专题10 运用抓不变量法解决等积变形问题&专题11 运用转化法解决未完全浸入类的问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年五年级下册数学（人教版）福建专版

4.(8×7+8×4+7×4)×2+8×7×2=344(cm) (8×7+8×4+7×4)×2+7×4×2=288(cm) 答：这两个长方体的表面积之和最大是 344cm2,最小是288cm2。 5.方法一：4×4×4=64(cm) 方法二：12×4×4=192(cm2) 答：方法一中三块木料的表面积之和增加了 64cm,方法二中三块木料的表面积之和增加 了192cm2。 6.9÷3=3(cm) (12×3+12×18+18×3)×2X3=1836(cm) 答：总的表面积最大为1836cm。 专题八运用比较法解决求物体 变化后的表面积问题 典例 (4×4+1×1×4)×6=120(cm2) 答：剩余物体的表面积是120cm。 举一反三 1.4×4×6=96(cm) 答：剩下物体的表面积是96cm。 2.7×7×6+2×2×2=302(cm2) 答：这个几何体的表面积是302cm。 专题九运用长方体（正方体）相关 知识解决折纸盒问题 典例 (30-5×2)×(20-5×2)×5=1000(cm3) 答：这个纸盒的容积是1000cm3。 举一反三 当小正方形的边长为1cm时，(16-1×2)×(10 1×2)×1=112(cm)当小正方形的边长为2cm 时，(16-2×2)×(10-2×2)×2=144(cm3) 当小正方形的边长为3cm时，(16一3×2)× (10-3×2)×3=120(cm3)当小正方形的边 长为4cm时，(16-4×2)×(10一4×2)×4= 64(cm3)144>120>112>64 答：当小正方形的边长为2cm时，这个盒子的容 积最大，最大为144cm3。 专题十运用抓不变量法解决 等积变形问题 典例 8X6X3÷(8×6+6X4)=2(dm) 答：水面高2dm。 数学五年级·下册IRJ 举一反三 1.(30×20×6)÷(20×10)=18(cm) 答：里面的水深应该是18cm。 2.解：设后来箱内水的高度为xdm,水箱的长为 a dm. 5×aXx=3X4Xa x=2.4 答：箱内水的高度是2.4dm。 专题十一 运用转化法解决未 完全浸入类的问题 典例 (60×60-15×15)×50=168750(cm3) 60×60×24=86400(cm3) 168750-86400=82350(cm3) 82350÷(60×60-15×15)=24.4(cm) 50-24.4=25.6(cm) 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6cm。 举一反三 1.(8×8×8+20×16×6)÷(20X16)=7.6(cm) 7.6<8,说明上升的水位没有把整个铁块浸 没。20×16×6÷(20×16-8×8)=7.5(cm) 7.5-6=1.5(cm) 答：水位上升了1.5cm。 2.(60×60-15×15)×48÷(60×60)=45(cm) 答：水箱里的水深45cm。 3.5×5×8÷4=50(cm2)50×9=450(cm3) 答：这块铁块的体积为450cm3。 4.10×10×10-10×10×7=300(cm3) 300÷6=50(cm2)50×8=400(cm3) 答：这块铁块的体积是400cm3. 5.20×20÷8=50(cm2) (20×20-50)×8=2800(cm3) [20-2800÷(20×20)]×50=650(cm3) 答：这个实心长方体柱子的体积是650cm3。 专题十二 探索表面涂色的正方体 的有关规律 典例 三面涂色的小正方体有8个。 两面涂色的小正方体：(4一2)×12=24（个） 一面涂色的小正方体：(4一2)×(4一2)×6=24（个） 没有涂色的小正方体：(4一2)×(4-2)×(4一2)= 8(个) 35思维进阶训练 专题十运用抓不变量法解决等积变形问题 典例 有两个鱼缸，甲鱼缸长8dm,宽6dm,水深3dm。乙鱼缸空着，它的长为6dm,宽 和高都是4dm。现在要将甲鱼缸中的水倒人一部分到乙鱼缸中，使两鱼缸中水面同样高，求 水面高多少分米。 dm 3 dm 6 dm 4 dm 8 dm 6 dm 甲 乙 【思路引导】不管怎么倒水，水的体积都不变。可以将两个鱼缸并排放在一起，看成是一 个底面长8+4=l2(dm),宽6dm的长方体。根据“水深（即水的高）=水的体积÷甲、乙两 个鱼缸底面积之和”计算出现在的水深。 【规范解答】 方法点拔·解此类题的关键是抓住水的体积不变。此题中鱼缸里的水无论怎么倒，水的体积是 不变的，再结合长方体的体积计算公式，根据实际情况灵活分析即可求出水深。 举一反三 1.有一个长方体容器（如图1所示），长30cm,宽20cm,高10cm,里面的水深6cm。如果把 这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？（单位：cm) 30 20 20 30 10 图1 图2 2.如图所示，一个密封的长方体水箱从里面量得宽为3dm,高为5dm,箱内水的高度是 4dm。如果将水箱向后推倒，以它的后面为底面，这时箱内水的高度是多少分米？ dm dm 4 dm 5 dm 3 dm 11 数学五年级·下册IRJ 专题十一运用转化法解决未完全浸入类的问题 典例 一个长方体容器，底面是边长为60cm的正方形，容器里直立着一个高1m的长方 体铁块，铁块的底面是边长为15cm的正方形，这时容器里的水深50cm(如图1)，现在把铁 块轻轻向上提起24c(如图2)，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？ 图1 图2 【思路引导】由图1可知，容器中水的底面积=容器的底面积一长方体铁块的底面积，容 器中水的底面积X水的高度（图1）=水的体积，用V表示。由图2可知，把铁块轻轻向上提 起24c后，水面会下降一些，但水的体积不变。把水的体积分成两部分，V1表示有铁块的， V2表示没有铁块的，水的底面积也分成两部分，S1表示有铁块的，S2表示没有铁块的（容器 的底面积)，根据题意可知： V=S1×50 V V◆S1×50=S1×铁块在水中的长度+S2×24 ↓ S×铁块在水中的长度：S2X24 【规范解答】 方法点拨·解答此类题的关键是要判断铁块放入水中是否完全浸没在水中。如果完全浸没在水 中，则解题时要抓住：（铁块体积十水的体积）÷水槽的底面积=水的深度；如果没有完全浸没在 水中，则解题时要抓住铁块放入水中前后水的体积保持不变。 举一反目 1.向一个长20cm、宽16cm、高10cm的水槽中注人6cm深的水，然后放入一个棱长为 8cm的正方体铁块，水位上升了多少厘米？ 712 思维进阶训练 2.一个长方体水箱的底面是一个边长为60cm的正方形，水箱里直立着一个高1m、底面边 长15cm的方钢，这时水箱里的水深48cm。如果把方钢取出，水箱里的水深多少厘米？ 3.有一个长方体蓄水池，把一块底面边长为5cm的长方体铁块全部放进去，水面上升了 9cm,当铁块露出水面8cm时，水面下降了4cm。这块铁块的体积为多少立方厘米？ 4.一个棱长10cm的正方体容器中装有一些水，将一块高8cm的长方体铁块竖直放人水中 (铁块底面与容器底面平行)，铁块还没有完全浸没时水就满了（如下图）。这块铁块的体 积是多少？ 6 cm 7cm 5.一个正方体的工艺品（密闭容器），在它的下底固定了一个实心长方体柱子，里面装的液体 正好没过这个长方体柱子（如图1）。如果将这个容器倒过来，长方体柱子有8cm会露出 水面（如图2）。已知正方体的棱长是20cm,底面积正好是长方体底面积的8倍，求这个 实心长方体柱子的体积。 8 cm 20 cm 20cm 20 cm 图1 图2 13