精品解析：山西吕梁市孝义市2025-2026学年第一学期九年级期末质量监测数学试题(卷)

2025～2026学年第一学期九年级期末质量监测试题（卷） 数学 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3、考试结束后，只收回答题卡． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 2025年国庆、中秋假期，“文博热”持续升温，各地博物馆依托特色展览、精美文创，让沉睡的历史走出展柜，成为打卡胜地．下列博物馆标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，变形后的结果为，则n的值为（ ） A. 7 B. C. 11 D. 3. 如图是某五棱柱物体的示意图及其主视图，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一种绘图工具——缩放尺，其制作过程为：将四根直尺按如图所示方式进行安装，其中，，且点O、P、T在同一直线上，在点P和点T处分别安装绘图笔．画图时固定点O，当点P处的绘图笔画出四边形时，点T处的绘图笔便画出将四边形放大后的四边形，这种画图原理运用了我们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的轴对称 C. 图形的旋转 D. 图形的相似 5. 把抛物线向左平移1个单位长度，得到新的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点是斜边上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，与相交于点，点为下方半圆上一点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 0 8. 如图，在边长为1的正方形网格中，点，，，都在格点上，线段，相交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 锂电池具有体积小、重量轻、充放电快等优势，在手机、新能源汽车等领域的应用非常广泛．某锂电池的电压为定值，该锂电池工作时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的部分数据如下表所示（）．当电阻R不超过时，电流I的取值范围是（ ） R/Ω … 3 4 6 8 12 … I/A … 12 9 6 4.5 3 … A. B. C. D. 10. 如图，正八边形内接于，以点为圆心，线段长为半径作弧，得，连接，，若图中阴影部分的面积为，则的半径为（ ） A. 2 B. C. D. 4 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是______． 12. 如图，，，，，则的长为________． 13. 18世纪，法国数学家布丰提出如下问题：在平面上画一组间距为d的平行线，将一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，下表是当，时的投针试验数据： 试验次数 200 500 1000 2000 3000 5000 10000 相交次数 51 122 249 504 759 1240 2510 相交频率 0.255 0.244 0.249 0.252 0.253 0.248 0.251 由此可以估计针与直线相交的概率为________（结果保留小数点后两位）． 14. 小亮利用函数图象求方程实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 15. 如图，在正方形中，点是边上一点．将以点为中心，逆时针旋转，得到（点的对应点为），连接交于点，且．若，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，与反比例函数（，）的图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）当时，自变量x的取值范围是________． （3）已知点是反比例函数图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点D，连接，，则的面积为________． 18. “二十四节气”起源于中国黄河流域，是上古农耕文明产物，是中华民族宝贵的文化遗产，被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将“春分”“夏至”“秋分”“冬至”四张图片背面朝上放在桌面上（四张图片背面完全相同）． （1）若小慧从中随机抽取一张，则抽到的图片是“冬至”的概率为________． （2）若小慧从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，请你用列表法或画树状图法，求抽到的两张图片均为昼夜等长节气（春分和秋分）的概率是多少？ 19. 中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地联合举办，与本届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某商店购进一批吉祥物毛绒玩具套件进行销售，当购买数量不超过30套时，每套售价为100元；当购买数量超过30套时，每增加1套，所售出的这批套件每套售价均降低2元，但每套售价不得低于80元．某校花费3150元购买了一批该套件，用于奖励在校运动会上获奖的学生，求该学校购买了多少套吉祥物毛绒玩具套件？ 20. 太原植物园是集科学研究、科普教育、园艺观赏和文化旅游于一体的综合性植物园，其最大的亮点是中部区域三座巨大的穹顶建筑——热带雨林馆、沙生植物馆、四季花卉馆均呈半圆形覆盖在地面上．某数学兴趣小组的同学围绕“热带雨林馆高度的测量与计算”开展综合实践活动，并形成如下活动报告． 活动主题 热带雨林馆高度的测量与计算 活动过程 测量工具 无人机 测量方案 图1是热带雨林馆，图2是其截面及测量方案示意图． 如图2，将无人机上升至热带雨林馆斜上方点P处，此时观测热带雨林馆穹顶最高点A处的俯角为，观测热带雨林馆底部点B处的俯角为，同时测出无人机到点A的距离及无人机到点B的距离．图中点A，B，C，D，E，P均在同一竖直平面内，点B，C，D在同一水平线上． 测量数据 ，，米，米． 计算过程 … 交流展示 … 请根据上述数据，计算热带雨林馆的高度（参考数据：，，，，，3）． 21. 阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． “A”字相似模型的拓展探究与应用 相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】 如图1，在中，， ．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足 证明：， ∴… … ． 将式子两边同时除以，得．即． 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度． 任务： （1）材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________． （2）补全【基本模型拓展】的证明过程． （3）在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． 22. 综合与实践 太阳能灶（如图1）是利用旋转抛物面凹面镜（截面呈抛物线形）把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种灶具．图2是该太阳能灶采光面凹面所在抛物线的对称轴垂直于地面时的示意图．若该抛物线最低点O到支点A的距离，太阳能灶采光面凹面深度，为部分支架，且，．若以点O为原点，支架所在直线为x轴，抛物线的对称轴（直线）为y轴建立平面直角坐标系，这条抛物线表示的二次函数为． （1）求太阳能灶采光面的直径． （2）求支架所在直线的函数表达式． （3）如图3，为保证抗风稳定性，现需在镜面（抛物线）和支架间焊接支架，且于点Q，于点N，．若设点M的横坐标为m，求支架长度的最小值． 23 综合与探究 问题情境：如图1，在中，，将绕点D顺时针旋转（），得到，点A，B的对应点分别为点F，E． 猜想证明：（1）如图2，当于点P时，分别与线段交于点G，H．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 数学思考：（2）如图3，当B的对应点E恰好在线段上时，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 拓展探究：（3）在图3的基础上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期九年级期末质量监测试题（卷） 数学 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3、考试结束后，只收回答题卡． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 2025年国庆、中秋假期，“文博热”持续升温，各地博物馆依托特色展览、精美文创，让沉睡的历史走出展柜，成为打卡胜地．下列博物馆标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 用配方法解方程时，变形后的结果为，则n的值为（ ） A. 7 B. C. 11 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，通过展开变形后的完全平方式，与原方程对比常数项来求解n的值即可． 【详解】解：∵将展开得， ∴移项整理得， 又∵原方程为， ∴对比等式两边的常数项可得， 故选：A． 3. 如图是某五棱柱物体的示意图及其主视图，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的概念，俯视图是从物体上面看所得到的图形． 【详解】解：从上面看，上面部分是矩形，下面部分是矩形，下面矩形部分有两条看不见的线，应该画虚线， 故选：D． 4. 如图是一种绘图工具——缩放尺，其制作过程为：将四根直尺按如图所示方式进行安装，其中，，且点O、P、T在同一直线上，在点P和点T处分别安装绘图笔．画图时固定点O，当点P处的绘图笔画出四边形时，点T处的绘图笔便画出将四边形放大后的四边形，这种画图原理运用了我们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的轴对称 C. 图形的旋转 D. 图形的相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似图形的概念，根据相似图形的概念即可求解． 详解】由题可知，四边形与四边形相似． 故选：D． 5. 把抛物线向左平移1个单位长度，得到新的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先将原抛物线化为顶点式，再根据抛物线平移“左加右减”的规律求出新抛物线的表达式，进而确定选项． 【详解】解：∵原抛物线表达式为 ∴配方得 ∴原抛物线顶点坐标为 ∵向左平移1个单位长度 ∴新抛物线的顶点坐标为 ∴新抛物线的表达式为 故选：C． 6. 如图，在中，，，点是斜边上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，与相交于点，点为下方半圆上一点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，平行线的判定与性质，等边对等角等知识，掌握相关知识是解题的关键． 连接，先计算得到，接着可证得，进而得到，再由圆周角定理可得． 【详解】连接， 在中，，， ， 圆与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， （同弧所对的圆周角相等）． 故选：B． 7. 在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而增大，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数在每一支上y随x增大而增大的条件，得出关于k的不等式，求解后结合选项确定答案． 【详解】∵反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大， ∴， ∴结合选项，只有满足， 故选：C． 8. 如图，在边长为1的正方形网格中，点，，，都在格点上，线段，相交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点B作，连接，从而可得，然后根据勾股定理的逆定理可证是等腰直角三角形，从而可得，即可解答． 【详解】解：如图：过点B作，连接， ， 由题意得：，，， ， 为直角三角形， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 锂电池具有体积小、重量轻、充放电快等优势，在手机、新能源汽车等领域的应用非常广泛．某锂电池的电压为定值，该锂电池工作时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的部分数据如下表所示（）．当电阻R不超过时，电流I的取值范围是（ ） R/Ω … 3 4 6 8 12 … I/A … 12 9 6 4.5 3 … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，由，再代入点得，结合反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：由， 当时，，则， ， 随增大而减小， 当时，， ， 又， 所以. 故选：D． 10. 如图，正八边形内接于，以点为圆心，线段的长为半径作弧，得，连接，，若图中阴影部分的面积为，则的半径为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形外接圆，等腰直角三角形的性质，扇形的面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，设的半径为，根据多边形外接圆的性质可得，进而得到，再利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 由正八边形对称性可知圆心为的中点， ， ， ， 在正八边形中， ，， ，， ， 图中阴影部分的面积为， 解得． 故选：A． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根． 根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 12. 如图，，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例直接求解即可． 【详解】，，，， ，即， 解得． 故答案为：． 13. 18世纪，法国数学家布丰提出如下问题：在平面上画一组间距为d的平行线，将一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，下表是当，时的投针试验数据： 试验次数 200 500 1000 2000 3000 5000 10000 相交次数 51 122 249 504 759 1240 2510 相交频率 0.255 0.244 0.249 0.252 0.253 0.248 0.251 由此可以估计针与直线相交的概率为________（结果保留小数点后两位）． 【答案】0.25 【解析】 【分析】本题主要考查了频率与概率的知识，根据频率和概率的关系即可解答． 【详解】解：在大量的重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出针与直线相交的概率是0.25． 故答案为：0.25． 14. 小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 15. 如图，在正方形中，点是边上一点．将以点为中心，逆时针旋转，得到（点的对应点为），连接交于点，且．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，全等、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过作交于，可证，得到， 进而可得，设，再证，则，即，再解方程即可求解． 【详解】过作交于， ，， ， ， 在和， ， ， ， 又四边形为矩形， ， 将以点为中心，逆时针旋转，得到， ，， 设，则，， ， ， ， 又， ， ，即， 整理得， 解得（负值已舍去）， 则的长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 化二次项系数为1，得， ， ， ， 解得． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，与反比例函数（，）的图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）当时，自变量x的取值范围是________． （3）已知点是反比例函数图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点D，连接，，则的面积为________． 【答案】（1）， （2） （3）24 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数于一次函数交点问题等知识点，掌握待定系数法求解析式和数形结合是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求两个解析式即可； （2）数形结合，当时，直接写出自变量x的取值范围即可； （3）过作交于，根据题意，可得，进而得到，再结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 把代入直线，得， ； 当时，，解得， ， 把代入反比例函数，得，解得， ； 【小问2详解】 结合图象可知的解为； 故答案为：； 【小问3详解】 过作交于， 当时，， ， 当时，即，解得， ， ，, ． 故答案为：． 18. “二十四节气”起源于中国黄河流域，是上古农耕文明的产物，是中华民族宝贵的文化遗产，被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将“春分”“夏至”“秋分”“冬至”四张图片背面朝上放在桌面上（四张图片背面完全相同）． （1）若小慧从中随机抽取一张，则抽到的图片是“冬至”的概率为________． （2）若小慧从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，请你用列表法或画树状图法，求抽到的两张图片均为昼夜等长节气（春分和秋分）的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：小文从4张图片中随机抽取一张是“冬至”的概率是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等．先后两次抽中的图片中，均为昼夜等长节气（春分和秋分）（记为事件A）的结果有2种， 所以． 19. 中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地联合举办，与本届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某商店购进一批吉祥物毛绒玩具套件进行销售，当购买数量不超过30套时，每套售价为100元；当购买数量超过30套时，每增加1套，所售出的这批套件每套售价均降低2元，但每套售价不得低于80元．某校花费3150元购买了一批该套件，用于奖励在校运动会上获奖的学生，求该学校购买了多少套吉祥物毛绒玩具套件？ 【答案】35套 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该学校购买了x套吉祥物毛绒玩具套件，根据购买这批吉祥物毛绒玩具套件总价为3150元，列出一元二次方程，解方程取符合的值即可． 【详解】解：设该学校购买了x套吉祥物毛绒玩具套件． ， ． 根据题意，得． 解方程，得，． 当时，，符合题意． 当时，，不合题意，舍去． 答：该学校购买了35套吉祥物毛绒玩具套件． 20. 太原植物园是集科学研究、科普教育、园艺观赏和文化旅游于一体的综合性植物园，其最大的亮点是中部区域三座巨大的穹顶建筑——热带雨林馆、沙生植物馆、四季花卉馆均呈半圆形覆盖在地面上．某数学兴趣小组的同学围绕“热带雨林馆高度的测量与计算”开展综合实践活动，并形成如下活动报告． 活动主题 热带雨林馆高度的测量与计算 活动过程 测量工具 无人机 测量方案 图1是热带雨林馆，图2是其截面及测量方案示意图． 如图2，将无人机上升至热带雨林馆斜上方的点P处，此时观测热带雨林馆穹顶最高点A处的俯角为，观测热带雨林馆底部点B处的俯角为，同时测出无人机到点A的距离及无人机到点B的距离．图中点A，B，C，D，E，P均在同一竖直平面内，点B，C，D在同一水平线上． 测量数据 ，，米，米． 计算过程 … 交流展示 … 请根据上述数据，计算热带雨林馆的高度（参考数据：，，，，，3）． 【答案】296米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，延长，过点作于点，过点作于点，延长交于点，则，解得米，解得米，根据可得结论． 【详解】解：延长，过点作于点，过点作于点，延长交于点，则， ∴四边形是矩形， ． 的长度就是热带雨林馆的高度． 在中，，， ， （米）． 米． 在中，，， ， （米）． （米）． 答：热带雨林馆的高度为29.6米 21. 阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． “A”字相似模型的拓展探究与应用 相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】 如图1，在中，， ．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足 证明：， ∴… … ． 将式子两边同时除以，得．即． 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度． 任务： （1）材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________． （2）补全【基本模型拓展】的证明过程． （3）在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． 【答案】（1）依据1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 依据2：相似三角形的对应边成比例． （2）见解析 （3）10 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质回答； （2）可得，得，可得，得，得，即得； （3）先证明，得；再证明，得．得，得，将代入解得． 小问1详解】 解：材料中的“依据1”是指平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； “依据2”是相似三角形的对应边成比例． 故答案为：平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例． 【小问2详解】 证明：， ①， ， ②， ∴，得． 将式子两边同时除以， 得． 即． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴①； ∵， ∴， ∴②． ①+②，得， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 22. 综合与实践 太阳能灶（如图1）是利用旋转抛物面凹面镜（截面呈抛物线形）把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种灶具．图2是该太阳能灶采光面凹面所在抛物线的对称轴垂直于地面时的示意图．若该抛物线最低点O到支点A的距离，太阳能灶采光面凹面深度，为部分支架，且，．若以点O为原点，支架所在直线为x轴，抛物线的对称轴（直线）为y轴建立平面直角坐标系，这条抛物线表示的二次函数为． （1）求太阳能灶采光面的直径． （2）求支架所在直线的函数表达式． （3）如图3，为保证抗风稳定性，现需在镜面（抛物线）和支架间焊接支架，且于点Q，于点N，．若设点M的横坐标为m，求支架长度的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练进行计算是解题的关键． （1）根据题意，令即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）过点作轴，交于点，利用勾股定理可得，进而得到，得到的最小值为，再证，得到，解得即可求解． 小问1详解】 解：当时，． 解，得，． ． 答：太阳能灶采光面的直径为100cm． 小问2详解】 ，，． ． ． 由，得． 设支架所在直线的函数表达式为． ∵直线经过点，点， ，解得 ∴支架所在直线的函数表达式为． 【小问3详解】 过点作轴，交于点． 在中，由勾股定理，得． ∵点在抛物线上，点的横坐标为，轴． ，． ． ． ， ∴当时，的长度有最小值，最小值为． 轴， ． 又， ． ． ． ∴支架的长度的最小值为． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在中，，将绕点D顺时针旋转（），得到，点A，B的对应点分别为点F，E． 猜想证明：（1）如图2，当于点P时，分别与线段交于点G，H．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 数学思考：（2）如图3，当B的对应点E恰好在线段上时，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 拓展探究：（3）在图3的基础上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）．理由见解析；（2），理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作合适的辅助线是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，进而得到，则，，即，然后可得； （2）由，则，进而得到，即，再由平行四边形性质可得； （3）过作交于，延长交于，连接，根据勾股定理可得，进而可得，再由勾股定理求即可． 【详解】（1），理由如下： 连接， ， ， 由旋转的性质可知，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ，即； （3）过作交于，延长交于，连接， ，，， ， ， ，解得， ， ， ，则四边形为矩形， ，， ， 由（2）知，，， 为的中点， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $