专题8 运用比较法解决求物体变化后的表面积问题&专题9 运用长方体(正方体)相关知识解决折纸盒问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年五年级下册数学（人教版）福建专版

4.(8×7+8×4+7×4)×2+8×7×2=344(cm) (8×7+8×4+7×4)×2+7×4×2=288(cm) 答：这两个长方体的表面积之和最大是 344cm2,最小是288cm2。 5.方法一：4×4×4=64(cm) 方法二：12×4×4=192(cm2) 答：方法一中三块木料的表面积之和增加了 64cm,方法二中三块木料的表面积之和增加 了192cm2。 6.9÷3=3(cm) (12×3+12×18+18×3)×2X3=1836(cm) 答：总的表面积最大为1836cm。 专题八运用比较法解决求物体 变化后的表面积问题 典例 (4×4+1×1×4)×6=120(cm2) 答：剩余物体的表面积是120cm。 举一反三 1.4×4×6=96(cm) 答：剩下物体的表面积是96cm。 2.7×7×6+2×2×2=302(cm2) 答：这个几何体的表面积是302cm。 专题九运用长方体（正方体）相关 知识解决折纸盒问题 典例 (30-5×2)×(20-5×2)×5=1000(cm3) 答：这个纸盒的容积是1000cm3。 举一反三 当小正方形的边长为1cm时，(16-1×2)×(10 1×2)×1=112(cm)当小正方形的边长为2cm 时，(16-2×2)×(10-2×2)×2=144(cm3) 当小正方形的边长为3cm时，(16一3×2)× (10-3×2)×3=120(cm3)当小正方形的边 长为4cm时，(16-4×2)×(10一4×2)×4= 64(cm3)144>120>112>64 答：当小正方形的边长为2cm时，这个盒子的容 积最大，最大为144cm3。 专题十运用抓不变量法解决 等积变形问题 典例 8X6X3÷(8×6+6X4)=2(dm) 答：水面高2dm。 数学五年级·下册IRJ 举一反三 1.(30×20×6)÷(20×10)=18(cm) 答：里面的水深应该是18cm。 2.解：设后来箱内水的高度为xdm,水箱的长为 a dm. 5×aXx=3X4Xa x=2.4 答：箱内水的高度是2.4dm。 专题十一 运用转化法解决未 完全浸入类的问题 典例 (60×60-15×15)×50=168750(cm3) 60×60×24=86400(cm3) 168750-86400=82350(cm3) 82350÷(60×60-15×15)=24.4(cm) 50-24.4=25.6(cm) 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6cm。 举一反三 1.(8×8×8+20×16×6)÷(20X16)=7.6(cm) 7.6<8,说明上升的水位没有把整个铁块浸 没。20×16×6÷(20×16-8×8)=7.5(cm) 7.5-6=1.5(cm) 答：水位上升了1.5cm。 2.(60×60-15×15)×48÷(60×60)=45(cm) 答：水箱里的水深45cm。 3.5×5×8÷4=50(cm2)50×9=450(cm3) 答：这块铁块的体积为450cm3。 4.10×10×10-10×10×7=300(cm3) 300÷6=50(cm2)50×8=400(cm3) 答：这块铁块的体积是400cm3. 5.20×20÷8=50(cm2) (20×20-50)×8=2800(cm3) [20-2800÷(20×20)]×50=650(cm3) 答：这个实心长方体柱子的体积是650cm3。 专题十二 探索表面涂色的正方体 的有关规律 典例 三面涂色的小正方体有8个。 两面涂色的小正方体：(4一2)×12=24（个） 一面涂色的小正方体：(4一2)×(4一2)×6=24（个） 没有涂色的小正方体：(4一2)×(4-2)×(4一2)= 8(个) 35思维进阶训练 专题八 运用比较法解决求物体变化后的表面积问题 典例 一个棱长为4cm的正方体，在每个面的正中央都挖去一个棱长为1cm 的小正方体。挖去后，剩余物体的表面积是多少平方厘米？ 【思路引导】根据题意可知，挖去6个小正方体后，相对的面没有被打通，比 较题中的条件和问题可列表如下： 剩余物体与原来的相比 剩余物体每个面的面积 剩余物体的表面积 剩余物体每个面的面积比 剩余物体每个面的面积=原来 剩余物体的表面积=剩余 原来增加了1个小正方体 正方体每个面的面积十1个小 物体每个面的面积×6 的4个面的面积和 正方体的4个面的面积和 【规范解答】 方法点拨·解答此题要注意大正方体是否被挖穿，如果没被挖穿，则每个面的表面积就会增加 1个小正方体的4个面的面积；如果挖穿了，就要根据具体情况进行计算。 举二反目 1.如图所示，一个正方体的棱长是4cm,从它的一个顶点处挖去一个棱长是2cm的小正方 体，剩下物体的表面积是多少平方厘米？ 2.右图是把一个棱长为7cm的正方体，沿其中一条棱挖去一个棱长为2cm的小正方体，这 个几何体的表面积是多少平方厘米？ 2 cm 7cm 9 】 数学五年级·下册IRJ 专题九运用长方体（正方体）相关知识解决折纸盒问题 典例 一张长方形纸板长30cm、宽20cm,从这张纸板的四个角上分别剪去一个边长为 5cm的小正方形（如图），然后折叠成一个无盖的纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？ (纸板的厚度忽略不计) 【思路引导】画示意图确定无盖长方体纸盒的长、宽、高。 (30-5×2)cm 5 cm (20-5×2)cm 20cm→5cm 10 cm 20cm 30 cm 观察发现：长方体纸盒的长是(30一5×2)cm,宽是(20一5×2)cm,高是5cm,再根据长 方体的体积计算公式解答即可。 【规范解答】 方法点拨解此类题时，一般可画出示意图，先通过观察确定：盒子长=长方形的长一2个正方 形的边长；盒子宽=长方形的宽一2个正方形的边长；盒子高=正方形的边长。然后根据长方体 的体积计算公式解答即可。 举二反目 把一张长为16cm、宽为10cm的长方形厚纸的四个角上各剪去一个边长为整厘米的小 正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子。当剪掉小正方形的边长为多少厘米时，这个盒子 的容积最大？ 710