【得出结论】由(1)(2)我们可以得到结论： 若两个角的两边分别平行，则这两个角的 数量关系为 【拓展应用】 (3)若两个角的两边分别平行，其中一个角 比另一个角的2倍少60°，求这两个角 的度数 A C E D 图① 图② 第七章相交线与平行线12参考答案 第七章 相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 新知梳理 ①反向延长线 ②顶点反向延长线③相等 例题引路 【例1】(1)∠BOC(2)∠BOF,∠AOE【例2】B 基础过关 1.D2.C3.120°4.B5.35°6.解：因为OA平分∠EOC,∠EOC=70°，所以 ∠A0C=号∠E0C=35,所以∠B0D=∠A0C=35.7.40或80 能力提升 弥8.C9.90°10.180°11.解：(1)∠BOD∠AOE(2)因为∠D0B=∠AOC=70°， 鞦 ∠DOB=∠BOE+∠EOD,∠BOE:∠EOD=2:3,所以设∠BOE=2x°，∠EOD= 3x°，则2x十3x=70,解得x=14.所以∠BOE=2x°=28°，所以∠AOE=180°-∠BOE =180°-28°=152°.12.解：因为∠DOE是直角，所以∠DOE=90°，所以∠COE= 180°-∠DOE=180°-90°=90°.因为∠AOC=∠BOD=36°，所以∠AOE=∠AOC+ ∠C0E=36+90=126.因为0F平分∠A0E,所以∠A0F=∠A0E=×126° 63°，所以∠COF=∠AOF-∠AOC=63°-36°=27°. 柏 思维拓展 13.解：(1)2 (2)6(3)12(4)若有n(n≥2)条直线相交于一点，则有n(n-1)对对顶角. 7.1.2两条直线垂直 封 第1课时垂线 新知梳理 ①直角垂线垂足 ②有且只有 例题引路 0 【例1】解：如图，线段AD即为所求. 【例2】B 基础过关 1.A2.C3.互相垂直4.B5.解：如图 线 图① 图② 图③ 6.A【变式】D7.145°或35° 能力提升 8.B9.B10.①②③11.解：因为OE平分∠BOD,所以∠DOE=∠BOE= ∠BOD.设∠DOE=∠BOE=a,则∠BOD=2a.因为∠BOC=3∠DOE,所以∠BOC 1 =3a.因为∠BOC+∠BOD=180°，即3a+2a=180°，解得a=36°.所以∠BOD=2a 72°，∠BOC=3a=108°，所以∠AOD=∠BOC=108°，因为OF⊥CD,所以∠COF=90°， 所以∠FOB=∠BOC-∠COF=108°-90°=18°，所以∠EOF=∠FOB+∠BOE=18 十36°=54°. 思维拓展 12.解：(1)∠AOD与∠BOC互补.说明如下：因为∠AOD=∠AOB十∠BOD=90°+ ∠BOD,∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-∠BOC,所以∠AOD=90°+90°-∠BOC,所 以∠AOD+∠BOC=180°，所以∠AOD与∠BOC互补；(2)猜想仍成立.理由如下：因 第1页（共48页） 为∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，∠AOB,∠COD都是直角，所以90°+ ∠BOC+90°+∠AOD=360°.所以∠BOC+∠AOD=180°.所以∠AOD与∠BOC互补. 第2课时垂线段 基础过关 1.D2.B3.D4.AD 能力提升 5.C6.A7.解：(1)如图， M 根据“垂线段最短”，过点M作AB的垂 A B 线，垂足为P,所以汽车行驶到P点时，与学校M距离最近，学校M受噪声影响最严 重：(2)如图，由(1)可知，汽车行驶在AP段时，与学校M的距离越来越近，学校M受 噪声影响越来越大；汽车行驶在PB段时，与学校M的距离越来越远，学校M受噪声 影响越来越小 7.1.3两条直线被第三条直线所截 基础过关 1.A2.A3.B4.C5.B6.∠B∠A∠B,∠3 能力提升 7.D8.C9.70°70°110°对顶10.解：(1)如图： C (2)由 b 2y3 ∠1：∠2：∠3=1：2：3，设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=-3x°.