专题12 探索表面涂色的正方体的有关规律&专题13 分解质因数-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年五年级下册数学（人教版）福建专版

4.(8×7+8×4+7×4)×2+8×7×2=344(cm) (8×7+8×4+7×4)×2+7×4×2=288(cm) 答：这两个长方体的表面积之和最大是 344cm2,最小是288cm2。 5.方法一：4×4×4=64(cm) 方法二：12×4×4=192(cm2) 答：方法一中三块木料的表面积之和增加了 64cm,方法二中三块木料的表面积之和增加 了192cm2。 6.9÷3=3(cm) (12×3+12×18+18×3)×2X3=1836(cm) 答：总的表面积最大为1836cm。 专题八运用比较法解决求物体 变化后的表面积问题 典例 (4×4+1×1×4)×6=120(cm2) 答：剩余物体的表面积是120cm。 举一反三 1.4×4×6=96(cm) 答：剩下物体的表面积是96cm。 2.7×7×6+2×2×2=302(cm2) 答：这个几何体的表面积是302cm。 专题九运用长方体（正方体）相关 知识解决折纸盒问题 典例 (30-5×2)×(20-5×2)×5=1000(cm3) 答：这个纸盒的容积是1000cm3。 举一反三 当小正方形的边长为1cm时，(16-1×2)×(10 1×2)×1=112(cm)当小正方形的边长为2cm 时，(16-2×2)×(10-2×2)×2=144(cm3) 当小正方形的边长为3cm时，(16一3×2)× (10-3×2)×3=120(cm3)当小正方形的边 长为4cm时，(16-4×2)×(10一4×2)×4= 64(cm3)144>120>112>64 答：当小正方形的边长为2cm时，这个盒子的容 积最大，最大为144cm3。 专题十运用抓不变量法解决 等积变形问题 典例 8X6X3÷(8×6+6X4)=2(dm) 答：水面高2dm。 数学五年级·下册IRJ 举一反三 1.(30×20×6)÷(20×10)=18(cm) 答：里面的水深应该是18cm。 2.解：设后来箱内水的高度为xdm,水箱的长为 a dm. 5×aXx=3X4Xa x=2.4 答：箱内水的高度是2.4dm。 专题十一 运用转化法解决未 完全浸入类的问题 典例 (60×60-15×15)×50=168750(cm3) 60×60×24=86400(cm3) 168750-86400=82350(cm3) 82350÷(60×60-15×15)=24.4(cm) 50-24.4=25.6(cm) 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6cm。 举一反三 1.(8×8×8+20×16×6)÷(20X16)=7.6(cm) 7.6<8,说明上升的水位没有把整个铁块浸 没。20×16×6÷(20×16-8×8)=7.5(cm) 7.5-6=1.5(cm) 答：水位上升了1.5cm。 2.(60×60-15×15)×48÷(60×60)=45(cm) 答：水箱里的水深45cm。 3.5×5×8÷4=50(cm2)50×9=450(cm3) 答：这块铁块的体积为450cm3。 4.10×10×10-10×10×7=300(cm3) 300÷6=50(cm2)50×8=400(cm3) 答：这块铁块的体积是400cm3. 5.20×20÷8=50(cm2) (20×20-50)×8=2800(cm3) [20-2800÷(20×20)]×50=650(cm3) 答：这个实心长方体柱子的体积是650cm3。 专题十二 探索表面涂色的正方体 的有关规律 典例 三面涂色的小正方体有8个。 两面涂色的小正方体：(4一2)×12=24（个） 一面涂色的小正方体：(4一2)×(4一2)×6=24（个） 没有涂色的小正方体：(4一2)×(4-2)×(4一2)= 8(个) 35 答案详解 举一反三 1.3×4+3×3+2×4+4=33(个) 1×1×33=33(cm2) 答：涂色部分的面积是33cm。 2.(5×4×3)÷(1×1×1)=60(个)有8个顶 点，所以三面涂色的小正方体有8个两面涂 色的有：(5-一2)×4+(4一2)×4+(3一2)× 4=24(个)一面涂色的有：[(5-2)×(4 2)+(5-2)×(3-2)+(4-2)×(3-2)]× 2=22(个)没有涂色的有：(5-2)×(4一 2)×(3-2)=6(个) 答：一面涂色的有22个；两面涂色的有24个； 三面涂色的有8个；没有涂色的有6个。 专题十三 分解质因数 典例 147=3×7×7=3×(48+1) 答：平均每人植了3棵树。 举一反三 1.884=2×2×13×17=(51+1)×17 已知学生大约50人，故52为师生总人数，17 为每人所植树的棵数。 答：每人植树17棵。 2.539=7×7×11=7×77=49×11=539×1 539=7×(76+1)=(48+1)×11 答：这个班的人数有两种情况，一种是有76名 学生，平均每人植7棵树；另一种是有48名学 生，平均每人植11棵树。 专题十四运用推理法解决求分数 的分子利分母的问题 典例 (50-15-15)÷(3+7)=2 新分数淡号8原分数：+品别 6+15_21 答：原来的分数是易。 举一反三 1.(63+17)÷(1+3)=20 新分数：×器器 原分藏：60”7器 答：原分数是器。 2.(6336)÷2+)=6新分数：8最 36 原分数：品8-8 答：原分数是8。 专题十五 运用最大公因数 解决实际问题 典例 56、36、24的最大公因数是4。 (56+36+24)÷4=29(盆) 答：一共要摆29盆花。 举一反三 1.22-1=21(块)33+2=35（支） 21和35的最大公因数是7。 答：在教室打扫卫生的同学最多有7名。 2.512和576的最大公因数是64，所以相邻两盏路 灯之间的最大间距是64m。 (512+576)÷64+1=18(盏) 18×2=36(盏) 答：这样至少需要安装36盏路灯。 专题十六运用最小公倍数解决 实际向题 典例 2、3、4的最小公倍数是12。 12+1=13(人) 答：张老师最少带了13名学生。 举一反三 1.如果增加3个，就正好是5、6、7的最小公倍 数。5、6、7的最小公倍数是210。 210-3=207(个) 答：小松鼠至少采了207个松果。 2.如果增加2只，就正好是3、5、7的公倍数。 3、5、7的最小公倍数是105。 105×4-2=418(只) 答：王叔叔一共养了418只兔子。 专题十七运用转化法解决比较分数 大小的复杂问题 典例 答：括号里可以填入的正整数是10、11、12、13。 举一反三 1品吉斋把易亮的分子，分母同时 乘2得8品所以品比宁小比号大。 把易易的分子、分母同时乘3得品品所以 品总比宁小比时大。数学五年级·下册IRJ 专题十二 探索表面涂色的正方体的有关规律 典例 把一个棱长为4cm的正方体木块的表面涂上红色，然后切成棱长为 1cm的小正方体（如右图）。在切成的小正方体中，三面涂色的小正方体、两面涂 色的小正方体、一面涂色的小正方体以及没有涂色的小正方体各有多少个？ 【思路引导】三面涂色的小正方体在8个顶点处，每个顶点处各有1个，共有8个；两面 涂色的小正方体在12条棱的中段（每条棱各去掉两头的一个），每条棱上各有4一2=2（个）， 共有2×12=24（个）；一面涂色的小正方体在6个面的中央，每个面上各有(4一2)×(4一2)= 4(个)，共有4×6=24（个）；没有涂色的小正方体在大正方体的中央，共有(4一2)×(4一2)× (4-2)=8(个)。 【规范解答】 方法点拨三面涂色看顶点，两面涂色棱中找，一面涂色面中寻，没有涂色在中心。 举一反目 1.如图所示，小君用一些棱长1cm的小正方体搭成了下面的几何体。如果小君将露出的表 面部分涂成红色（底面不涂），那么涂色部分的面积是多少平方厘米？ 2.把一个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体表面涂上绿色，然后分成若干个棱长为1cm的 小正方体。这些小正方体中，一面涂色的有多少个？两面涂色的有多少个？三面涂色的 有多少个？没有涂色的有多少个？ 714 思维进阶训练 专题十三 分解质因数 典例 植树节到了，王老师带领全班同学去植树，同学们恰好平均分成3组。如果师生每 人植的树一样多，且一共植了147棵树，那么平均每人植了多少棵树？ 【思路引导】根据每人植树棵数×人数=147，可以先把147分解质因数：147=3×7X7, 由于学生恰好能平均分成3组，再加上老师1人，所以参加植树的总人数应比3的倍数多1。 在147的所有因数中，比3的倍数多1的数有7和49，如果7人植树，则全班学生只有6人， 不符合实际情况，所以参加植树的共有49人，学生有48人，平均每人植了3棵树。 【规范解答】 方法点拨·解答此题的关键是找出植树的总人数，因为同学们恰好能平均分成3组，学生总数是 3的倍数，再加上老师1人，所以参加植树的总人数应比3的倍数多1。 举一反三 1.某班学生（人数大约50）在王老师的带领下去植树，学生恰好能分成人数都相等的3组，如 果王老师和学生每人植的棵数一样多，且共植了884棵，每人植树多少棵？ 2.3月12日植树节，李老师带领五(2)班的同学们参加植树活动，五(2)班的同学们能平均分 成4组。如果李老师和同学们每人植树一样多，他们一共植树539棵。这个班有多少名 学生？每人植树多少棵？ 15