3.带电粒子在匀强磁场中的运动-【金版新学案】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教版）

3.带电粒子在匀强磁场中的运动 【素养目标】　1.会结合力和运动关系，分析带电粒子在匀强磁场中的运动特点。2.会结合牛顿运动定律推导半径公式r＝和周期公式T＝，理解半径和周期的影响因素。3.会分析、理解洛伦兹力演示仪的原理，通过实验探究方式进行实验验证。4.能熟练画出粒子在有界匀强磁场中的轨迹，理解处理该类问题的规律方法。 知识点一　带电粒子在匀强磁场中的运动 【情境导入】　如图所示，给励磁线圈通电产生匀强磁场，观察电子束的径迹。 (1)电子束在匀强磁场中运动的径迹是什么样的？原因是什么？ (2)保持出射电子的速度不变，增加磁感应强度，电子束径迹有什么变化？ (3)保持磁感应强度不变，增加出射电子的速度，电子束径迹有什么变化？ 提示：(1)电子束的径迹是一个圆。因为洛伦兹力提供了向心力，电子束做匀速圆周运动。 (2)半径减小。 (3)半径增大。 【教材梳理】 (阅读教材P13－P15完成下列填空) 1.带电粒子在匀强磁场中的运动 (1)运动轨迹 带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时： ①当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动。 ②当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动。 (2)洛伦兹力的特点 ①洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力对带电粒子不做功。 ②洛伦兹力总与粒子的运动方向垂直，对粒子提供做圆周运动的向心力。 2.带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 (1)运动条件：不计重力的带电粒子沿着与磁场垂直的方向射入匀强磁场。 (2)洛伦兹力的作用：提供带电粒子做圆周运动的向心力，即qvB＝m。 (3)基本公式 ①半径公式：r＝。 ②周期公式：T＝＝。 【师生互动】　对于带电粒子(不计重力)在匀强磁场中的运动的讨论，请完成如下任务： 任务1.带电粒子在匀强磁场中一定做匀速圆周运动吗？ 任务2.带电粒子在匀强磁场中运动的速度越大，则周期越大吗？ 任务3.带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力的作用时速度大小可能变化吗？ 提示：任务1.不一定。当v∥B时，带电粒子做匀速直线运动；当v⊥B时，带电粒子做匀速圆周运动；当v与B的夹角0°＜θ＜90°时，如图所示，将速度v分解为垂直磁场方向和平行磁场方向的v1和v2，则v1＝vsin θ，v2＝vcos θ，带电粒子在垂直磁场方向以分速度v1做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，在平行于磁场方向以分速度v2做匀速直线运动，合运动为螺旋形运动(旋进运动)。 任务2.由T＝可知，带电粒子在磁场中运动的周期与粒子的速度无关。 任务3.不可能。洛伦兹力永不做功，带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力的作用时速度大小不变。 【探究归纳】 1.半径公式r＝的理解 (1)不同种类粒子在同一匀强磁场中：r由m、q、v共同决定。 (2)同种粒子在同一匀强磁场中：r与v成正比。 学生用书⬇第18页 2.周期公式T＝的理解 (1)在匀强磁场中带电粒子做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度均无关，而与带电粒子的比荷成反比。 (2)匀速圆周运动的周期也可以用T＝计算。 (多选)如图所示，两个匀强磁场的方向相同，均垂直于纸面向里，磁感应强度分别为B1、B2，虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，以下说法正确的是(　　) A.电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P B.电子由P点出发到再次回到P点所用的时间T＝ C.B1＝4B2 D.B1＝2B2 答案：AD 解析：由左手定则可知，电子在P点所受的洛伦兹力的方向向上，轨迹为P→D→M→C→N→E→P，A正确；由题图可得两磁场中轨迹圆的半径比为1∶2，由r＝可得B1＝2B2，C错误，D正确；电子由P点出发到再次回到P点所用的时间t＝T1＋＝＋＝，B错误。故选AD。 针对练1.(多选)(2024·唐山市高二期末)已知氚核的质量约为质子质量的3倍，电荷量与质子电荷量相等。使质子和氚核以大小相同的速度在同一匀强磁场中做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　) A.质子和氚核运动半径之比为3∶1 B.质子和氚核运动半径之比为1∶3 C.质子和氚核运动周期之比为3∶1 D.质子和氚核运动周期之比为1∶3 答案：BD 解析：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得r＝，若质子、氚核在同一匀强磁场中做匀速圆周运动时的速度相同，则它们做匀速圆周运动的半径之比等于它们比荷的反比，质子和氚核运动半径之比＝＝，故A错误，B正确；带电粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，质子和氚核运动周期之比＝＝，故C错误，D正确。故选BD。 针对练2.(多选)两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　) A.如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的半径rA＝rB B.如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子的周期TA＝TB C.如果两粒子的质量mA＝mB，则两粒子的周期TA＝TB D.如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA＝mBvB，则两粒子的半径rA＝rB 答案：CD 解析：粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r＝，又粒子A、B的电荷量相等且在同一磁场中，即q、B相等，若vA＝vB，r还与m有关，若mAvA＝mBvB，则有rA＝rB，A错误，D正确；由T＝可知T与m有关，动能Ek＝mv2相等，质量m不一定相等，若mA＝mB，则有TA＝TB，B错误，C正确。故选CD。 知识点二　带电粒子在有界磁场中的匀速圆周运动 1.处理带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动问题的一般思路 2.四个关键问题 (1)确定圆心位置的方法 ①已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆心，如图甲所示，P为入射点，M为出射点。 ②已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作过其中点的垂线，这两条垂线的交点就是圆心，如图乙所示，P为入射点，M为出射点。 学生用书⬇第19页 (2)求解运动半径的方法 ①根据半径公式r＝求解。 ②根据勾股定理求解。如图丙所示，若已知出射点相对于入射点下移了x，磁场的宽度为d，则有r2＝d2＋(r－x)2。 ③根据三角函数求解。如图丙所示，若已知出射速度方向与入射速度方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有r＝。 (3)确定运动时间的方法 ①利用粒子运动的圆弧所对应的圆心角α求解。运动时间t＝T(或t＝T)。 ②利用粒子在磁场中运动的弧长s和速率v求解。运动时间t＝或t＝T。 (4)圆心角与偏向角、弦切角的关系 ①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧对应的圆心角α，即α＝φ，如图丁所示。 ②圆弧所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如图丁所示。 直线单边界的匀强磁场 (多选)如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ(θ＜)角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子重力及离子间的相互作用，则正、负离子(　　) A.同时重新回到边界 B.重新回到边界的位置到O点的距离相等 C.重新回到边界时两者的速度相同 D.正离子重新回到边界的位置到O点的距离更大 答案：BC 解析：两离子在磁场中运动周期均为T＝。根据左手定则可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示，两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π－2θ，轨迹的圆心角也为2π－2θ，运动时间t1＝T，同理，负离子的运动时间t2＝T，正、负离子在磁场中的运动时间不相等，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得r＝，由题意可知r相同，根据几何知识可得，重新回到边界的位置到O点距离s＝2rsin θ，r、θ相同，则s相同，故两离子重新回到边界的位置到O点的距离相等，故B正确，D错误；两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。故选BC。 带电粒子在直线单边界匀强磁场中运动的常见情况 　　如图甲、乙、丙所示，带电粒子进出磁场时具有对称性，射入和射出磁场时速度与边界夹角大小相等。(R为半径，d为弦长) 学生用书⬇第20页 平行边界的匀强磁场 如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(　　) A.v＞ B.v＜ C.v＞ D.v＜ 答案：A 解析：由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨迹与EF相切，如图所示。由几何知识得r＋rcos θ＝d，r＝，解得v0＝，当v＞v0时，电子能从边界EF射出。故选A。 带电粒子在平行边界匀强磁场中运动的常见情况 　　对于平行边界磁场，常常涉及带电粒子恰好从磁场飞出(或恰好飞不出)的临界问题，常见有两种情景： 1.粒子从磁场边界的端点飞出，如图甲所示。 2.粒子的轨迹恰好与磁场边界相切，如图乙、丙所示。 圆形边界的匀强磁场 (多选)(2024·广东汕头高二期末)两个比荷相等的带电粒子a、b，以不同的速率va、vb对准圆心O沿着AO方向射入垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为120°、60°，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，则下列说法正确的是(　　) A.a粒子带正电，b粒子带负电 B.粒子射入磁场中的速率之比va∶vb＝1∶3 C.粒子在磁场中的运动时间之比ta∶tb＝2∶1 D.若将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，a粒子在磁场中运动的时间将变为原来的 答案：BC 解析：根据左手定则可知，b粒子向上偏转，带正电，a粒子向下偏转，带负电，故A错误；设a、b两粒子运动轨迹的圆心分别为Oa、Ob，如图所示，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得r＝，设粒子的圆周运动半径分别为ra、rb，圆形磁场区域半径为R，根据几何关系有ra＝Rtan 30°，rb＝，可得粒子射入磁场中的速率之比为＝＝＝，故B正确；根据T＝可知两粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，由题知两粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角分别为120°和60°，则可得粒子在磁场中的运动时间之比为＝＝，故C正确；将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，可得此时a粒子的运动半径变为R，由几何知识可得，此时a粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为90°，a粒子做匀速圆周运动的周期变为T'＝T，则a粒子在磁场中运动的时间将变为ta'＝T'＝T＝ta，故D错误。故选BC。 (多选)(2024·山东威海高二期末)如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一点电荷从图中A点以速度v0沿水平方向垂直磁场入射，速度方向与半径方向的夹角为30°，经磁场偏转后刚好能从C点(未画出)反向射出，不计点电荷的重力，下列说法正确的是(　　) A.该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点 B.该点电荷在磁场中的运动时间为 C.该点电荷的比荷为 D.若磁场反向，则该点电荷在磁场中运动的时间为 答案：BC 解析：由对称性，因点电荷射入磁场时初速度方向不是沿半径方向，则该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线也不会通过O点，A错误；点电荷在磁场中的运动轨迹如图(a)所示，由几何关系可知，该点电荷在磁场中的运动半径r＝R，则运动时间为t＝＝，B正确；根据qv0B＝m，解得该点电荷的比荷为＝，C正确；若磁场反向，点电荷在磁场中的运动轨迹如图(b)所示，设点电荷在磁场中运动轨迹所对的圆心角为2θ，则由几何关系和正弦定理有＝，解得tan θ＝＜1＝tan 45°，则2θ＜90°，该点电荷在磁场中运动的时间t＜，D错误。故选BC。 带电粒子在圆形边界匀强磁场中运动的常见情况 　　粒子进出圆形边界的磁场具有对称性，常见以下两种情景： 1.如图甲所示，粒子沿半径方向射入必沿半径方向射出。 2.如图乙所示，粒子射入时速度方向与半径的夹角为θ，射出时速度方向与半径的夹角也一定为θ。 多边形边界的匀强磁场 如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，粒子从b点离开磁场，在磁场中的运动时间为t1；如果只改变粒子射入磁场的速度大小，粒子从c点离开磁场，在磁场中的运动时间为t2。不计粒子重力，则t1与t2之比为(　　) A.1∶2　　B.2∶1 C.1∶3　　D.3∶1 答案：B 解析：根据周期公式T＝可知，只改变速度大小，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同。粒子两次运动轨迹如图所示，粒子进入磁场时速度方向与ab方向的夹角为60°，与ac方向的夹角为30°，由几何知识知，当粒子从a点进入磁场，从b点离开磁场时，速度偏向角为θ1＝2×60°＝120°，所以轨迹所对应的圆心角为120°，可得粒子在磁场中的运动时间为t1＝T＝；同理，当粒子从a点进入磁场，从c点离开磁场时，速度偏向角为θ2＝2×30°＝60°，所以轨迹所对应的圆心角为60°，可得粒子在磁场中的运动时间为t2＝T＝，因此t1∶t2＝2∶1。故选B。 　　分析带电粒子在多边形边界的匀强磁场中的运动时，可以根据磁场边界的特点及出射点的位置把磁场看成直线边界，然后具体分析有关问题。如本题中带电粒子从b点离开磁场，就可以看成是直线边界的磁场问题，根据直线边界的磁场中粒子射入磁场和射出磁场的对称性，很容易就能得出粒子运动轨迹所对应的圆心角。 学生用书⬇第21页 知识点三　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的三种常见情形 类型 分析 图例 带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，以相同的初速度运动，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直匀强磁场进入，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b 磁场方向不确定 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。如图所示，带正电粒子以速度v垂直匀强磁场进入，若磁感应强度垂直纸面向里，其轨迹为a；若磁感应强度垂直纸面向外，其轨迹为b 临界状态不唯一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解 带电粒子电性不确定形成多解 (多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速度v的最大值可能是(　　) A.(q为正电荷) B.(q为负电荷) C.(q为正电荷) D.(q为负电荷) 答案：AD 解析：若q为正电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中上方与NN'相切的圆弧，轨迹半径r＝，又d＝r－rcos 45°，解得v＝，故A正确，B错误；若q为负电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中下方与NN'相切的圆弧，则有r'＝，d＝r'＋r'cos 45°，解得v'＝，故C错误，D正确。故选AD。 磁场方向不确定形成多解 (多选)如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为x，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　) A.垂直纸面向里，B＞ B.垂直纸面向里，B＞ C.垂直纸面向外，B＞ D.垂直纸面向外，B＞ 答案：BC 解析：当所加匀强磁场垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知r2 ＝OBsin 30°＝OB，而OB＝x＋r2，故r2＝x，当离子运动轨迹的半径小于x时满足约束条件，由牛顿第二定律可得qvB＝m，所以B＞，A错误，B正确；当所加匀强磁场垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知r1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件，由牛顿第二定律得qvB＝m，所以B＞，C正确，D错误。故选BC。 临界状态不唯一形成多解 (多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) 学生用书⬇第22页 A.使粒子的速度v＜ B.使粒子的速度v＞ C.使粒子的速度v＞ D.使粒子的速度 ＜v＜ 答案：AB 解析：欲使粒子不打在极板上，临界状态如图所示。若带正电的粒子从左边射出磁场时，其在磁场中做圆周运动的半径r＜，粒子做圆周运动的半径r＝，所以粒子从左边射出不打到极板上需满足＜，即v＜；若带正电的粒子从右边射出，此时粒子的最小半径为r'，由几何关系可知r'2＝l2＋，可得粒子做圆周运动的最小半径r'＝，则＞，即v＞，故欲使粒子不打在极板上，粒子的速度必须满足v＜或v＞。故选AB。 学科网（北京）股份有限公司 $