精品解析：山西省吕梁市孝义市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024~2025学年第一学期九年级期末质量监测试题（卷） 数学 注意事项： 1、本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3、考试结束后，只收回答题卡． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 分形图形是一种具有自相似性的图形．下列四个分形图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形， 故此选项不合题意； B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形， 故此选项合题意； C．该图形是中心对称图形，是轴对称图形， 故此选项合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为， 故选：A． 3. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】利用反比例函数的性质，图象的分布等解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，图象分布，图象与点的关系，熟练掌握性质和分布是解题的关键． 【详解】解：反比例函数， 且， 故点一定在反比例函数上，图象位于第一、第三象限， 故A、B选项正确，不符合题意； 由， 得在每个象限内，随的增大而减小， 当时，恰好在第三象限内， 故随的增大而减小； 故C选项正确，不符合题意； 根据题意，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：以原点为位似中心，相似比为，顶点坐标为， 点的坐标为或， 即点的坐标为或， 故选C． 5. 某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（ ） 摸球次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 50 28 0.56 100 61 0.61 150 93 0.62 200 124 0.62 250 145 0.58 300 189 0.63 500 300 0.60 A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由频率估计概率，由表中数据得到摸到黑球的概率，进而得到黑球的个数，最后根据黑球的个数求出白球的个数，即可解题． 【详解】解：由表中数据可知，摸到黑球的概率为0.6， 袋中白球的个数为（个）， 故选：B． 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：∵反比例函数的中， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：C． 7. 光伏发电是世界新能源重要产业之一，中国光伏发电产业占据全球的产能．据统计，从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，其中2021年光伏发电并网容量为355万千瓦．若设从2021年到2023年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的运用，理解数量关系正确列式是关键． 从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，2021年光伏发电并网容量为355万千瓦，设从2021年到2023年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，由此列式即可求解． 【详解】解：2021年光伏发电并网容量为355万千瓦，增长率为，从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦， ∴， 故选：D ． 8. 已知二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： ... ... ... ... 下列结论正确的是（ ） A. 函数图象开口向上 B. C. 当时，随的增大而减小 D. 关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 根据抛物线的增减性，对称轴，抛物线与x轴的交点等解答即可． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 故B选项错误； ∵对称轴直线的右边即时，y随x的增大而减小， ∴函数图象开口向下， 故A选项错误； ∵， ∴随的增大而减小， 故C选项正确； 根据题意，抛物线的顶点坐标为，函数图象开口向下， ∴抛物线的最大值为， ∴抛物线与x轴无交点， ∴关于的一元二次方程（a，b，c是常数，）无实数根 故D选项错误． 故选：C． 9. 如图，D，E分别是的边上的点，且，连接相交于点，若，则与的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键． 根据三角形面积公式得出，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵，的边上的高与的边上的高相等， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， 故选：D． 10. 如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：由得：， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，是的直径，过点D的切线与的延长线相交于点，且，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质定理，三角形的内角和等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．由切线的性质定理得出，由圆周角定理得出，然后利用三角形内角和得出，进而即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵所对的圆心角为，圆周角为， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa． 【答案】400 【解析】 【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由图象得反比例函数经过点（0.1,1000）， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当S=0.25时，． 故答案为：400 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键． 14. 掷实心球是我市初中学业水平体育考试项目之一，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作抛物线．在一次模拟测试中，小明掷出的实心球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，则该次测试小明的成绩为_______m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．求出当时，x的值即可． 【详解】解：把代入得：， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：10． 15. 如图，在中， ，，．将以点C为中心逆时针旋转得到．若点在延长线上，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到即，结合旋转的性质，得，于是得到，可以证明，利用相似的性质，证明，再利用勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴即， 由旋转的性质，得，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 设， 则， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，勾股定理，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握相似的判定和性质，勾股定理，解方程是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-公式法，因式分解法，熟练掌握各自解法是解题的关键． （1）找出，，的值，代入求根公式即可求出解； （2）方程移项后，分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：这里，，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：方程整理得： ， 分解因式得： ， ∴或， 解得：，． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，则的面积为______； （3）结合图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）把点代入一次函数解析式，进而求出的值，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出一次函数与轴的交点的坐标，分割法求出的面积即可； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， 把代入，得：， ∴； 【小问2详解】 设一次函数与轴的交点为点， 当时，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 由图象可知：的解集为：或． 18. 2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”．双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量．现将分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“巳”的概率为______． （2）若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上印有“如”“意”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“巳”的结果有2种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上为“如”“意”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“巳”的结果有2种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上是“巳”的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图，得 由树状图可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上印有“如”“意”的结果有2种， ∴（摸出的这两张卡片上印有“如”“意”）． 19. 2024年11月28日，随着最后一棵玫瑰花苗在于田县植入沙土，环绕塔克拉玛干沙漠边缘全长3046公里的绿色阻沙防护带，终于完成了它的最后一块拼图，形成了世界上最长的环沙漠绿色生态屏障．建设阻沙防护带的方法之一是在如图2所示的矩形沙地中，通过在阴影部分种植红柳等固沙植物，把一块块沙地分割包围，以此阻止沙粒流动．若图2所示的矩形沙地长为30米，宽为24米．横向、纵向种植红柳部分的宽度比为，且红柳种植面积是矩形沙地总面积的三分之一，求横向、纵向种植红柳的宽度各是多少米? 【答案】横向种植红柳宽度为2米，纵向种植红柳的宽度为3米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设横向种植红柳的宽度为米，纵向种植红柳的宽度为米，由红柳种植面积是矩形沙地总面积的三分之一，得未种植部分的面积占矩形沙地总面积的三分之二，再根据（矩形沙地长纵向种植红柳的总宽度）（矩形沙地宽横向种植红柳的总宽度）未种植部分的面积，列出二元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设横向种植红柳的宽度为米，纵向种植红柳的宽度为米， 根据题意，得， 解方程，得，， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，，， 答：横向种植红柳的宽度为2米，纵向种植红柳的宽度为3米． 20. 利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 19． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为21米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： （1）利用方案测得旗杆的高度为________米； （2）请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； （3）小智在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 【答案】（1）15 （2）米，图见解析 （3）还需要测出线段（或线段）的长度． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，灵活运用相似三角形解决实际问题是解题的关键 （1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知的长，则只需要求出的长即可，再可证明，得到，则只需要知道的长即可． 小问1详解】 解：由题意得， ∴，即，解得：米． ∴利用方案A测得旗杆的高度为15米； 【小问2详解】 解：补全测量示意图如下所示，过点C作， ， 又， ， ， ，， ， ∴， ，即，解得：米， ∴旗杆的高度为15米． 【小问3详解】 解：如图所示，根据题意可知的长， ∵ ∴， ∴，则只需要知道的长即可求出的长，进而求出的长， ∴还需要测出线段（或线段）的长度． 21. 阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则． 下面是该定理的证明过程． 证明：，垂足为．，垂足为． ． ，． ． 与都是所对的圆周角， ．（依据1） ． ． ．（依据2） 同理，． ． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等． 任务： （1）填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______． （2）小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． （3）如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等，等角对等边 （2）正确，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等以及等腰三角形的性质即可得到答案； （2）根据，，可推出，再由圆内接四边形的性质可知，从而得到，结合，可得，则，同理，，即可得到结论； （3）取中点，连接，，利用三角形中位线的性质可推出，，，，结合，可知，最后利用勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 解：与都是所对的圆周角， ，（同弧所对的圆周角相等） 依据1为同弧所对的圆周角相等； ， ，（等角对等边） 依据2为等角对等边； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；等角对等边． 【小问2详解】 解：正确，理由如下， ，， ，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 又， ， ， 同理，， ． 【小问3详解】 解：取的中点，连接，，如图， 则， 根据题意可知，， 为中位线， ，， 同理，，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 22. 综合与实践 为践行五育融合，落实劳动教育，引导学生在劳动实践中树立正确的劳动观点和劳动态度，某校开展了“劳动周”主题实践活动．图1所示是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，C处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米，米，米． 数学建模： （1）在图1中，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为（米），该处距离的水平距离为（米），求与之间的函数表达式； 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求出函数的最大值，并再写出函数的一条性质．请你解答此问题； （3）如图2，“劳动实践”小组计划在斜坡的范围内种植铅直高度为米的雪冬青，为保证喷灌喷射最远时，喷出的水流不被破坏，要求最外侧的雪冬青顶端与水流间的铅直距离为．请直接写出斜坡的长度． 【答案】（1）；（2），当时，d随m的增大而减小；（3）米 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1，不妨设抛物线的解析式为，根据题意，得于是得到，代入解析式解方程组解答即可． （2）利用待定系数法，求得直线的解析式为：，根据抛物线的解析式，结合点M的横坐标为m，可设点，则，则 ，利用二次函数的性质解答即可． （3）过点E作于点H，过点F作于点Q，交抛物线于点D，过点F作于点T，则，四边形是矩形，故，利用解析式，三角函数解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1， 不妨设抛物线的解析式为， 根据题意，得， 故，代入解析式，得， 解得， ∴ 故抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设点，则， 则 ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，d有最大值为， 故当时，d随m的增大而减小． （3）解：根据题意，高度为米的雪冬青，最外侧的雪冬青顶端与水流间的铅直距离为m． 过点E作于点H，过点F作于点Q，交抛物线于点D， 过点F作于点T， 则，四边形是矩形， 故，， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 根据抛物线的性质，， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（米）． 【点睛】本题考查了待定系数法，构造二次函数求最值，解方程，三角函数的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，二次函数的性质，三角函数的应用是解题的关键． 23. 综合与探究问题情境： 如图1，点是正方形的对角线上一点，的延长线与的延长线交于点．将以点为中心，顺时针旋转得到（点与点对应），连接． 数学思考： （1）求证：； 拓展探究： （2）如图2，连接．若，与交于点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的长．请直接写出结果． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，，进而得，证明，即可得出结论； （2）由（1）得，，，设，利用三角形内角和外角可以推导角度得到，， ，则， ，即可证明，得到； （3）由正方形可得 ，得到，， 设，则，，代入解方程即可． 【详解】（1）证明：∵是正方形， ∴， ∵将以点为中心，顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）得，， ∴，， 设，则，， 由旋转可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵是正方形，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期九年级期末质量监测试题（卷） 数学 注意事项： 1、本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2、答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3、考试结束后，只收回答题卡． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 分形图形是一种具有自相似性的图形．下列四个分形图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，随增大而减小 D. 当时， 4. 在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（ ） 摸球次数 摸到黑球的次数 摸到黑球频率 50 28 0.56 100 61 0.61 150 93 0.62 200 124 0.62 250 145 0.58 300 189 0.63 500 300 0.60 A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 6. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 光伏发电是世界新能源重要产业之一，中国光伏发电产业占据全球的产能．据统计，从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，其中2021年光伏发电并网容量为355万千瓦．若设从2021年到2023年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（a，b，c是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： ... ... ... ... 下列结论正确的是（ ） A. 函数图象开口向上 B. C. 当时，随的增大而减小 D. 关于一元二次方程（a，b，c是常数，）有两个不相等的实数根 9. 如图，D，E分别是的边上的点，且，连接相交于点，若，则与的比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 12. 如图，是的直径，过点D的切线与的延长线相交于点，且，则的度数为_____． 13. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa． 14. 掷实心球是我市初中学业水平体育考试项目之一，实心球在空中飞行轨迹可以近似看作抛物线．在一次模拟测试中，小明掷出的实心球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，则该次测试小明的成绩为_______m． 15. 如图，在中， ，，．将以点C为中心逆时针旋转得到．若点在的延长线上，则线段的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：； （2）解方程：． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，则的面积为______； （3）结合图象，请直接写出不等式的解集． 18. 2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”．双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量．现将分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“巳”的概率为______． （2）若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上印有“如”“意”的概率． 19. 2024年11月28日，随着最后一棵玫瑰花苗在于田县植入沙土，环绕塔克拉玛干沙漠边缘全长3046公里的绿色阻沙防护带，终于完成了它的最后一块拼图，形成了世界上最长的环沙漠绿色生态屏障．建设阻沙防护带的方法之一是在如图2所示的矩形沙地中，通过在阴影部分种植红柳等固沙植物，把一块块沙地分割包围，以此阻止沙粒流动．若图2所示的矩形沙地长为30米，宽为24米．横向、纵向种植红柳部分的宽度比为，且红柳种植面积是矩形沙地总面积的三分之一，求横向、纵向种植红柳的宽度各是多少米? 20. 利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 19． 活动课题 测量学校旗杆高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为21米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： （1）利用方案测得旗杆的高度为________米； （2）请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； （3）小智在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 21. 阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则． 下面是该定理的证明过程． 证明：，垂足为．，垂足为． ． ，． ． 与都是所对的圆周角， ．（依据1） ． ． ．（依据2） 同理，． ． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等． 任务： （1）填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______． （2）小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． （3）如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长． 22. 综合与实践 为践行五育融合，落实劳动教育，引导学生在劳动实践中树立正确的劳动观点和劳动态度，某校开展了“劳动周”主题实践活动．图1所示是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，C处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米，米，米． 数学建模： （1）在图1中，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为（米），该处距离的水平距离为（米），求与之间的函数表达式； 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求出函数的最大值，并再写出函数的一条性质．请你解答此问题； （3）如图2，“劳动实践”小组计划在斜坡的范围内种植铅直高度为米的雪冬青，为保证喷灌喷射最远时，喷出的水流不被破坏，要求最外侧的雪冬青顶端与水流间的铅直距离为．请直接写出斜坡的长度． 23. 综合与探究问题情境： 如图1，点是正方形的对角线上一点，的延长线与的延长线交于点．将以点为中心，顺时针旋转得到（点与点对应），连接． 数学思考： （1）求证：； 拓展探究： （2）如图2，连接．若，与交于点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的长．请直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $