9.2.3 总体集中趋势的估计（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

第九章统计 ◇[变式训练] (1)求x; 5.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想 (2)求抽取的x人的年龄的50%分位数（结 的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举 果保留整数)； (3)以下是参赛的10人的成绩：90,96,97， 办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分 95,92,92,98,88,96,99,求这10人成绩的 (90分及以上为认知程度高)，现从参赛者 20%分位数和平均数，以这两个数据为依 中抽取了x人，按年龄分成5组（第一组： 据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程 [20,25),第二组：[25,30)，第三组：[30， 度，并谈谈你的感想 35),第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得 到如图所示的频率分布直方图，已知第一组 有5人. +频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 c温馨提正 0 2025 30 35 4045年龄/岁 学习至此，请完成课时作业(9.2.1、9.2.2) 9.2.3 总体集中趋势的估计 课程标准 素养解读 在学习和应用平均数、中位数和众数的 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平 过程中，要进行运算，对数据进行分析， 均数、中位数、众数). 发展学生的数学运算素养和数据分析 2.理解集中趋势参数的统计含义. 素养。 课前。预习学案 [情境引入] 问题三家广告中都称其产品的使用寿命 现从甲、乙、丙三个厂家生 为8年，利用初中所学的知识，你能说明为 产的同一种家电产品中， 什么吗？ 各抽取8件产品，对其使 用寿命进行跟踪调查，其 结果如下：（单位：年） 甲：3,4,5,6,8,8,8,10；乙：4,6,6,6,8,9， 12,13;丙：3,3,4,7,9,10,11,12， ·145· 数学·必修第二册 [知识梳理] C.样本平均数一定等于总体平均数 [知识点] 众数、中位数、平均数 D.样本容量越大，样本平均数越接近总体 数字 平均数 定义与求法 优点与缺点 特征 2.某题的得分情况如下： 众数通常用于描述 得分（分） 0 1 2 3 变量的中心位置，但 组数据中重 百分率(%) 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2 显然它对其他数据 数 复出现次数最 ( 信息的忽视使得其 其中众数是 多的数 无法客观地反映总 A.37.0% B.20.2% C.0分 D.4分 3.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3， 体特征 2,4,2,则样本平均值为 ) 中位数是样本数据 A.4.55 B.4.5 C.12.5D.1.64 把一组数据按 所占频率的等分线， 4.下列数据的中位数和众数分别是() 大小顺序排列， 它不受少数几个极 79,84,84,86,84,87,93 必 处在 位置 端值的影响，这在某 A.84,84 B.84,86C.85,84D.86,84 的一个数据（或 些情况下是优点，但 5.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学 两个数据的平 它对极端值的不敏 生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图 均数) 感有时也会成为 所示的频率分布直方图，已知图中从左到右 缺点 的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 平均数与每一个样 0.30,0.40,0.15,0.10,0.05. 如果有n个数 本数据有关，可以反 求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数； 映样本数据全体的 (2)高一参赛学生的平均成绩， 平 x1’x2’x3,…, 信息，但平均数受数 ↑频率/组距 xn,那么这n个 0.040 数 据中的极端值的影 0.030 数的平均数x= 响较大，使平均数在 0015 估计总体时可靠 0.010 0.005 性降低 0 5060708090100分数（分） ?思考1.一组数据的众数可以是一个或几个 也可以没有，那么中位数是否也具有相同的 结论？ 2.如何通过频率分布直方图确定众数、中位 数、平均数？ [预习自测] 1.下列判断正确的是 ( A.样本平均数一定小于总体平均数 B.样本平均数一定大于总体平均数 ·146· 第九章统计 课堂。互动学案 题型一众数、中位数、平均数意义的应用 规律方法 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据 1.中位数利用了中间数据的信息.当样本数据 质量比较差，即存在一些错误数据时，应该 中存在许多较大的极端值；反之，说明数据 用抗极端性很强的中位数表示数据的中 中存在许多较小的极端值.众数、中位数、平 心值 均数都是描述一组数据集中趋势的量，其中 2.如果样本平均数大于样本中位数，说明数据 平均数的大小与一组数据中的每个数的大 中存在许多较大的极端值；反之，说明数据 小均有关系，任何一个数据的变化都会引起 中存在许多较小的极端值.在实际应用中， 平均数的变动 如果同时知道样本中位数和样本平均数，可 以使我们了解样本数据中极端数据的信息： ◇[变式训练] 3.在样本中，有50%的个体小于或等于中位 1.某产品售后服务中心随机选取了20个工作 数，也有50%的个体大于或等于中位数， 日，分别记录了每个工作日接到的客户服务 4.实际问题中求得的平均数、众数和中位数应 电话的数量（单位：次）： 带上单位。 63382542564853392847 [例1]高一(3)班有男同学27名，女同学21 名，在一次语文测验中，男同学的平均分是 45525948516248505238 82分，中位数是75分，女同学的平均分是 (1)分别计算以上数据的平均数、中位数和 80分，中位数是80分. 众数： (1)求这次测验全班的平均分（精确到 (2)根据以上结果，你能为该产品的售后服 0.01分)； 务中心提供什么建议？ (2)估计全班成绩在80分以下（含80分）的 同学至少有多少人？ 题型二利用众数、中位数、平均数估计总体 (3)分析男同学的平均分与中位数相差较大 [例2] 据了解，某公司的33名职工月工资 的主要原因， (单位：元)如下： 汇思路点拨]根据平均数和中位数的定义 副董 解决 职务 董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 事长 人数 1 2 工资 11000 100009000 80006500 55004000 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、 众数； (2)假设副董事长的工资从10000元提升 到20000元，董事长的工资从11000元提升 到30000元，那么新的平均数、中位数、众 数又是多少？（精确到元） ·147· 数学·必修第二册 (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员 其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的 工的工资水平？结合此问题谈一谈你的 年龄特征？ 看法. (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数 各是多少岁？ 汇思路点拨]先根据众数、中位数、平均数 其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的 的概念进行求解，然后根据众数、中位数、 年龄特征？ 平均数反映的数字特征来进行讨论 利用频率分布直方图求数据的众数、 题型三 中位数及平均数 [例3] 从高三抽出50名学生参加数学竞 赛，由成绩得到如下的频率分布直方图. 规律方法 个频率/组距 0.03 众数、中位数、平均数的意义 0.021 0.02 (1)样本的众数、中位数和平均数常用来表 0.06上-- 示样本数据的“中心值”，其中众数和中 0.006 8.8042 位数容易计算、不受少数几个极端值的 0405060708090100成绩（分） 影响，但只能表达样本数据中的少量信 由于一些数据丢失，试利用频率分布直方 息，平均数代表了数据更多的信息，但受 图求： 样本中每个数据的影响，越极端的数据 (1)这50名学生成绩的众数与中位数. 对平均教的影响也越大。 (2)这50名学生的平均成绩， (2)当一组数据中有不少数据重复出现时， 汇思路点拨]利用直方图求数字特征： 其众数往往更能反映问题，当一组数据 ①众数是最高的矩形的底边的中点， 中个别数据较大时，可用中位数描述其 ②中位数左右两边直方图的面积应相等， 集中趋势。 ③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩 ⊙[变式训练] 形底边中点的横坐标之和. 2.某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨 练，两群市民的年龄（单位：岁）如下： 甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数 各是多少岁？ ·148· 第九章统计 规律方法 ⊙[变式训练] 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 3.（多选)某校100名学生参加数学竞赛，将所 众数是最高长方形底边的中点所 有成绩分成[50,60)、[60,70)、[70,80)、 众数 对应的数据，表示样本数据的中 [80,90)、[90,100]五组（成绩均在[50,100] 心值 内)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下 ①在频率分布直方图中，中位数 列说法正确的是 左边和右边的直方图面积相等， 频率 组距 由此可以估计中位数的值，但是 0.030 中位数 有偏差； 0.015 0.010 ②表示样本数据所占频率的等 5060708090100成绩/分 分线 A.a的值为0.035 ①平均数等于每个小长方形的面 B.估计这100名学生成绩的众数是75 积乘以小长方形底边中点的横坐 C.估计这100名学生成绩的平均数为78 平均数 标之和； ②平均数是频率分布直方图的重 n估计这10名学生成锁的中位数为9 心，是频率分布直方图的平衡点 C温馨提 学习至此，请完成课时作业(9.2.3) 9.2.4 总体离散程度的估计 课程标准 素养解读 在学习和应用标准差、方差和极差的 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准 过程中，通过进行运算，对数据进行分 差、方差、极差) 析，发展学生的数学运算素养和数据 2.理解离散程度参数的统计含义， 分析素养. 课前。预习学案 [情境引入] 问题若从二人中选一人去和兄弟部队参 甲、乙两名战士在相同条 加射击大赛，只用平均数能否作出选择？ 件下各射靶10次，每次命 中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10， 4,7; 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. 经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都 是7环 ·149·数学·必修第二册 变式训练 1.解：(1)频率分布表如下： 成绩分组 频数 频率 累积频率 [40.50) 2 0.04 0.04 [50,60) 3 0.06 0.1 [60,70) 10 0.2 0.3 L70,80) 15 0.3 0.6 「80,90) 12 0.24 0.84 [90,100] 8 0.16 1.00 合计 50 1.00 (2)频率分布直方图如图所示， ,频率 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0405060708090100成绩分 (3)学生成绩在[60,90)分的频率为0.2十0.3十0.24=0.74 =74%,所以估计成绩在「60,90)分的学生比例为74%. 2.解析：由频率分布直方图中各矩形面积之和为1， 可得0.5×(0.08×2十0.16+0.30×2+a十0.52十0.12+0.04) =1,解得Q=0.40,故体能测试成绩大于13.25秒的频率是0.5 ×(0.40×号+0.52+0.30+0.12+0.08+0.04)=0.63 答案：0.63 3.B[由题意可知，该问题中的样本容量为200，故A不符合 题意；采用分层抽样法抽样，李同学与张同学被抽到的可能 性一样大，故B符合题意；由题图知，同学们选择各社团的 差异性比较大，则采用分层抽样更合理，故C不符合题意； 羽毛球社团应抽取的人数为200×27%=54，合唱社团应抽 取的人数为200×10%=20，故D不符合题意.] 4.D[由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排 列为：-3，-2，-1，-1,0,0,1,2,2,2， 因为共有10个数据，所以10×80%=8，是整数，则这10天 最低气温的第80百分位数是2生=2.] 5.解：(1)第一组频率为0.01×5=0.05， 5 所以x=0.05=100. (2)由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于 35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50%分 28 位数在[30,35)内，由30十5×0.50-0.40=5≈32，所以抽 0.70-0.403 取的x人的年龄的50%分位数为32 (3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列： 88,90,92,92,95,96,96.97,98,99, 计算10×20%=2，所以这10人成绩的20%分位数为 90十92=91，这10人成绩的平均数为 2 0(88+90+92+92+95+96+96+97+98+9)=943. 评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度 很高 感想：略（结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可）， 9.2.3总体集中趋势的估计 课前预习学案 情境引入 提示三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自已的 产品.其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为 8年. 知识梳理 中间 1十x2十…十x n [思考] 1.提示：中位数在一组数据中一定存在且是唯一的. 2.提示：(1)众数是最高矩形底边的中点. (2)中位数左边和右边的直方图面积相等，由此来估计中位 数的值 (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，它等于每个小矩形 的面积乘以小矩形底边中，点的横坐标之和， 预习自测 1.D 2.C[众数出现的频率最大，故选C.] 3.A[由条件得2=十(4X3+3X2+5×4+6×2)≈4.5.] 4.A[把数据由小到大排列得79,84,84,84,86,87,93，可知 众数和中位数都是84.] 5.解：(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值 作为众数的近似值，得众数为65，又·第一个小矩形的面积 为0.3，第二个小矩形的面积为0.4，设第二个小矩形底边的 一部分长为x,则x×0.04=0.2,得x=5,∴.中位数为60十5 =65. (2)依题意，平均成绩为55×0.3十65×0.4十75×0.15十 85×0.1十95×0.05=67，所以平均成绩约为67分. 8 课堂互动学案 [例][解折]1)利用年均数计算公式得=被×(82× 27+80×21)≈81.13（分）. (2)男同学成绩的中位数是75分， .至少有14人得分不超过75分. 又女同学成绩的中位数是80分， .至少有11人得分不超过80分. ,.估计全班至少有25人得分低于80分（含80分）. (3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的成 绩中两极分化现象严重，分数高的和低的相差较大. [例2][解](1)平均数是：x=4000+ 7000+6000+5000×2+4000+2500×5+1500×3+0×20 33 ≈4000+1333=5333（元）. 中位数是4000元，众数是4000元. (2)平均数是x'=4000+ 26000+16000+5000×2+4000+2500×5+1500×3+0×20 33 ≈4000+2212=6212（元）， 中位数是4000元，众数是4000元. (3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工 资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额 差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数 不能反映这个公司员工的工资水平， [例3][解析](1)由众数的概念可知，众数是出现次数最 多的数，在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横 坐标即为所求.所以众数应为75. 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图 中体现的是中位数的左右两边频数应相等.即频率也相等】 从而就是小矩形的面积和相等，因此在频率分布直方图中 将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所 对应的成绩即为所求 .0.004×10+0.006×10+0.02×10 =0.04十0.06十0.2=0.3， 前三个小矩形面积的和为0.3. 而第四个小矩形面积为 0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5, .中位数应位于第四个小矩形内 设其底边为x,高为0.03， ∴令0.03x=0.2得x≈6.7， 故中位数应为70十6.7=76.7. ·28 参考答案 (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”.即所有数据 的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的 面积即可。 .平均成绩为45×(0.004×10)十55×(0.006×10)十 65×(0.02×10)+75×(0.03×10)+85×(0.021×10)+95 ×(0.016X10)≈74. 变式训练 1.解：(1)由题意，该组数据的平均数为(63十38十25十42十 20 56+48+53+39+28+47+45+52+59+48+51+62+48 十50十52十38)=47.2，这些数据从小到大排序为：25,28， 38,38,39,42,45,47,48,48,48,50,51,52,52,53,56,59,62, 63,所以数据的中位教为48十48=48，其中众数为48。 2 (2)根据以上数据，该产品售后服务中心每天应准备接听48 个客户的电话 2.解：(1)甲群市民年龄的平均数为 13+13+14+15+15+15+15+16+17+17=15(岁)， 10 中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等， 因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征. (2)乙群市民年龄的平均数为 54+3+4+4十5+5+6+6+6+57=15（岁）， 10 中位数为5.5岁，众数为6岁， 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反 映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差」 3.ABD[由题意知(0.010十0.015十a十0.030十0.010)×10 =1,解得a=0.035,故A正确；估计这100名学生成绩的众 数是7080=75，故B正确：估计这100名学生成绩的平均 2 数为55×0.1+65×0.15+75×0.35十85×0.3+95×0.1 =76.5,故C错误；设这100名学生成绩的中位数为m,所 以，m=70×0.35十0.25=0.5，解得m=540,故D正确.] 10 7 9.2.4总体离散程度的估计 课前预习学案 情境引入 提示不能.平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用 方差来判断谁的射击水平更稳定， 知识梳理 -就-2) 1. n i=1 9