10.1.1 有限样本空间与随机事件（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 第十章 概率 10.1 随机事件与概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件 课程标准 素养解读 1.了解不可能事件、必然事件及随机事件的概念 在理解样本空间定义的基础上，培养学生的数学抽象 2.理解样本点与样本空间的定义，会求试验中的样 等核心素养。 本空间. 课前。预习学案 对应学生用书P157 [情境引入] [知识点二]事件 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵 1.随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个 族德·梅耳，他发现了这样的事实：将一枚骰子连 试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我 掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将 们将样本空间2的子集称为随机事件，简称事件， 两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很 并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机 少.这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳 事件一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验 问题 中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A [知识梳理] 发生 2.必然事件 [知识点一]有限样本空间 2作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次 1.随机试验 试验中总有一个样本点发生，所以2总会发生，我 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机 们称2为必然事件. 试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是 3.不可能事件 空集心不包含任何样本点，在每次试验中都不会发 具有以下特点的随机试验： 生，我们称心为不可能事件. (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止 2思考事件与基本事件的概念相同吗？ 一个； 提示：(1)必然事件与不可能事件不具有随机性.为 了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随 (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空 但事先不能确定出现哪一个结果。 间2的一个子集. 2.有限样本空间 (2)基本事件的概念可类比集合中元素的概念，试验 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样 可能发生的全部结果是一个集合，其元素是基本事 本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 件，基本事件不能分解，不能同时发生（相当于集合 中元素的互异性) 一般地，我们用2表示样本空间，用ω表示样本点。 (3)事件与基本事件的区别：基本事件是试验中不能 如果一个随机试验有n个可能结果w1,w2,…,wn, 再分解的最简单的随机事件，只包含一个样本点，而 则称样本空间2={w,w2,…,wn}为有限样本 事件可以由若干个基本事件组成，不止包含一个样 空间. 本点. ·214· 第十章概率 [预习自测] 解析：D[将抽到正品记为1，次品记为0，则样本 1.一个家庭有两个小孩，写出这个试验的样本空间是 空间为2={(1,1,0)，(1,0,0)，(1,1,1)}，因此至 少有一件正品为必然事件.] A.2={(男，女)，（男，男），（女，女）} 4.同时投掷两枚大小完全相同的骰子，用(x,y)表示 B.2={(男，女)，（女，男）} 出现的结果，其中x,y分别为两枚骰子向上的点 C.2={(男，男)，（男，女），（女，男），（女，女）} 数，则该事件的所有结果种数为 D.2={(男，男)，（女，女）》 解析：在这个试验中，(1,2)和(2,1)应视为2种不 解析：C[用坐标法表示：将第一个小孩的性别放 同的结果，列表可知共有36种结果」 在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位 答案：36 置，可得4个不同的样本点（男，男），（男，女），（女， 5.某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的 男)，（女，女）.] 盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的 2.在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那 小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成 么下列事件是不可能事件的是 有序实数对(x,y). (1)写出这个试验的所有结果； A.3个数字相邻 (2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一 B.3个数字全是偶数 事件。 C.3个数字的和小于5 解：(1)当x=1时，y=2,3,4; D.3个数字两两互质 当x=2时，y=1,3,4; 解析：C[从10个数字中任取3个数字，这3个数 当x=3时，y=1,2,4; 字的和大于或等于6，小于5的情况不可能发生，故 当x=4时，y=1,2,3. “这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件.] 因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)， 3.从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽 (2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1) 取3件，则必然事件是 (4,2),(4,3) A.3件都是正品B.至少有1件次品 (2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A, C.3件都是次品D.至少有1件正品 则A={(2,1),(2,3),(2,4)}. 课堂。互动学案 对应学生用书P158 题型一探究样本点与样本空间 (2)一次取两个球，若记（红，白）代表一次取出红 球、白球各一个，则样本空间2={（红，白），（红， [例1]袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相 黄)，（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）}，样本点 同的小球，按下列要求分别进行试验 的总数为6. (3)先后取两个球，如记（红，白）代表第一次取出一 (1)从中任取一个球； 个红球，第二次取出一个白球 (2)从中任取两个球： 列表如下： (3)先后各取一个球 、第一次 红 第二次 百 黄 黑 分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的 红 (白，红) (黄，红) (黑，红) 总数. 5 (红，白) (黄，白) (黑，白) [思路点拨]解决此类问题的重点是搞清每次试 黄 (红，黄) (白，黄) (黑，黄) 验的条件和结果，关键是充分理解试验，避免列举 黑 (红，黑) (白，黑)（黄，黑） 样本点时不全或有重复.第(3)问可用列表法 则样本空间为2={（红，白），（白，红），（红，黄）， 求解。 (黄，红)，（红，黑），（黑，红），（黄，黑），（黑，黄）， (黄，白)，（白，黄），（白，黑），（黑，白）}，样本点的总 [解](1)2={红，白，黄，黑}，样本点的总数为4. 数为12 ·215· 数学·必修第二册 规律方法 题型二 随机事件的表示 (1)样本点具有如下性质：①不能或不必分解为更小 [例2] 一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个 的随机事件；②不同的样本点不可能同时发生 球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球， (2)样本空间是由全体样本点构成的，而不是部分样 (1)一共有多少个样本点？ 本点.在列举样本点时，要结合事件本身的特征， (2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示， 依据一定的规律和方法，将事件全面地列举出 [思路点拨了把所有的事件一罗列出来，不能 来，避免遗漏。 重复，也不能遗漏， ◇[变式训练] [解](1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号， 1.写出下列试验的样本空间： 则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1， (1)连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的 5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 情况； 10个〔其中(1,2)表示摸到1号球和2号球). (2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签 (2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A= 确定演讲的顺序，记录抽签的结果； {(1,2),(1,3),(2,3). 规律方法… (3)连续抛掷一枚骰子2次，观察2次掷出的点数 在实际生活中，一些现象的所有可能结果是可以预 之和； 知的，转化到数学中，可以用样本点与样本空间来进 (4)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回 行描述， 地逐个取出，直至白球全取出，记录取球的次数. ◇[变式训练] 解：(1)第一次硬币向上面与第二次硬币向上的面 2.甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）. 构成一个样本点，样本空间为：{（正面，正面），（正 (1)求样本空间： 面，反面)，（反面，正面），（反面，反面)}. (2)求“平局”包含的样本点； (2)四个同学的一个排列构成一个样本点，样本空 (3)求“甲赢”包含的样本点； 间为：{甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙， (4)求“乙赢”包含的样本点. 甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲 解：(1)样本空间2={（锤子，锤子），（锤子，剪刀)， 丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙 (锤子，布)，（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀， 丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁 布)，（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}（其中小括号 乙丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙， 内左边的文字代表甲出的拳，右边的文字代表乙出 丁甲丙乙}； 的拳) (2)“平局”包含（锤子，锤子），（剪刀，剪刀），（布， (3)第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样 布)三个样本，点 本点，样本空间为： (3)“甲赢”包含（锤子，剪刀），（剪刀，布），（布，锤 {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}； 子)三个样本点. (4)白球全部取出，至少取4次，最多取10次，样本 (4)“乙赢”包含（剪刀，锤子），（布，剪刀），（锤子， 空间为：{4,5,6,7,8,9,10} 布)三个样本点 课后。素养提升 对应学生课时P331 基础过关 A.标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾 》 B.走到十字路口，遇到红灯 1.一个家庭有两个小孩儿，则样本空间为 C.长和宽分别为a,b的矩形，其面积为ab A.{(男，女)，（男，男），（女，女）} D.实系数一元一次方程必有一实根 B.{(男，女)，（女，男）}》 解析：B[A.标准大气压下，水加热到100℃必会 C.{(男，男)，（男，女），（女，男），（女，女）》 沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B.走到十 D.{(男，男)，（女，女）} 字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题 解析：C[随机试验的所有结果要保证等可能性。 意；C.长和宽分别为a,b的矩形，其面积为ab是必 两小孩儿有大小之分，所以（男，女）与（女，男）是不 然事件；故本选项不符合题意；D.实系数一元一次 同的基本事件，故选C.] 方程必有一实根，是必然事件.故本选项不符合 2.以下事件是随机事件的是 题意.] ·216· 第十章概率 3.在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品， 8.先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬 从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是 币向上面的情况，某同学记录了以下事件： A.事件：只有一枚硬币正面向上 A.3件都是正品 B.事件：两枚硬币均正面向上. B.至少有一件是次品 C.事件：至少一枚硬币正面向上 C.3件都是次品 则在三个事件中含有三个样本点的事件为 D.至少有一件是正品 解析：D[任意抽取3件的样本空间为2={“3个 解析：C[先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，其样 正品”，“2个正品1个次品”，“1个正品2个次 本空间2={（正，正），（正，反），（反，正），（反， 品”}，由于只有2个次品，不会有3个次品的情况. 反)}，A事件有两个样本，点，（正，反）（反，正）：B事 3种样本，点中都至少有1个正品，所以“至少有1个 件只有1个样本，点，（正，正）；C事件有3个样本点 是正品”是必然发生的，即必然事件应该是“至少有 (正，正)，（正，反），（反，正）.] 1个是正品”.] 9.下列给出五个事件： 4.下列事件中，必然事件是 ( ①某地2月3日下雪；②函数y=a(a>0,且a≠ A.10人中至少有2人生日在同一个月 1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于 B.11人中至少有2人生日在同一个月 0;④在标准大气压下，水在1℃结冰；⑤若a,b∈ C.12人中至少有2人生日在同一个月 R,则ab=ba.其中必然事件是 ;不可能事 D.13人中至少有2人生日在同一个月 件是 ;随机事件是 解析：D[一年有12个月，因此无论10、11、12个 解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即 人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定 至少有2人在同一月生日.本题属“三种事件”的概 可得到答案。 念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事 答案：③⑤④①② 件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔 10.先后抛掷两枚质地均匀的硬币， 巧合就下结论，故选D.] (1)写出该实验的样本空间. 5.(多选题)已知集合A是集合B的真子集，下列关 (2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？ 于非空集合A,B的四个命题，正确的是( 解：(1)一共出现“两枚正面”“一枚正面，一枚反面” A.若任取x∈A,则x∈B是必然事件 “一枚反面，一枚正面”“两枚反面”4种不同的结果， B.若任取x庄A,则x∈B是不可能事件 其样本空间为2=《“两枚正面”，“一枚正面，一枚反 C.若任取x∈B,则x∈A是随机事件 面”，“一枚反面，一枚正面”，“两枚反面”，》 D.若任取x任B,则x庄A是必然事件 (2)出现“一枚正面，一枚反面”的情况有2种，即 解析：ACD[,集合A是集合B的真子集，.A 为“一枚正面，一枚反面”“一枚反面，一枚正面” 中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少 有一个元素不在A中，因此A正确，B错误，C正 11.从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品 确，D正确.] 中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取 6.(多选题)在10名学生中，男生有x名，现从10名 两次。 学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女 (1)写出这个试验的样本空间. 生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生.若 (2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写 要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事 出事件A的样本空间. 件，则x可以是 (3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取 A.5B.6 C.3 D.4 出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题. 解析：CD[依题意知，10名同学中，男生人数少于 解：(1)这个试验的样本空间2={(a1,a2),(a1, 5人，但不少于3人，故x=3或x=4.] b),(a2b),(a2,a1),(b,a1),(b,a2)}. 7.从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中 (2)A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}. 任取2个小球，其样本空间中的样本点共有 个. (3)①这个试验的样本空间2={(a1,a1),(a1, 解析：实验的样本空间为2={（红球，白球），（红 a2）,(a1,b),(a2,a1,(a2a2),(a2b),(b,a1),(b, 球，黑球)，（白球，黑球），样本，点共有3个. a2),(b,b)}. 答案：3 ②A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}. ·217· 数学·必修第二册 能力提升 (1)“a十b=5”这一事件包含哪几个基本事件？“a <3且b>1”呢？ 12.给出下列四个命题： ①集合{xx<0}为空集是必然事件： (2)“ab=4”这一事件包含哪几个基本事件？ ②y=f(x)是奇函数，则f(0)=0是随机事件； “a=b”呢？ ③若log。(x一1)>0，则x>1是必然事件； 解：这个试验的样本空间2={(1,1)，(1,2)，(1， ④对顶角不相等是不可能事件. 3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3, 其中正确命题是 2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. 解析：，x≥0恒成立，.①正确；奇函数y= (1)“a十b=5”这一事件包含以下4个基本事件 f(x)只有当x=0有意义时才有f(0)=0,∴.②正 (1,4),(2,3),(3,2),（4,1). 确；由log(x-1)>0知，当a>1时，x一1>1即 “a<3且b>1”这一事件包含以下6个基本事件 x>2;当0<a<1时，0<x-1<1,即1<x<2, (1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4). ∴，③正确，④正确. (2)“ab=4”这一事件包含以下3个基本事件(1， 答案：①②③④ 4),(2,2),(4,1)； 13.设集合M={1,2,3,4},a∈M,b∈M,(a,b)是一 “a=b”这一事件包含以下4个基本事件(1,1)， 个样本点。 (2,2),(3,3),(4,4). 10.1.2事件的关系和运算 课程标准 素养解读 1.理解事件之间的关系，并能用符号和运算正确地表示 在理解事件关系及运算过程中，发展学生的运 2.能正确区分互斥事件与对立事件 算素养和数据分析素养 课前。预习学案 对应学生用书P159 [情境引入] 2.相等关系 如果我校全校学生为全集，那么高一年级二班的学 特别地，如果事件B包含事件 A(B) 生和高一年级的所有学生什么关系； A,事件A也包含事件B,即B 高一年级甲班的所有男生与高一年级乙班的所有 口A且A口B,那么称事件A与事件B相等，记作 女生构成的事件又是什么关系？ A=B,如图. [知识梳理] 2思考2.相等事件的含义是什么？ [知识点一]事件的关系 提示：(1)两个相等的事件总是同时发生，或同时不 1.包含关系 发生 一般地，若事件A发生，则事件B一定 (2)所谓A=B,就是指A,B是同一事件， 发生，我们就称事件B包含事件A(或 (3)在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的 事件A包含于事件B),记作B2A(或 定义 A二B),如图.例如，在掷骰子的试验中，{出现2点} [知识点二]事件的运算 三{出现的点数为偶数}. 1.并（和）事件 ?思考1.事件间的关系与集合间的关系一致吗？ 一般地，事件A与事件B 提示：(1)事件间的关系可类比集合与集合之间的关 至少有一个发生，这样的 系，可用维恩图直观地表示 一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事 (2)不可能事件记作心，任何事件都包含不可能 件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并 事件 事件（或和事件），记作AUB(或A+B),如图.例 (3)事件A包含于事件A,即A二A, 如，在掷骰子试验中，事件C2={出现2点}，C4= {出现4点}，则C2UC4=(出现2点或4点}. ·218·