第3章 3.预言未知星体 计算天体质量 (1)-【金版新学案】2025-2026学年高中物理必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（教科版）

本讲义聚焦万有引力定律的天文学应用这一核心知识点，从“称量地球质量”情境导入，系统梳理预言未知星体（如哈雷彗星、海王星）、计算天体质量（重力加速度法、环绕法）及密度的方法，进而分析天体运动参量与轨道半径的关系，构建完整知识支架。 资料通过情境导入激发兴趣，师生互动任务（如计算地球密度）引导科学推理，对比表格清晰呈现两种计算方法助模型建构，体现科学思维与科学探究素养。课中辅助教师高效授课，课后例题及针对练帮助学生巩固知识，弥补薄弱环节。

3.预言未知星体　计算天体质量 【素养目标】　1.了解万有引力定律在天文学上的应用——预言未知星体。2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。3.掌握星体绕中心天体做圆周运动的各物理量与轨道半径的关系。 知识点一　天体质量的计算 【情境导入】　如图是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢？卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他被称为“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么？ 提示：若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。因为地球表面的重力加速度g和地球半径R已知，如果再已知引力常量G，由mg＝，可得M＝。 【教材梳理】 (阅读教材P66—P67完成下列填空) 1．预言未知星体 (1)预言彗星回归 ①哈雷根据牛顿的引力理论，对1682年出现的大彗星(哈雷彗星)的轨道运动进行了计算，预言它将于1758年再次出现。 ②克雷洛预言由于受木星和土星的影响，哈雷彗星将推迟于1759年4月份经过近日点，且得到证实。 (2)预言未知星体 根据天王星的运动轨道与由万有引力定律计算出来的轨道之间存在的明显偏差，英国的亚当斯和法国的勒维耶同时独立地预言了在天王星轨道之外有一颗当时还未知的行星，并计算了这颗未知星体的质量、轨道和位置。伽勒于1846年9月23日夜间在预定区域发现了这颗神秘的行星——海王星。它的发现，被认为是牛顿引力理论的伟大胜利。 2．计算天体质量 (1)称量地球的质量 ①思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，地球表面的物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。 ②关系式：mg＝G。 ③结论：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。 (2)太阳质量的计算 ①思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。 ②关系式：G＝mr()2。 ③结论：mS＝，只要测出行星的公转周期T以及它和太阳之间的距离r，就可以计算出太阳的质量。 【师生互动】　根据所学知识回答以下问题。 任务1.若已知地球表面的重力加速度g和地球的半径R及引力常量G，求地球的密度。 任务2.若已知天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，以及引力常量G，求此天体的密度。 提示：任务1.由mg＝G和M＝ρ·πR3，可得ρ＝。 任务2.由G＝mr和M＝ρ·πR3，可得ρ＝。 学生用书第66页 利用重力加速度法求天体的密度 地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度为(　　) A． B．　 C． D． 答案：A 解析：G＝mg、V＝πR3、ρ＝，联立解得ρ＝，A正确。 针对练．(2024·河南开封高一下学期期中)已知地球和月球的半径之比为4∶1，其表面的重力加速度之比为6∶1。则地球和月球的密度之比为(　　) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶1 D．6∶1 答案：B 解析：在星球表面的物体，重力和万有引力大小相等，即G＝mg，可得该星球的质量为M＝。因为该星球的体积为V＝πR3，则该星球的密度为ρ＝，所以地球和月球的密度之比为ρ地∶ρ月＝∶＝3∶2，故选B。 利用环绕法求天体的密度 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G。 (1)求该天体的质量和密度； (2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T2，求该天体的质量和密度。 答案：(1)　　(2)　 解析：设卫星的质量为m，天体的质量为m中。 (1)卫星贴近天体表面运动时，有G＝mR 解得该天体的质量m中＝ 根据数学知识可知，天体的体积V＝πR3 故该天体的密度ρ＝＝＝。 (2)卫星距天体表面的高度为h时，有 G＝m(R＋h) 解得该天体的质量m中＝ 故该天体的密度 ρ＝＝＝。 1．计算天体质量和密度的两种方法的对比 方法 重力加速度法 环绕法 情景 已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动，已知轨道半径r和环绕周期T 思路 物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力：mg＝G 行星或卫星受到的万有引力提供向心力： G＝mr()2 天体质量 M＝ M＝ 天体密度 ρ＝ ＝ ρ＝ ＝；若R＝r，则ρ＝ 2．天体质量和密度类问题的关键词转化 针对练．(2024·湖南浏阳一中期末)中国古代的“太白金星”指的是八大行星中的金星。已知引力常量G，再给出下列条件，其中可以求出金星质量的是(　　) A．金星绕太阳运动的轨道的半径和周期 B．卫星绕金星表面附近运动时的线速度 C．金星的半径和金星表面的重力加速度 D．金星绕太阳运动的周期及地球绕太阳运动的轨道半径和周期 答案：C 解析：行星绕太阳运动时，万有引力提供其所需要的向心力，故有G＝m金r，可得太阳的质量M＝，而金星的质量m金在等式中已消掉，故A、D错误；由G＝，可得m金＝，由于金星的半径不知，故不能求出金星的质量，故B错误；在金星表面时，质量为m的物体所受重力与金星对其的万有引力相等，有mg＝G，可得m金＝，若已知金星的半径与金星表面的重力加速度，可以求出金星的质量，故C正确。 学生用书第67页 知识点二　天体运动参量的分析与计算 设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 1．一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。 2．两条思路 (1)G＝m＝mrω2＝mr＝ma (2)mg＝G(g为星体表面处的重力加速度)，即GM＝R2g，该公式通常被称为黄金代换。 3．四个重要结论 (1)由G＝m得v＝，r越大，天体的v越小。 (2)由G＝mrω2得ω＝，r越大，天体的ω越小。 (3)由G＝mr得T＝2π，r越大，天体的T越大。 (4)由G＝ma得a＝，r越大，天体的a越小。 可总结为“高轨、低速、长周期”，即环绕天体的轨道越高(圆轨道半径r或者椭圆轨道半长轴越大)，其加速度a、速度v、角速度ω越小，周期T越长。 天体运动参数的定性分析 (2024·四川泸州高一统考期末)我国发射了各种用途的卫星，例如碳卫星(全球二氧化碳监测科学实验卫星)距地面高度约为700 km，同步卫星距地面高度约为36 000 km。若两颗卫星均可视为绕地球做圆周运动，则这两颗卫星相比，碳卫星的(　　) A．加速度较大 B．周期较大 C．角速度较小 D．线速度较小 答案：A 解析：根据万有引力提供向心力有G＝m＝mRω2＝mR＝ma，解得a＝、T＝2π、ω＝、v＝，可知碳卫星的加速度较大、周期较小、角速度较大、线速度较大，A正确。 针对练．(2024·四川绵阳三台中学高一校考期末)天文学家发现，三颗行星A、B、C绕着仙女座厄普西仑星做匀速圆周运动，如图所示，行星A的周期为4.617 0 d，轨道半径为0.059 AU(地球与太阳之间的距离，1 AU＝1.496×108 km，G已知)，下列说法中正确的是(　　) A．行星B的角速度大于行星A的角速度 B．行星C的加速度大于行星A的加速度 C．三颗行星的周期与轨道半径的比值相等 D．由题中的数据可以计算厄普西仑星的质量 答案：D 解析：根据万有引力提供向心力有G＝mrω2＝ma，解得ω＝、a＝，由于rC>rB>rA，则ωC<ωB<ωA、aC<aB<aA，故A、B错误；根据开普勒第三定律有＝k(k为常量)，故C错误；根据万有引力提供向心力有G＝mr，解得M＝，故由题中的数据可以计算厄普西仑星的质量，故D正确。 天体运动参数的定量计算 (多选)(2024·山东青岛二中期中)如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)。下列说法正确的是(　　) A．a、b的线速度大小之比是∶1 B．a、b的周期之比是1∶2 C．a、b的角速度之比是3∶4 D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4 答案：CD 解析：两卫星均做匀速圆周运动，轨道半径之比是r1∶r2＝2∶3，万有引力提供向心力。由G＝m，可得＝＝，A错误；由G＝mr，可得＝＝，B错误；由G＝mrω2，可得＝＝，C正确；由G＝ma，可得＝＝，D正确。 针对练．如图所示，设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星自身的半径是火星的n(0<n<1)倍，质量为火星的k倍，不考虑行星自转的影响，则(　　) A．金星表面的重力加速度是火星的倍 B．金星绕太阳运动的角速度比火星的大 C．金星绕太阳运动的加速度比火星的小 D．金星绕太阳运动的周期比火星的大 答案：B 解析：由“黄金代换”GM＝gR2可得g＝，所以＝＝，故A错误；由G＝ma＝mrω2＝mr可知轨道半径越大，加速度、角速度越小，周期越大，即金星做圆周运动的加速度、角速较大，周期较小，故B正确，C、D错误。 学生用书第68页 1．(2024·广东广州期末)假定测得月球表面物体自由落体加速度为g，已知月球半径R和月球绕地球运转周期T，引力常量为G。根据万有引力定律，就可以“称量”出月球质量了。月球质量M为(　　) A．M＝ B．M＝ C．M＝ D．M＝ 答案：B 解析：在月球表面重力与万有引力大小相等，有G＝mg，可得月球质量M＝，故A错误，B正确；由题意知T为月球绕地球运动的周期，据此如果知道地月距离可以计算中心天体地球的质量，但不能求得环绕天体月球的质量，故C、D错误。 2．(鲁科版教材P108T2)我国“嫦娥二号”可视为在月球表面附近做圆周运动。已知引力常量，要测定月球的密度，仅仅需要(　　) A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径 C．测定月球的体积 D．测定飞船的运行速度 答案：A 解析：当飞船在月球表面附近运行时，有G＝mR·＝m，可得月球的质量M＝或M＝，则月球的密度ρ＝＝＝或ρ＝＝＝。B、C项中不知月球质量，无法求出月球的密度；D项中不知月球的半径，无法求出月球的密度，由以上可知A正确。 3．(鲁科版教材P101T2)为满足不同领域的需要，我国有许多不同轨道高度的人造卫星。如图所示，在某一轨道平面上有人造卫星A、B都绕地球做圆周运动，两颗人造卫星的质量之比为1∶2，到地球球心的距离之比为2∶3，则它们的(　　) A．周期之比为3∶2 B．线速度大小之比为∶ C．向心加速度大小之比为4∶9 D．向心力大小之比为1∶18 答案：B 解析：由F＝G＝m＝mr＝ma得T＝2π、v＝、a＝，代入数据可得周期之比为2∶3，线速度大小之比为∶，向心加速度大小之比为9∶4，向心力大小之比为9∶8，故A、C、D错误，B正确。 4．对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T的关系作出如图所示图像，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由万有引力提供向心力有G＝mr，可得r3＝，由题图可知，＝＝，所以地球的质量为M＝，故B正确，A、C、D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $