10.1.4 概率的基本性质（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 1 2 3 4 56 1 (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 2 (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 3 (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) 4 (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) 设出现点数和为6的事件为事件A,出现，点数和为6的情况 有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种 P(A)=36 设出现点数和为7的事件为事件B,出现点数和为7的情况 有(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，共6种， P(A)-品-君 :P(A十B)=P(A)+P(B)=6+百=36 5111 即出现点截和为6或7的版本为需 解法二：将“出现点数和为6或7”看成单一的事件A,则由 于基本事件(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)共36种， 其中事件A包含的事件有(1,5)，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(3， 3),(3,4),(4,3),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1)共11种.故 P(A) 变式训练 1.C[根据古典概型的定义进行判断.选项A中长度的值出 现的可能性不一定相同，故不是古典概型：选项B中发芽与 不发芽的可能性不一定相等，故不是古典概型；选项D不是 随机试验，故不是古典概型；选项C中，出现的结果为1点至 6点，结果是有限个，并且由于骰子均匀，因此每个点数向上 的可能性相同，满足古典概型的两个特征，故是古典概型.] 2.D[九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热 干面分别记为a,b,c,d,e,两位参赛博主任选一个主题的试 验的样本空间2={aa,ab,ac,ad,ae,ba,bb,bc,bd,be,ca,cb, cc,cd,ce,da,db,dc,dd,de,ea,eb,ec,ed,ee},共25个样本 点，两位参赛博主抽到不同主题的事件A={ab,ac,ad,ae, ba,bc,bd,be,ca,cb,cd,ce,da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed,20 个样本，点，所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为P(A) 3.解析：所有可能的基本事件共有27个，如图所示， 红 红 / 红〈一黄 红《黄 红 黄 入蓝 、蓝 红 红 红 黄 一黄 黄 蓝 蓝 红 红 红 一黄 蓝〈黄 蓝黄 蓝 (1)设“三个矩形都涂同一种颜色”为事件A,由图可知，事件 A的慕本事件有1X3=3(个)，故P(A)=员=g 31 (2)设“三个矩形颜色都不同”为事件B,由图可知，事件B的 6_2 基本事件有2×3=6（个），故P(B)=27=9 4,ABD[记“车况好、中、差”分别为A,B,C,方案一包含的基 本事件数为n1,方案二包含的基本事件数为几2，列表如下： 3n1 A B C 1 名日所以选 、由美中所列事件数可知，力=6=2·=会三1 6 项C正确.门 10.1.4概率的基本性质 课前预习学案 知识梳理 P(2)=1P(A)+P(B)1-P(A)1-P(B)P(A) P(B) 「思考1 1.提示：互斥事件不一定是对立事件，而对立事件一定互斥. 2.提示：P(AUB)=P(A)十P(B)=1 预习自测 1.D[A,C是不可能事件，它们的概率都是0，正确.B是必然 事件，概率是1，正确.D不是必然事件，概率不是1，D错误」 故选D.] 2.A[.A与B是对立事件，.P(B)=1一P(A)=1一0.6= 0.4.] 3.解析：设甲获胜为事件A,乙获胜为事件B,由于和棋的概率 为0.2，因此甲、乙有一人获胜的概率为1一0.2=0.8，于是 有P(A)十P(B)=0.8.又P(A)=0.5,于是P(B)=0.3. 答案：0.3 4,解析：“至少有一名女生”与“都是男生”是对立事件.故 3人中都是男生的概牵P=1-号-号 答案：号 5.解析：(1)事件A与事件C是互斥事件，.由互斥事件的 概率加法公式得： P(D)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75. 6 (2)事件B与事件C是互斥事件，.由互斥事件的概率加 法公式得： P(E)=P(B)十P(C)=0.1+0.05=0.15. 课堂互动学案 [例1]解析：D[由于事件A,B,C,D彼 此互斥，且P(A+B+C十D)=P(A)十P AB C D (B)十P(C)十P(D)=1,所以事件A十B 十C+D是一个必然事件，故其事件的关 系可用图表示，由图可知，任何一个事件与其余三个事件的 和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两 个事件的和事件也是对立事件.门 [例2][解析](1)因为取到红心（事件A)与取到方片（事 件B)不能同时发生，所以A与B是互斥事件，且有C=AU B.故由互斥事件的概率的加法公式得 P(C)=P(AUB)-P(A)+() (2)因为当取一张牌时，取到红色牌（事件C)与取到黑色牌 (事件D)不可能同时发生，所以C与D也是互斥事件，又由 于事件C与事件D必有一者发生，即CUD为必然事件，所 以C与D互为对立事件，所以P(D)=1-P(C)=1-2 [例3][解析]记事件A={任取1球为红球，事件B={任 取1球为黑球}，事件C={任取1球是绿球}，显然A、B、C 彼此互斥。 (1)取出1个球是红球或黑球的概率为P(AUB)=P(A)十 PB)=是+号-是-是 (2)取出一个球不是绿球与是绿球为对立事件，P=P(C) =1-P(C)=1-立=12 111 [例4幻[解]记这个商店月收入在[1000,1500)，[1500， 2000),[2000,2500),[2500,3000)范围内的事件分别为 A,B,C,D,则这4个事件彼此互斥. (1)月收入在[1000,2000)范围内的概率是 P(A+B)=P(A)十P(B)=0.12十0.25=0.37. (2)月收入在[1500,3000)范围内的概率是 P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25十0.16十0.14 =0.55. (3)月收入不在[1000,3000)范围内的概率是 P(A十B+C+D)=1-P(A十B+C+D)=1-[P(A)+ P(B)+P(C)+P(D)]=1-(0.12+0.25+0.16+0.14)= 1-0.67=0.33. ·2 参考答案 变式训练 1.A[对于A,若事件A与B互斥，则A与B不一定相互对 立，但A与B相互对立，则A与B一定互斥，故“A与B互 斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A正确；对 于B,若A,B为两个事件，则P(A十B)=P(A)十P(B)一 P(A∩B),故B错误：对于C,若事件A,B,C两两互斥，则 P(A)十P(B)十P(C)=1不一定成立，如：炮掷一枚均匀的 骰子一次，记A=“向上的点数为1”，B=“向上的点数为2”， C=“向上的，点数为3”，事件A,B,C两两互斥，但P(A)十 P(B)+P0=日+日+日=子酸C错溪：对子D,花解 一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是号，抛掷一枚 硬币，正面向上的概率是号，满足P(A)十P(B)=1,但是A 与B不对立，故D错误.门 2.解析：(1)抛掷一枚骰子，“出现1点”和“出现2点”不能同时 发生，所以事件A与事件B互斥，故出现1，点或2点的概率 为PA+B)=PA)+PB)=G+G=子 (2)“3只球中有1只红球，2只白球”和“3只球中有2只红 球，1只白球”不能同时发生，故两个事件A与B互斥，又3 只球中既有红球又有白球的情形为：1红2白，2红1白，即 A或B,故所求的抵率为P(A十B)=P(A)十P(B)-昌 3.C设“两个球都是红球”为事件A,“两个球都是白球”为事 件B,两个球颜色不同”为事件C,则P(A)=是，P(B》- 号且C=AUR.因为A,B,C两两互斥，所以P(C)=1- P(C)=1-P(AUB=1-[PA)+P(B]=1-号-号 4.解：从袋中任取1球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄 球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,则有P(B十C)=P(B)十 5 5 P(C)=2,P(C+D)=P(C)+P(D)=2,P(B+C+D)= 1-P(A)=1-子-号.解得P(B)=子，PC)=名，P(D) 子因此得到黑球黄球嫌球的凝率分别光子行子 7数学·必修第二册 10.1.4 概率的基本性质 课程标准 素养解读 1.理解必然事件、不可能事件的概率， 通过对概率的计算，发 2.能够用概率的加法公式求互斥事件的概率. 展学生数据分析素养和 3.会运用对立事件的概率公式求一个事件的对立事件的概率. 数学运算素养 4.会用公式求两个事件的和事件的概率. 课前。预习学案 [情境引入] 结合古典概型的概率公式即可得P(AUB)= 上一次课我们学习了古典概型，举了生活中 n(A)+n(B) n(2) =P(A)+P(B) 与概率知识有关的实例，今天我们要来研究 概率的基本性质」 (2)当一个事件的概率不易求解，但其对立事 [知识梳理] 件的概率易求时，我们常利用性质4（对立事 知识点]概率的基本性质 件的概率公式)，使用间接法求解」 (3)我们称性质5为概率的单调性.对于任意 性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0. 事件A,因为⑦二A二2，所以0≤P(A)≤1.事 必然事件的概率为1，不可能事件 性质2 件发生的可能性越大，它的概率越接近1：事 的概率为0，即 ,P(0)=0. 件发生的可能性越小，它的概率越接近0.（4) 如果事件A与事件B互斥，那么 当A∩B=必时，P(A∩B)=0,因此性质3是 P(AUB)= 性质6的特殊情况. 推广：如果事件A1,A2,…,Am两 2思考1.互斥事件与对立事件有什么区别？ 两互斥，那么事件AUA2U…U 性质3 An发生的概率等于这m个事件分 别发生的概率之和，即P(A1UA, 2.对立事件A与B的和事件的概率如何？ U…UAm)=P(A)+P(A2)+… +P(A). 如果事件A与事件B互为对立事 [预习自测] 性质4 件，那么P(B)= 1.下列关于事件的概率的说法不正确的是 P(A)= ( 性质5 如果A二B,那么 A.从全是黑球的袋中取出红球的概率是O B.纸放在火上，纸被点燃的概率是1 设A,B是一个随机试验中的两个 C.太阳从西方升起的概率是0 性质6 事件，我们有P(AUB)=P(A)+ D.明天是晴天的概率是1 P(B)-P(A∩B): 2.事件A与B是对立事件，且P(A)=0.6,则 [知识剖析](1)我们称性质3为互斥事件的概 P(B)= 率加法公式.设样本空间2包含有n个样本 A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.1 点，当事件A与事件B互斥时，A与B不含有 3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.5，和棋的 相同的样本点，此时n(AUB)=n(A)+n(B), 概率为0.2，则乙获胜的概率为 ·166· 第十章概率 4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演 (1)事件D为“抽到的是一等品或三等品”； 讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率 (2)事件E为“抽到的是二等品或三等品” 为号，那么所选3人中都是男生的概率 为 5.从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件 A为“抽到的是一等品”，事件B为“抽到的 是二等品”，事件C为“抽到的是三等品”，且 已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)= 0.05,求下列事件的概率： 课堂。互动学案 利用互斥事件写对立事件的概率 C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+ 题型 公式判断互斥事件与对立事件 P(B)+P(C)=1 [例1] 在一次随机试验中，彼此互斥的事件 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0. 与B相互对立 3,则下列说法中正确的是 ( ) 题型二 互斥事件的概率 A.A十B与C是互斥事件，也是对立事件 [例2]如果从不包括大小王的52张扑克牌中 B.B+C与D是互斥事件，也是对立事件 随机抽取一张，那么取到红心（事件A)的概率 C.A+C与B+D是互斥事件，但不是对立 事件 是子，取到方片（事件B)的概率是子问： D.A与B+C+D是互斥事件，也是对立 (1)取到红色牌（事件C)的概率是多少？ 事件 (2)取到黑色牌（事件D)的概率是多少？ 汇思路点拨]此题考查互斥事件的概率加 汇思路点拨]两互斥事件并的概率等于这 法公式的应用，解题关键是判断该组事件 两个事件的概率的和，即P(AUB) 是不是互斥事件. P(A)+P(B);两对立事件的概率的和为1， 规律方法 即P(A)+PA)=1,故P(A)=1-P(A). 若两个事件互为对立事件，则这两个事件互 为互斥事件，反过来不一定成立.判断两个 事件A与B是互斥事件还是对立事件，应 首先判断事件A与事件B是否能够同时发 生，若不能，则事件A与事件B是互斥事 件，再进一步判断事件A与事件B的和事 件是否等于全体事件的和，若等于，则事件 A与事件B为对立事件，否则不是. 规律方法 1.运用互斥事件的概率加法公式解题时，首 ◇[变式训练] 1.下列说法正确的是 () 先要分清事件之间是否互斥，同时要学会 A.若A,B为两个事件，则“A与B互斥”是 把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不 “A与B相互对立”的必要不充分条件 重不漏 B.若A,B为两个事件，则P(A+B)= 2.常用步骤：①确定各事件彼此互斥；②先 P(A)+P(B) 求各事件分别发生的概率，再求其和. ·167· 数学·必修第二册 3.互斥事件的概率加法公式是一个很基本 题型 对立事件的概率 的计算公式，解题时要在具体的情境中判 [例3] 一盒中装有除颜色外其余均相同的 断各事件之间是否互斥，只有互斥事件才 12个小球，从中随机取出一个球，取出红球 能应用概率加法公式P(AUB)=P(A) +P(B),P(A UA,U...UA,)=P(A 的概率为员，取出黑球的概率为了，取出白 十P(A2)+…+P(Am).如果事件不互 斥，那么上述公式就不能使用.另外“正难 球的概率为行，取出绿球的概率为2 则反”是解决问题的一种很好的方法，应 (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； 理解掌握.如直接求解比较麻烦，则可考 (2)求取出的1个球不是绿球的概率， 虑求其对立事件的概率，再转化 汇思路点拨]互斥事件，对立事件的概率 ◇[变式训练] 关系求解. 2.(1)抛掷一枚骰子，观察出现的点数，设事件 A为“出现1点”，事件B为“出现2点”.已 知P(A)=P(B)=合求出现1点或2点的 概率； (2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任 取3只球，设事件A表示“3只球中有1只 红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2 规律方法 只红球，1只白球”已知P(A)=品，P(B) 1.明确对立事件的概率公式适用的条件，即 事件A,B互斥，且A,B中必有一个发 =求这3只球中既有红球又有白球的 生，其中一个易求，另一个不易求时，用 概率. P(A)+P(B)=1即可得解， 2.直接计算符合条件的事件个数较繁琐时， 可间接地先计算对立事件的个数，求得对 立事件的概率，再由公式求出符合条件的 事件的概率. 3.应用此公式时，一定要分清事件的对立事 件到底是什么事件，不能重复和遗漏.该 公式常用于“至多”“至少”型问题的探求. ◇[变式训练] 3.从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均 相同)的黑色布袋中，随机不放回地摸球两 次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红 球“的概率为号，“两个球都是白球”的概率 为行则“两个球颜色不同”的概率为( )》 A清 B( .D.号 ·168· 第十章概率 题型四 --------------- 概率的实际应用 ⊙[变式训练] [例4幻某商店月收入（单位：元）在下列范围 4.一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色， 内的概率如下表： 分别是红、黑、黄、绿.从中任取1球，得到红 月收入 [1000, [1500, [2000, [2500, 球的概率是了，得到黑球或黄球的柢率是 范围 1500) 2000) 2500) 3000) 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 得到黄球或绿球的概率也是员试求得 5 (1)求月收入在[1000,2000)范围内的 到黑球、黄球、绿球的概率各是多少 概率； (2)求月收入在[1500,3000)范围内的 概率； (3)求月收入不在[1000,3000)范围内的概率， [思路点拨]由于[1000,1500)，[1500， 2000),[2000,2500),[2500,3000)这4 个区间两两的交集都是空集，因此它们对 应的事件彼此互斥，故可以直接使用互斥 事件的概率加法公式求解，也可以考虑利 用对立事件求解 规律方法 解决概率应用问题的一般步骤：(1)阅读，理 解题意，合理设出事件；(2)分析事件之间的 关系，选择适当的公式计算；(3)将解答结果 C温攀提 回代到应用问题中，进行解释和说明， 学习至此，请完成课时作业(10.1.4) ·169·