由∠2与∠3是邻补角，得 ∠2十∠3=2x°+3x°=180°，解得x=36.所以∠1=36°，∠2=2x°=72°，∠3=3x°= 108. 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 新知梳理 ②相交平行③一 ④平行 例题引路 【例1】D【例2】解：(1)如图，P 直线c即为所求；(2)a∥c.理由如下：因为 C b a∥b,c∥b,所以a∥c.(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行) 基础过关 1.A2.(1)平行(2)相交(3)重合3.解：(1)如图；■ (2)AB∥CD, AE∥BC,BE⊥AB,BE⊥DC.4.B【变式】C5.解：(1)如图： Q A (2)AB∥CD.理由如下：因为AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD. 能力提升 6.C7.D8.(1)∥⊥⊥∥(2)不是同一平面9.解：(1)(2)如图： (3)如图，l1与l2的夹角有两个，设为∠1，∠2.量得∠1=∠0=50°，∠2 =130°，所以∠2十∠0=180°.综上所述，l1与l2的夹角与∠0相等或互补. 思维拓展 10.解：(1)分类讨论(2)如答图，三条直线将平面分成四或六或七部分 第2页（共48页） Ⅲ、V I V 答图① 答图② 答图③ 答图④ 7.2.2平行线的判定 新知梳理 ①相等②相等3互补 例题引路 【例1】解：可添加：∠D十∠A=180°或∠C十∠CBA=180°，依据：同旁内角互补，两直 线平行.可添加：∠C=∠CBE,依据：内错角相等，两直线平行.【例2】解：：∠1= ∠2，∠ABC=∠ACB,∴.∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，即∠EBD=∠FCB.∠EBD= ∠D,∴∠FCB=∠D,∴.FC∥ED. 基础过关 1.=2.AB∥CD同位角相等，两直线平行3.AB CD BE DF4.B5.内 角相等，两直线平行6.100°7.解：∠ACD=70°，∠ACB=60°，.∠BCD=∠ACD +∠ACB=70°+60°=130°.：∠B=50°，∴∠BCD+∠B=130°+50°=180°，∴.AB∥ CD. 能力提升 8.C9.∠5=∠A(答案不唯一)10.解：(1)OC平分∠AOF,OD平分∠BOF, ∠COF=∠A0F,∠D0F=号∠BOR,:∠A0F+∠BOF=180,∠COD= ∠C0F+∠D0F=合（∠A0F+∠B0D)=号×180=90,0C10D:(2)由(1）知 ∠C0D=90°，∴.∠1+∠D0B=180°-∠C0D=180°-90°=90°.：∠D与∠1互余， ∴.∠D+∠1=90°，∴∠D=∠DOB,∴.ED∥AB. 思维拓展 1L.解：(1)70°(2)∠BCD+∠ACE=180°.理由如下：∠BCD=∠ACB+∠ACD= 90°+∠ACD,∴∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°；(3)分两 种情况讨论：①如答图①，∠ACE=30°.理由如下：：∠ACE=30°，∠A=30°，∴∠ACE =∠A,.CE∥AB;②如答图②，∠ACE=150°.理由如下：：∠ACE=150°，∠A=30°， .∠ACE+∠A=150°+30°=180°，.CE∥AB.综上所述，当∠ACE等于30°或150 时，CE∥AB. 答图① 答图② 7.2.3平行线的性质 第1课时平行线的性质 新知梳理 ①相等②相等3互补 例题引路 【例1】解：∠A=∠C,∠B=∠D.理由如下：：AB∥CD,∴.∠A十∠D=180°.AD∥ BC,∴∠C十∠D=180°，∴.∠A=∠C.同理可得∠B=∠D.【例2】解：如图， 过点B作EF∥AM,则∠1=∠A=120°.∠ABC=150°，.∠2= B ∠ABC-∠1=30°.AM∥CN,.EF∥CN,∴.∠2+∠C=180°，.∠C=180°-∠2= 150°. 基础过关 1.C2.B3.15°4.D5.B6.C7.解：AD∥BC,∠A=115°，∠D=100°， 第3页（共48页） .∠B=180°-∠A=180°-115°=65°，∠C=180°-∠D=180°-100°=80°. 能力提升 8.B9.55°10.70°11.解：(1)AB∥CD.理由如下：∠1=∠AGE=∠CGD,.BF ∥CE,∴∠C=∠BFD.:∠B=∠C,∴.∠B=∠BFD,∴AB∥CD:(2)由(1)知，BF∥ CE,∴∠BEC+∠B=180°.：∠BEC=4∠B,∴.4∠B+∠B=180°，∠B=36°.∠B =∠BFD,∴.∠BFD=36°. 思维拓展 12.解：(1)：AB∥EF,∴.∠1=∠3.：BC∥DE,∠2=∠3.∠1=∠2；(2)：AB∥ EF,∴.∠1=∠4.BC∥DE,∴∠2+∠4=180°.∴.∠1十∠2=180；【得出结论】相等 或互补(3)设其中一个角的度数为x°，则另一角的度数为(2x一60)°.①当x=2x一60 时，解得x=60.此时两个角的度数分别为60°，60°；②当x十2x-60=180,解得x=80, 则2x一60=100.此时两个角的度数分别为80°，100°.综上所述，这两个角的度数为 60°，60°或80°，100°. 第2课时平行线性质与判定的综合运用 基础过关 1.D2.D3.BE∠AGF∠4等量代换内错角相等，两直线平行 能力提升 4.解：(I):DE∥BC,∴.∠C=∠AED.:∠EDF=∠C,∴∠AED=∠EDF,∴.DF∥ AC,.∠BDF=∠A:(2)三角形ABC是等腰直角三角形.[解析：：∠A=45°， ∴∠BDF=45°.DF平分∠BDE,∴∠BDE=2∠BDF=90°，DE∥BC,∠B= 180°-∠BDE=180°-90°=90°，.∠C=180°-∠B-∠A=180°-90°-45°=45°， 三角形ABC是等腰直角三角形]5.解：(1)∠GEA=∠HFB.理由如下：：AD∥ BC,∴.GE∥HF,∠HPA=∠HFB,.∠GEA=∠HPA,.∠GEA=∠HFB;(2)当 ∠EFC=35时，GH∥AD.理由如下：AD∥BC,.GE∥HF.根据折叠的性质可知 ∠G=∠D=70°，∠HFE=∠EFC=35°，.∠H=180°-∠G=180°-70°=110°， ∠HFC=∠HFE+∠EFC=35°+35°=70°，∴.∠H+∠HFC=110°+70°=180°， .GH∥BC,.GH∥AD,∴.当∠EFC=35时，GH∥AD 模型构建专题平行线中的折线问题一过拐点作平行线 1.B2.82°3.解：(1)如图，4EB过点G作GH∥AB.因为AB∥CD,所以 C F D AB∥GH∥CD,所以∠BEG=∠EGH,∠DFG=∠FGH,所以∠EGF=∠EGH+ ∠FGH=∠BEG+∠DFG:(2)105°4.C5.144°6.解：(1)∠1两直线平行，内错 角相等CD如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行∠2 两直线平行，内错角相等(2)∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°.理由如下：如图②， A E B过点P作PM∥AB,∴.∠AEP+∠EPM=180°.：AB∥CD,∴.PM∥ M-- P C F D CD,∴∠CFP+∠FPM=l8O°.又：∠EPF=∠EPM+∠FPM,.∠AEP+∠EPM+ ∠CFP+∠FPM=360°，∴.∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°；(3)540°.[解析：过点P, Q分别作PM∥AB,QN∥CD,而AB∥CD,.AB∥PM∥NQ∥CD,,.∠AEP+ ∠EPM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQF+∠QFC=180°，∴.∠AEP+∠EPQ 十∠PQF+∠QFC=540]7.D8.解：(1)∠B=∠BED+∠D(2)∠D=∠B+ ∠BED.理由如下：如图②，过点E作EF∥AB,则∠B十∠BEF=180°，A B ∴.∠DEF=∠BEF-∠BED=18O°-∠B-∠BED.AB∥CD,AB∥ EF,.CD∥EF,·∠D+∠DEF=180°，即∠D+180°-∠B-∠BED=C D F------万 180°，∴.∠D=∠B+∠BED;(3)30°9.A10.解：(1)=(2)∠B+ 图② ∠F十∠F2十…十∠Fm-1十∠D=∠E十∠E2十…十∠E 夯实基础专题与平行线性质有关的角度的计算 1.A2.解：(1)AB∥CD,∴∠A+∠ACD=180°.∠A=52°，∠ACD=128 :CE,CF分别平分∠ACP和∠PCD,∠ECP=合∠ACP,∠PCF=号∠PCD, 第4页（共48页） ∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=(∠ACP+∠PCD)=∠ACD=X12S=64: (2)不变.：AB∥CD,∴.∠CPA=∠PCD,∠CFA=∠FCD.又：CF平分∠PCD, .∠PCD=2∠FCD,.∠CPA=2∠CFA:(3)∠ACE=∠FCD.理由如下：AB∥ CD,∴.∠AEC=∠ECD..'∠AEC=∠ACF,∴.∠ACF=∠ECD,∴∠ACE+∠ECF= ∠FCD+∠ECF,∴.∠ACE=∠FCD.3.B4.105°5.A6.70° 重点突破专题平行线的判定与性质 L.C2.①②③3.解：(1)∠PAD=32°，∠PAD=∠BAE,∠PAD+∠PAB+ ∠BAE=180°，.∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE=180°-32°-32°=116°：(2)BC∥ PA.理由如下：：∠PAD=∠BAE,∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE,∴∠PAB=180 -2∠BAE.同理可得∠ABC=180°-2∠ABE.:∠BAE+∠ABE=90°，∠PAB+ ∠ABC=180°-2∠BAE+180°-2∠ABE=360°-2（∠BAE+∠ABE)=360°-2× 90°=180°.∴.BC∥PA.4.B5.B6.解：在三角形EFG中，∠EFG=90°，∠E=35°， ∴.∠EGF=180°-∠EFG-∠E=180°-90°-35°=55°.：GE平分∠FGD,∴.∠EGF =∠EGD=55°.AB∥CD,∴∠EHB=∠EGD=55°.又：∠AHE=180°-∠EHB= 180°-55°=125°，.∠EFB=180°-∠AHE-∠E=180°-125°-35°=20°.7.A8.D 9.BC同旁内角互补，两直线平行∠E两直线平行，内错角相等角平分线的定 义等量代换∠4等量代换CD同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角 相等10.解：(1)认同.理由如下：：AB∥CD,∠BAC+∠ACD=180°.：AP平分 ∠BAC,CP平分∠ACD,.∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，.2∠1+2∠2=180°，∴∠1 +∠2=90°；(2)：CP⊥AC,∴.∠ACP=90°，即∠2+∠ACD=90°.：∠2=22， .∠ACD=90°-∠2=90°-22°=68°.AB∥CD,.∠BAC+∠ACD=180°， ·∠BAC=180-∠ACD=180°-68=112.：AP平分∠BAC,·∠1=号∠BAC= 56;(3)CP平分∠ACD,∠ACD=2∠2，AP⊥AC .AB∥CD,..∠BAC+∠ACD=180°.又.∠BAC=∠CAP+∠1=90°+∠1，.90 +∠1+2∠2=180°，.∠1+2∠2=90. 7.3定义、命题、定理 第1课时定义与命题 基础过关 1.B2.A3.D4.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等5.解：(1)如果两个角 互补，那么这两个角是钝角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角；(2)如果两个 数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个 数的绝对值相等，6.D7.C8.如果两条直线相交，那么它们的交点只有一个真 能力提升 9,A10.解：(1)命题“相等的角是直角”的题设是两个角相等，结论是这两个角是直 角：改写成“如果……那么…”的形式为如果两个角相等，那么这两个角是直角； (2)“相等的角是直角”是假命题. 第2课时定理与证明 基础过关 1.B2.D3.C4.D5.A6.对顶角相等等量代换同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 能力提升 7.B8.A9.(1)3×0=(-2)×0(答案不唯一)(2)（一1）=1（答案不唯一） 10.解：(1).DE∥BC,.∠1=∠2.又∠1=∠3，.∠2=∠3，.CD∥FG..∠CDB =∠BFG.CD⊥AB,.∠CDB=90°..∠BFG=90°..FG⊥AB;(2)是真命题.理由 如下：：CD⊥AB,FG⊥AB,∴.∠CDB=∠GFB=90°.∴.CD∥FG.∴∠2=∠3.又 :∠1=∠3，∴∠1=∠2.DE∥BC;(3)是真命题.理由如下：同(2)可得∠2=∠3. DE∥BC,∴.∠1=∠2，.∠1=∠3. 7.4平移 新知梳理 ②(1)形状大小(2)对应点平行在同一条直线上相等 第5页（共48页） 例题引路 【例1】解：对应点分别是点A和点D,点B和点E,点C和点F:所有的对应角分别是 ∠A和∠D,∠B和∠DEF,∠ACB和∠F;所有的对应线段分别是AB和DE,BC和 EF,AC和DF;平移方向：沿着射线BC的方向；平移距离：线段BE(CF)的长度. 【例2】解：如图，三角形A'B'C‘即为所求. 北 ·东 C B N P. 基础过关 1.D2.D3.B4.35.C6.解：(1)如图， 三角形DEF即为所 求；(2)平行且相等 能力提升 7.B8.309.140【变式1】4【变式2】90010.解：(1)三角形ABC如图； (2)号(3)AA与CC平行且相等 思维拓展 11.解：(1)这4个图形都是正方形；(2)设AB=xcm,AD=ycm,则4x·2十4y·2= 144,4(2x十2y)=144,所以2x十2y=36,即原长方形ABCD的周长为36cm. 数学活动 1.D2.D3.C4.解：如图.（答案不唯一） 5.解：(1)①如图， C 线段EH即为所求作的垂线段；②直线MN即为所求作的平行线； -N OH -B D/ (2)EO>EH垂线段最短(3).∠OEH=30°，∠EHO=90°，.∠EOH=90°- ∠OEH=90°-30°=60°..∠A0E=180°-∠E0H=180°-60°=120°.OP平分 ∠AOE,.∠A0P=∠A0E=60.MN/AB,∴∠OPE=∠AOP=60. 第七章整合与提升 高频考点突破 1.D2.B3.55°4.D5.C6.50°7.∠BFD对顶角相等∠2等量代换 DE同位角相等，两直线平行∠CDE两直线平行，同旁内角互补∠C两直线 平行，内错角相等8.解：(1)AD是∠BAC的平分线，∠BAD=35°，∠BAC= 2∠BAD=70°.又，AB∥DG,∴.∠DGC=∠BAC=70°；(2)AB∥DG,.∠2= ∠BAD,又∠1=∠2，.∠1=∠BAD,.AD∥EF.9.D10.两个角是两条直线被 第三条直线所截得到的同旁内角这两个角互补假11.解：(1)选择①②为题设， ③为结论，命题为若∠1=∠2，∠B=∠C,则AB∥CD,该命题是真命题；选择①③为题 设，②为结论，命题为若∠1=∠2，AB∥CD,则∠B=∠C,该命题是真命题；选择②③ 为题设，①为结论，命题为若∠B=∠C,AB∥CD,则∠1=∠2，该命题是真命题：(2)选 择①②为题设，③为结论.（答案不唯一）证明如下：∠1=∠2，∠1=∠CGD,.∠2= ∠CGD..CE∥BF..∠C=∠BFD.∠B=∠C,.∠B=∠BFD..AB∥CD. 12.D13.1814.解：三角形ABC沿AB向右平移得到三角形DEF,.AD=BE= 第6页（共48页）