第2章 素养提升课二 竖直面内圆周运动模型及临界问题-【金版新学案】2025-2026学年高中物理必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（教科版）

本讲义聚焦竖直面内圆周运动的轻绳模型、轻杆模型及临界问题，通过模型概述、特点分析、例题与针对练，构建从模型建构到临界条件应用的学习支架，帮助学生系统掌握两类模型的区别及临界问题解法。 该资料以科学思维中的模型建构与科学推理为核心，对比轻绳（最高点最小速度√(gL)）与轻杆（最高点最小速度0）模型的临界条件，结合水桶圆周运动、过山车等实例，引导学生分析受力与运动关系。课中助力教师引导探究，课后学生可通过练习巩固，弥补知识盲点。

素养提升课二　竖直面内圆周运动模型及临界问题 【素养目标】　1.通过建立竖直面内圆周运动的轻绳模型，应用动力学方法分析临界问题。2.通过建立竖直面内圆周运动的轻杆模型，分析轻杆模型与轻绳模型的区别。3.会通过分析临界状态，找到临界条件，解决临界问题。 提升点一　竖直面内圆周运动的轻绳模型 1．模型概述 无支撑物(如球与绳连接，沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻绳模型”。 2．模型特点 项目 特点 情景图示 弹力特征 在最高点弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg＋T＝m 临界特征 T＝0，即mg＝m，可得v＝ v＝的意义 物体能否过最高点的临界速率 学生用书第50页 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示。水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm，g取10 m/s2。 (1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留3位有效数字) (2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小。 答案：(1)2.24 m/s　(2)4 N 解析：(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小，有mg＝m，则所求速率即为桶的最小速率，解得v0＝＝m/s≈2.24 m/s。 (2)在最高点水桶的速率v＝3 m/s> m/s。水桶能过最高点，此时桶底对水有向下的压力，设为N，则由牛顿第二定律有N＋mg＝m 代入数据解得N＝4 N 由牛顿第三定律可知水对桶底的压力 N′＝N＝4 N。 针对练1．(2024·重庆市江津区高一期中)如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，则下列说法不正确的是(　　) A．小球在圆周最高点时所受向心力可能等于重力 B．小球在圆周的最高点时绳子的拉力可能为零 C．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点时速率为零 D．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点时速率为 答案：C 解析：小球在圆周最高点时可能恰好由重力提供向心力，此时绳子的拉力为零，A、B正确；若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，恰好由重力提供向心力，由牛顿第二定律得mg＝m，解得v0＝，C错误，D正确。本题选不正确的，故选C。 针对练2．游乐场翻滚过山车上的乘客常常会在高空倒悬时吓得魂飞魄散。其示意图如图所示，若轨道最高处离地面32 m，最低处几乎贴地，圆环直径为15 m，过山车经过圆环最高点时的速度约为18 m/s。在这样的情况下能否保证乘客的安全(g取10 m/s2)? 答案：能 解析：要保证乘客安全，过山车能通过最高点时的最小速度为临界速度，此时圆形轨道对过山车的作用力为零，重力提供向心力，则有mg＝ 可得v＝≈8.7 m/s 由8.7 m/s<18 m/s可知，这种情况下过山车和人一定能安全地通过顶点。 提升点二　竖直面内圆周运动的轻杆模型 1．模型概述 有支撑物(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻杆模型”。 2．模型特点 项目 特点 情景图示 弹力特征 在最高点弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 力学方程 mg±N＝m 临界特征 v＝0，即F＝0，此时N＝mg v＝的意义 N表现为拉力还是支持力的临界速率 (2024·甘南藏族自治州高一期中)如图所示，小球A质量为m＝0.5 kg。固定在长为L＝0.2 m的轻细直杆一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。如果小球经过最高位置时，杆对球的作用力为拉力，拉力大小等于球的重力(g取10 m/s2)。求： (1)球在最高点时的速度大小； 学生用书第51页 (2)当小球经过最低点时速度为4 m/s，杆对球的作用力的大小； (3)如果把其中轻细杆换成等长的轻绳，小球刚好能通过最高点的速度为多大。 答案：(1)2 m/s　(2)45 N　(3) m/s 解析：(1)在最高点，由牛顿第二定律可得mg＋F拉＝m，F拉＝mg 解得v1＝2 m/s。 (2)在最低点，由牛顿第二定律可得 F拉′－mg＝m 解得F拉′＝45 N。 (3)轻杆换成等长的轻绳，在最高点，当速度最小时，重力提供向心力，有mg＝m 解得v3＝ m/s。 针对练1．(多选)(2024·云南丽江市高一期末)如图所示，长为r的细杆一端固定一个质量为m的小球，使之绕另一光滑端点O在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时的速率v＝ ，则(　　) A．小球在最高点时对细杆的压力为 B．小球在最高点时对细杆的压力为 C．若小球运动到最高点速率为 ，小球对细杆的弹力为零 D．若小球运动到最高点速率为2，小球对细杆的拉力为2mg 答案：AC 解析：球在最高点对杆作用力恰好为零时，重力提供向心力，根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v0＝，由于v＝ <v0，故杆对球有支持力，根据牛顿第二定律有mg－N＝m，解得N＝mg，根据牛顿第三定律可知，小球在最高点对杆的压力为mg，故A、C正确，B错误；同理，若小球运动到最高点速率为2，小球对细杆的拉力满足F＋mg＝m，解得F＝3mg，故D错误。 针对练2．(2024·河北衡水高一期末)如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是(　　) A．小球能够到达最高点时的最小速率为 B．小球达到最高点的速度为 时，球受到的合外力为零 C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道外壁的作用力为3mg D．如果小球在最低点时的速度大小为 ，则小球通过最低点时对管道外壁的作用力为5mg 答案：C 解析：圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，A错误；当小球达到最高点的速度是 时，有F合＝m＝mg，小球受到的合外力不为零，B错误；设管道对小球的弹力大小为F，方向竖直向下，由牛顿第二定律得mg＋F＝m，解得F＝3mg>0，方向竖直向下，根据牛顿第三定律可知，小球对管道外壁的作用力为3mg，方向竖直向上，C正确；重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得F－mg＝m，解得F＝6mg，根据牛顿第三定律可知，球对管道外壁的作用力为6mg，D错误。 针对练3．(多选)如图所示，有一个半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，则关于小球在最高点时的速度v，下列叙述中正确的是(　　) A．v的最小值为 B．v由零逐渐增大，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大 C．当v由 逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大 D．当v由 逐渐减小时，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大 答案：CD 解析：小球在最高点，管道对小球的作用力可以向上，也可以向下，所以v的最小值为零，故A错误；在最高点，当v＝时，根据牛顿第二定律得mg－N＝，可得管道对球的作用力N＝0；当v< 时，管道对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律得mg－N＝m，当v由逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐增大；当v>时，管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律得mg＋N＝m，当v由 逐渐增大时，管道对小球的弹力也逐渐增大，故C、D正确，B错误。 提升点三　圆周运动的临界问题 1．常见类型 (1)绳的拉力达到最大或为零。 (2)物体开始滑动时静摩擦力达到最大。 (3)物体脱离接触面时压力为零。 2．解题关键 (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 如图所示，把质量为0.6 kg的物体A放在水平转盘上，A的重心到转盘中心O点的距离为0.2 m，若A与转盘间的最大静摩擦力为3 N，g＝10 m/s2，求： 学生用书第52页 (1)转盘绕中心O以ω＝2 rad/s的角速度旋转，A相对转盘静止时，转盘对A摩擦力的大小与方向； (2)为使物体A相对转盘静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的最大值。 答案：(1)0.48 N，沿OA所在半径指向圆心O (2)5 rad/s 解析：(1)静摩擦力提供向心力，有f＝mω2r＝0.6×22×0.2 N＝0.48 N；故转盘绕中心O以ω＝2 rad/s的角速度旋转时，A受到的摩擦力大小为0.48 N，方向指向圆心。 (2)当A所受最大静摩擦力提供向心力时，转盘绕中心O旋转的角速度ω最大，有fm＝mωr 解得ωmax＝ ＝ rad/s＝5 rad/s。 针对练1．如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是(　　) A．A的向心加速度最大 B．B和C所受摩擦力大小相等 C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动 D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动 答案：C 解析：A、B、C三物体角速度相同，由a＝ω2r可知物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，有fB＝mω2R，fC＝mω2·2R，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时，有kmg＝mω2r，可得ω＝ ，故滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，选项C正确，D错误。 针对练2．一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O的上方A处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m的小球B，AO＝h，绳长AB＝l>h，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示。要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g)(　　) A． B．π C． D．2π 答案：A 解析：如图所示，设细绳与转动轴的夹角为θ，以小球为研究对象，小球受三个力的作用，重力mg、水平面的支持力N和细绳的拉力F，在竖直方向合力为零，在水平方向所需向心力为，而R＝h tan θ，则有F cos θ＋N＝mg，F sin θ＝m(2πn)2R＝m(2πn)2h tan θ，当小球即将离开水平面时，N＝0，转速n有最大值，由上述可得mg＝m(2πnmax)2h，解得nmax＝ ，故A正确，B、C、D错误。 1．(多选)如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(　　) A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来 B．人在最高点时对座位仍可能产生压力 C．人在最低点时对座位的压力等于mg D．人在最低点时对座位的压力大于mg 答案：BD 解析：当人与保险带间恰好没有作用力时，重力提供向心力，有mg＝m，可得临界速度为v0＝，当速度v0>时，人与座椅产生挤压，没有保险带，人也不会掉下来，故A错误，B正确；人在最低点时，加速度方向竖直向上，根据牛顿第二定律得N－mg＝m，分析可知，人处于超重状态，有N>mg，由牛顿第三定律可知人对座位的压力大于mg，故C错误，D正确。 2．(多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　　) A．若v0＝，则小球对管内壁无压力 B．若v0>，则小球对管内上壁有压力 C．若0<v0< ，则小球对管内下壁有压力 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 答案：ABC 解析：在最高点，只有重力提供向心力时，有mg＝m，解得v0＝，此时小球对管内壁无压力，选项A正确；若v0> ，则有mg＋N＝m，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确；若0<v0< ，则有mg－N＝m，表明小球对管内下壁有压力，选项C正确；综上分析，选项D错误。 3．(2024·黑龙江哈师大附中高一下月考)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧管壁半径为R，小球半径为r。下列说法正确的是(　　) 学生用书第53页 A．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 B．小球在水平线ab以上的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球通过最高点时的最小速度vmin＝ 答案：C 解析：小球在水平线ab以上的管道中运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，可能外侧管壁对小球有作用力，也可能内侧管壁对小球有作用力，故A、B错误；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；在最高点，由于外侧管壁或内侧管壁都可以对小球产生弹力作用，所以小球通过最高点时的最小速度为0，故D错误。 4．如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等(均为m)的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20 cm，与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，(已知π2＝g)则(　　) A.物块A一定会受圆盘的摩擦力 B．当转速n＝0.5 r/s时，A不受摩擦力 C．A受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上 D．当圆盘转速n＝1 r/s时，摩擦力方向沿半径背离圆心 答案：D 解析：若mg＝mω2R，则物块A不受摩擦力，当摩擦力为零时，有mg＝mω2R＝m(2πn)2R，代入数据解得n＝ r/s，A、B错误；物块A受摩擦力的方向与半径在一条直线上，指向圆心或背离圆心，C错误；当圆盘转速n＝1 r/s即n＝1 r/s< r/s时，物块A有沿半径向内运动的趋势，所以摩擦力方向沿半径背离圆心，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $