专题7 画示意图解决长方体(正方体)拼接或分割问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年五年级下册数学（人教版）福建专版

思维进阶训练 专题七 画示意图解决长方体（正方体）拼接或分割问题 典例 把两个长5cm、宽3cm、高2cm的长方体拼成一个大的长方体，有几种拼法？每种 拼法的大长方体的表面积各是多少？ 【思路引导】两个长方体拼成一个长方体有以下三种拼法： ①上下面相拼 ②前后面相拼 ③左右面相拼 不管怎么拼，每拼一次，表面积都会减少2个面的面积。将两个相同的长方体的最小面 拼接在一起，拼成的长方体表面积最大；将两个相同的长方体的最大面拼接在一起，拼成的 长方体表面积最小。 【规范解答】 方法点拨·两个相同的长方体拼成的大长方体表面积=原来两个长方体的表面积一两个拼接面 的面积。要使拼成的长方体表面积最大，只需把两个长方体的最小面拼接在一起；要使拼成的 长方体表面积最小，只需把两个长方体的最大面拼接在一起。 举一反 1.将右图中的长方体切成两个小长方体，表面积可能增加了多少平方厘米？ cm 20cm 2.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm,把它们拼在一起可组成一个 新的长方体，在这些长方体中，表面积最小的是多少平方厘米？ 7 数学五年级·下册IRJ 3.把三块长10cm、宽8cm、高3cm的长方体木块拼成一个大的长方体，大长方体的表面积 最大是多少平方厘米？ 3 cm 8 cm 10cm 4.把一个长8cm、宽7cm、高4cm的长方体截成两个长方体，这两个长方体的表面积之和 最大是多少？最小是多少？ 5.把一个长方体木料按下面两种方法平均分成三块后，两种分法中三块木料的表面积之和 各增加了多少平方厘米？ 4 cm c 1 4 cm 12 cm 4 cm 4cm 方法一 方法二 6.把一块长18cm、宽12cm、高9cm的长方体木块分割成三块同样的小长方体（不考虑分 割过程中的损耗)，总的表面积最大为多少平方厘米？ 8答案详解 3.6的倍数有6,12,18,24,30,36，… 36-34=2(个) 答：至少还需要2个梨才能正好分完。 专题三运用奇偶性解决实际问题 典例 A 举一反三 1.答：不能完成分配任务。如果分成4份，每份 都是奇数颗，那么合起来就是4个奇数的和，4 个奇数的和是偶数，而实际颗数43是奇数，因 此不能完成分配任务。 2.答：不能把全部房间的灯关上。因为7个房间 亮着灯，开关需要按动奇数次，灯才会全部关 上。实际每次同时按动4个房间的开关，无论 按动多少次，按动开关的总次数都是偶数，也 就不能把全部房间的灯关上。 3.答：她说得不对。根据“偶数×偶数=偶数，偶 数×奇数=偶数”可知，小君无论搭几个四边 形，用的小棒根数都是偶数，无论搭几个六边 形，用的小棒根数也是偶数；再根据“偶数十偶 数=偶数”可知，小君用的小棒总根数一定是 偶数；根据“偶数一偶数=偶数”可知，剩下的 小棒根数一定是偶数，而13是奇数，所以小君 说得不对。 专题四用质数和合数解决实际问题 典例 24÷2=12(cm) 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6 其中7和5都是质数7×5=35(cm2) 答：这个长方形的面积是35cm。 举一反三 1.答：不能。因为59和31都是质数，且互质。 若用边长a,b(a,b>1且互质)的瓷砖铺满，则 a和b需分别是59和31的因数，但59和31 的因数只有1和它们自身，而a,b>1且互质， 无法同时满足整除长和宽，所以不能。 2.178=2×89(2和89都是质数)，每组人数是 质数，可能为2或89每组2人，不符合“每组 至少3人”每组89人，需2组，2是质数，不 符合“小组个数是合数”。 答：不能按要求分组。 34 专题五画示意图解决物体拥扎问题 典例 6×2+4×4+2×6+1×3=43(dm) 答：至少需要43dm的铁丝。 举一反三 1.60×2+40×2+30×4+20=340(cm) 答：至少需要340cm长的彩绳。 2.4×3×9+3=111(cm) 答：至少需要111cm彩带。 3.50×4+40×6+30×6=620(cm) 答：至少需要620cm长的胶带。 专题六解决长方体和正方体展开 图有关的问题 典例 B 举一反三 1.A2.⑤ 3.10-4=6(dm) (8×6+8×4+6×4)×2=208(dm2) 答：长方体的表面积是208dm。 专题七画示意图解决长方体 (正方体)拼接或分割问题 典例 拼法一：(5×3+5X2+3×2)×2×2-5×3×2= 94(cm2) 拼法二：(5×3+5×2+3×2)×2×2-5×2X 2=104(cm2) 拼法三：(5×3+5×2+3×2)×2X2-3×2×2= 112(cm2) 答：有3种拼法，大长方体的表面积分别是 94cm、104cm2、112cm。 举一反三 1.2×6×2=24(cm)2×20×2=80(cm2) 2×20×6=240(cm2) 答：表面积可能增加了24cm、80cm或240cm。 2.3×2=6(cm) (5×4+5×6+4×6)×2=148(cm) 答：表面积最小的是148cm。 3.10X3=30(cm) (30×8+30×3+8×3)×2=708(cm2) 答：大长方体的表面积最大是708cm。 4.(8×7+8×4+7×4)×2+8×7×2=344(cm) (8×7+8×4+7×4)×2+7×4×2=288(cm) 答：这两个长方体的表面积之和最大是 344cm2,最小是288cm2。 5.方法一：4×4×4=64(cm) 方法二：12×4×4=192(cm2) 答：方法一中三块木料的表面积之和增加了 64cm,方法二中三块木料的表面积之和增加 了192cm2。 6.9÷3=3(cm) (12×3+12×18+18×3)×2X3=1836(cm) 答：总的表面积最大为1836cm。 专题八运用比较法解决求物体 变化后的表面积问题 典例 (4×4+1×1×4)×6=120(cm2) 答：剩余物体的表面积是120cm。 举一反三 1.4×4×6=96(cm) 答：剩下物体的表面积是96cm。 2.7×7×6+2×2×2=302(cm2) 答：这个几何体的表面积是302cm。 专题九运用长方体（正方体）相关 知识解决折纸盒问题 典例 (30-5×2)×(20-5×2)×5=1000(cm3) 答：这个纸盒的容积是1000cm3。 举一反三 当小正方形的边长为1cm时，(16-1×2)×(10 1×2)×1=112(cm)当小正方形的边长为2cm 时，(16-2×2)×(10-2×2)×2=144(cm3) 当小正方形的边长为3cm时，(16一3×2)× (10-3×2)×3=120(cm3)当小正方形的边 长为4cm时，(16-4×2)×(10一4×2)×4= 64(cm3)144>120>112>64 答：当小正方形的边长为2cm时，这个盒子的容 积最大，最大为144cm3。 专题十运用抓不变量法解决 等积变形问题 典例 8X6X3÷(8×6+6X4)=2(dm) 答：水面高2dm。 数学五年级·下册IRJ 举一反三 1.(30×20×6)÷(20×10)=18(cm) 答：里面的水深应该是18cm。 2.解：设后来箱内水的高度为xdm,水箱的长为 a dm. 5×aXx=3X4Xa x=2.4 答：箱内水的高度是2.4dm。 专题十一 运用转化法解决未 完全浸入类的问题 典例 (60×60-15×15)×50=168750(cm3) 60×60×24=86400(cm3) 168750-86400=82350(cm3) 82350÷(60×60-15×15)=24.4(cm) 50-24.4=25.6(cm) 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6cm。 举一反三 1.(8×8×8+20×16×6)÷(20X16)=7.6(cm) 7.6<8,说明上升的水位没有把整个铁块浸 没。20×16×6÷(20×16-8×8)=7.5(cm) 7.5-6=1.5(cm) 答：水位上升了1.5cm。 2.(60×60-15×15)×48÷(60×60)=45(cm) 答：水箱里的水深45cm。 3.5×5×8÷4=50(cm2)50×9=450(cm3) 答：这块铁块的体积为450cm3。 4.10×10×10-10×10×7=300(cm3) 300÷6=50(cm2)50×8=400(cm3) 答：这块铁块的体积是400cm3. 5.20×20÷8=50(cm2) (20×20-50)×8=2800(cm3) [20-2800÷(20×20)]×50=650(cm3) 答：这个实心长方体柱子的体积是650cm3。 专题十二 探索表面涂色的正方体 的有关规律 典例 三面涂色的小正方体有8个。 两面涂色的小正方体：(4一2)×12=24（个） 一面涂色的小正方体：(4一2)×(4一2)×6=24（个） 没有涂色的小正方体：(4一2)×(4-2)×(4一2)= 8(个) 35