期末质量检测 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（人教A版）

数学A版· BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC, 又PO∩AC=O,∴.BD⊥平面PAC.又BDC平 面BDE,∴.平面PAC⊥平面BDE. (2)解：取OC中点F,连接EF.E为PC中点， .EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.又PO⊥平 面ABCD, .EF⊥平面ABCD,,OF⊥BD,.OE⊥BD. .∠EOF为二面角E-BD一C的平面角，∴∠EOF =30° 在Rt△OEF中， OF=号0C=AC-。 , aEF=0Fan0-∴0p=2Er- 6. 6a=18 18.解：如图所示，考点为A,检查北 开始处为B,设公路上C,D两 点到考点的距离为1km,在 △ABC中，AB=√5，AC=1,B ∠ABC=30°，由正弦定理，得sin∠ACB=ABsin30 AC -∠ACB=120(∠ACB=60不#合题意). ∴.∠BAC=30°，∴.BC=AC=1. 在△ACD中，AC=AD,∠ACD=60°，.△ACD为 等边三角形，.CD=1. “货×60=5在0上省要5mi,cD上名要 5 min. ∴.最长需要5min检查员开始收不到信号，并至少持 续5min该考点才算合格. 19.解：(1)如图所示，连接BD,由 ABCD是菱形且∠BCD=60°知， △BCD是等边三角形.因为E是 CD的中，点，所以BE⊥CD.CD ∥AB,.BE⊥AB.PA⊥平面 ABCD,.PA⊥BE.PA∩AB =A,.BE⊥平面PAB. 又BEC平面PBE,.平面PBE⊥平面PAB. (2)BE⊥平面PAB,∴BE⊥PB. .∠ABP是二面角ABE-P的平面角， 在Rt△PAB中，AB=1,PA=√5，tan∠ABP=√5， .∠ABP=60°. .二面角ABEP的大小是60. 期末质量检测 (B卷) 1.B[:年=2+i.2=1+i0(2+i)=1+3i .之=1-3i.] 2.B[a/b-是=受∴m=-46=(-2 4),.2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).] ·2 必修第二册 3.C[因为V三棱维0-ABC=V三赖维C-O4B,所以三棱锥 O一ABC体积的最大值即三棱锥C一OAB体积的最 大值，所以当C到平面OAB的距离最大，即CO⊥平 面OAB时，体积最大.设球的半径为r,则 V三我0-c=V:我c-0ma=2=36,所以r=6 则球O的表面积S=4πr2=144元.] 4.A[解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可 分为：①甲预报准确，乙预报不准确：②甲预报不准 确，乙预报准确：③甲预报准确，乙预报准确.这三个 事件彼此互斥，故事件的概率为0.8×(1一0.75)+(1 -0.8)×0.75+0.8×0.75=0.95. 解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对 立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准 确”，故事件的概率为1一(1一0.8)(1一0.75) =0.95. 5.D[将正三棱柱ABC-A1BC1补为四棱柱ABCD A1B1C1D1,连接CD,BD,则C1D∥B1A,∠BC1D为 所求角或其补角.设|BB=√2，则|BC=CD=2, ∠BCD=120°，BD|=25,又因为|BC1|=C1D= 6,所以∠BCD=2.] 6.C[将c2=a2+b2-2 abcos C与(a+b)2-c2=4联 1 立，解得ab=4,则S△Anc=2 absin C=5.] 7.B.(a十b)·(a-b)=0,∴.a2-b2=0,∴.a2=b2,则 |a=|b,不能得到a=b或a=-b,充分性不成立： 若a=b或a=-b,则(a十b)·(a-b)=0成立，必要 性成立.所以“(a十b)·(a-b)=0”是“a=一b或a= b”的必要不充分条件. 8A[周为P(A)=子，P(B)=是故P(A)=, PB)品因为AB与AB为豆乐字件，放P(AB: AB)=0,所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P (-P(AB)+P(A)-P(AB)2P(AB) =员故PAB)=言故PM)=PB》=PCAB》 贵3名] 9.ABCD[向量不能比较大小，A错误；由于零向量与 任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C,若b为零向量，a与c可能不是共线向量，故C 错误：对于D,当a=0时，日无意义，故D错误.] 10.BD[对于A,由题意可得AA1= √+(2)+(2会)=2故A错误：对于B. 梯形ADD,A的商效+（写）-9。 所以梯彩ADDA1的西积为2告×号-35，帮形 2 2 ABBA1的高为12+(2)°=E。 所以梯形ABBA1的面积为1十2X2=3巨， 2 2 参考 故该四棱台的侧面积为2× + =3√2+3 √5，故B正确； 对于C,若放入容器内的球可以接触到容器的底面， 则当球的半径最大时， 球恰好与平面ADD1A1、平面BCCB1、平面ABCD 均相切， 过三个切点的截面如图(1)所示，由题意可知棱台的 截面为等腰梯形， 较长的底边上的底角的正切位为2白 =2,则tan 2 ∠MPN=-2, 由于∠MPN,∠MON互补，故tan∠MON=2, 则_2tan∠MOp =2,所以an∠MOP=51(负 '1-tan2∠MOP 2 1 值合)，从而球的丰径为言=5十10.9. 5-1 4 2 所以将半径为0.9Cm的球放入该容器中不能接触 到容器的底面，故C错误；对于D,将平面ABCD与 平面DCC1D1展开至同一平面，如图(2)，则AC1= V2+@+()√厘+4， 将平面ABCD与平面BCC1B1展开至同一平面，如 因3.则AG/(+写)+3√厘+，华+ 5-(3+42)=3+5-4<0, 图(1) 图(2) 图(3) 所以最短路程丸√四+5，故DE确] 11.CD[因为平均数和中位数不能限制某一天的病例 超过7人，故A不正确；乙地中位数为2，众数为3， 可以有一天的感染人数为8，故B不正确：C中若有 一个数据超过7，则数据的极差大于7，故C正确：当 总体平均教是2，若有一个数据起过7，则2>品(8 -2)2=3.6,则方差就超过3，.总体平均数是2，总 体方差为3时，没有数据超过7，故D正确.] 12.解析：以A为原点，AB所在的直线为 D x轴，过A且垂直于AB的直线为y 轴建立平面直角坐标系.则由A(0, 0),B(2,0),E(2,3),D(1,N3),可得 AE·BD=1. 答案：1 13.解析：如图，分别作QA⊥a于点A,AC⊥1于点C, PB⊥B于点B,PD⊥I于点D,连接CQ,BD,则 ∠ACQ=∠PDB=60°，AQ=2√5，BP=√3， ·2 答案 ∴.AC=PD=2. B 又：PQ=WAQ+AP2= √12+AP2≥2√5，当且仅当 AP=0,即点A与点P重合 时取最小值，此时，PQ⊥平面 /B月A 《,故PQ与平面a所成的角 为90°. 答案：2√590 14.解析：：cos∠DAC=3@ 10,cosC=25 5 ∴.sin∠DAC= √10 0",sinC=5,sin∠ADC= sin(∠DAC+∠C=x25+3匝x5 10 5 10 5 AC 之由正孩定理，得一 DC sinZADC=sin/DAC,得AC √5DC.又.BD=2DC,.BC=3DC.在△ABC中， 由余弦定理，得AB2=AC2+BC-2AC·BCeos C -5DC2+9DC*-25DC.3DC.25-2DC 5 由AB=√2，得DC=1,从而BC=3,AC=√5.即AC +BC=3+√5， 答案：3+√5 15.解：(1)之-3i为实数，即a+bi-3i=a+(b-3)i为实 数，b=3, 又依题意，b可取1,2,3,4,5,6 故出现=3的桃率为行 即事件“一i为实数”的概率为日 (2)由已知，|x-2|=|a-2+bil=√(a-2)2+b≤3 可知，b的值只能取1、2、3 当b=1时，(a-2)2≤8，即a可取1,2,3,4 当b=2时，(a-2)2≤5，即a可取1,2,3,4 当b=3时，(a-2)2≤0，即a可取2 由上可知，共有9种情况下可使事件“|之一2≤3” 成立 又a,b的取值情况共有36种 故事件：一2引≤3”的概幸为品-子 16.解：(1)证明：由题意，得a十b= cosa+2,sin&-3,因为(a+b)·(a-b)户 c-+sim2a-子=1-1=0，所以(a+b)L(a -b). (2)因为向量√3a+b与a-√5b的模相等，所以（√5a +b)2=(a-√5b)2,所以|a2-|b|2+2√3a·b=0, 为1a=1.b(）+ =1,所以a2 数学A版·1 1 =b2,所以a·b=0,所以-2cosa+气sina=0, 所以tana= 号，又因为0≤a<2x,所以a=其 6 或 17.解：(1)在△PBC中，E,F分 别是PB,PC的中点， .EF∥BC. 又BC∥AD,.EF∥AD 又，ADC平面PAD,EF丈平 B 面PAD,.EF∥平面PAD. (2)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点 G,则EGL平面ABCD,且EG=PA. 在△PAB中，AP=AB,∠PAB=90°，BP=2,.AP =AB=反，BG= 2 Sa版=宁AB,BC=×IX2=E Vgc=合sa·BG=子×x9-3 1 18.解：(1)设“甲回答问题且得分”为事件A,“甲回答问 题但对方得分”为事件A,“乙回答问题且得分”为事 件B,“乙回答问题但对方得分”为事件B.记“前三个 问题回答结束后乙获胜”为事件C. 前三个问题回答的情况有8种：AAA,AAA,AAB, AAB,ABB,ABB,ABA,ABA,其中事件C只包含了 1种情况，即ABB,所以P(O=P(ABB)=名，即前 三个问题回答结来后乙获胜的概率为日 (2)记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件 D.由(1)可得，P(D)=P(AAA)+P(AAAB)+P AAMB)=名+6十品-多 即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概车为品 19.解析：(1)(sinx,cosx)☒(3,4)=(3sinx,4cosx)= 、3 (，-2所以 (3sin =2' (4cos x=-23, sin x=2' 即 ,解得x=2x十5m,k∈Z,所以实数 6 2 的取值合为{=2x+∈ (2)(sinx,cosx)☒(W2,V2)=(W2sinx,√2cosx), 所以 [(sinx,cosx)⑧(W2,W2)]=|2√2sinx-√2 cosrl= √22sinx-cos x=√2/(2sinx-cosx)2 24sin2r+cos2x-4sin xcos x= ·24 必修第二册 2v1+3sin2r-4sin xcos r= 1sinAsin reos sin2x+cos2x 1616 /1+3an4lam正-Ex tan2x+1 1+62=2 (3)不存在实数x,使得[(2sin元x+1,7cos2xx十1) ☒(h(x),h(x)]=30. 因为(2sin元x+1,7cos2元x+1)☒(h(x),h(x)=(h (x)(2sin nx+1),h(x)(7cos2xx+1)), 所以[(2sin元x+1,7cos2元x+1)☒(h(x),h(x)]=| h(x)(4sinπx+2)-h(x)(7cos2πx+1) =h(x)4sin xx-7cos2xx+11=h(x)4sin xx -7(1-2sin2元x)+1=2|h(x)|7sin2元x+2 sin ar -3|,若2h(x)|7 sin2 w+2sin元x-3|=30,只需 h(x)||7sin2元x+2sin元x-3|=15,因为h (+受）为奇函数，所以么(1+受）=-力 (e+号）即x)=-h(- 又因为h(x十5)为偶函数，所以h(-x十5)=h(x十 5),即h(x)=h(10-x),所以h(10-x)=-h(5 x),即h(5十x)=-h(x),所以h(x+10)=-h(x十 5)=h(x),所以h(x)是周期为10的周期函数，任取 xe[受小则5-∈[p,号]由xe[p,号]时，a )=1-号，及h(x)=-h(5-,得x∈ [受]时，aMx)=一号，所以∈[05时a()= .5 x一21 任取x∈[5,10]，则10-x∈[0,5]，h(x)=h(10-x) =10-x- 5=15 2 -x,故x∈[0，l0]时，h(x)∈ [号号]则当=0或5或10时，A川取漫大 值号，又T=10,故x=5kk∈Z)时，h(取最大 值号：对于画数y=7sim2xx+2sin元x-3=7 (n+）号当snr=一时取小值 -号，当sn元u=1时，取最大值6，故7sinr+2sin 元x-3到的最大位为6，此时sin元x=1,元x=2x+受， k∈Z,即x=2k+(k∈Z),虽然号×6=15，但是t =5k(k∈Z)与x=2h+7(k∈Z)不能同时成主，故 不存在实数x,使[(2sin元x十1,7cos2元x+1)☒(h (x),h(x))]=30.数 新高考 期末质量检测 学 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.已知年2+i,则复数x A.-1+3i B.1-3i C.3+i D.3-i 2.已知平面向量a=(1,2),b=(一2，m),且a∥b,则2a十3b= A.(-5,-10) B.(-4,-8) C.(-3,-6) D.(-2,-4) 3.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O一ABC体积的最 大值为36，则球O的表面积为 如 A.36π B.64π C.144π D.256π 4.甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风.在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8 和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 ( A.0.95 B.0.6 C.0.05 D.0.4 h 5.在正三棱柱ABCA1B1C1中，IAB|=√2|BB1|,则AB1与BC1所成角的大小为 ( A君 B骨 c D. 6.已知△ABC中，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且(a十b)2-c2=4,C=120°，则△ABC的面 积为 鲁 &2g C.5 D.23 7.(2024·高考北京卷)已知向量a,b,则“(a+b)·(a一b)=0”是“a=-b或a=b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.设A,B是一个随机试验中的两个事件且P(A)= P)是P(AB+AB)-是则PAB》 A.8 R是 c品 短 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) ☒ 9.下列叙述中错误的是 A.若a=b,则3a>2b B.若a∥b,则a与b的方向相同或相反 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.对任一向量a,合是一个单位向量 10.如图，有一个棱台形的容器ABCD-A1B1C1D1(上底面A1B1C1D1无盖)，其 四条侧棱均相等，底面为矩形，AB=BC-号AB=}BG=1m,容器的 深度为1m,容器壁的厚度忽略不计，则下列说法正确的是 数学试题期末质量检测B卷第1页（共4页） A.AA1=√2m B.该四棱台的侧面积为(3√2+3√5)m2 C.若将一个半径为0.9m的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面 D.若一只蚂蚁从点A出发沿若容器外壁爬到点C,则其爬行的最短路程为空+厅m 11.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标 志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病 例数据，一定符合该标志的是 () A.甲地：总体平均数为3，中位数为4 B.乙地：中位数为2，众数为3 C.丙地：极差为5，第80百分位数为4 D.丁地：总体平均数为2，总体方差为3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中的横线上.） 12.在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则AE·BD= 13.已知二面角a一1一3为60°，动点P,Q分别在平面a,3内，P到3的距离为√3，Q到a的距离为2 √5，则P,Q两点之间距离的最小值为 ,此时直线PQ与平面α所成的角为 .(本 题第一空3分，第二空2分) 14.在△ABC中，AB=2,点D在边BC上，BD=2DC,cOs∠DAC=30,co cos C=2Y5,则AC+BC B 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分)将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷 两次，记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,设复数之=a+bi. (1)求事件“≈一3i为实数”的概率； (2)求事件“|之一2≤3”的概率. 数学试题期末质量检测B卷第2页（共4页） 16(本小题消分15分)设向量a=(osa,sme)0Ca<2x),b-（合号)且a与b不共线， (1)求证：(a+b)⊥(a-b); (2)若向量√5a+b与a一√3b的模相等，求角a. 17.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AP= AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点. A (1)证明：EF∥平面PAD; (2)求三棱锥E-ABC的体积V. 数学试题期末质量检测B卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合 法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校 选拔出甲、乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己 得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一 方获胜，甲、乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲、乙答对每个问 题的概率都是).竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权. (1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率； (2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率」 E好 19.(本小题满分17分)已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),定义运算a⑧b=(x1x2,y1y2),同时定义 [(x,y)]=|2x-y. (1)若(sinx,cosx)☒(3,4)= (受-2求实数x的取值集合： (2)已知tanx= 3,求[(sinx,cosx)⑧(，W2,2)]; (3)已知定义域为R的函数A(x)满足A(+号)为奇函数，A(x+5)为偶函数，且x∈[0，号]时， h(x）=x-号是否存在实数x,使[2(sin元x十1,7cos2xx+1)⑧(h(x),h(x)]=30?若存在，求出 x的值；若不存在，请说明理由. 数学试题期末质量检测B卷第4页（共4页） 期末质量检测B卷 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）☐ 填 正确填涂 注 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 准考证号。 涂 错误填涂 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 样 ☑× 安 涂写要工整、清晰。 3按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 )0力 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题(1一8小题，每小题5分，9一11小题，每小题6分，共58分) 请在各 1A®g回 4A®回回 7AB回回 10A⑧@回 目的答题区 2A⑧g回 5A®g回 8A®@回 11ABg回 3 A BCD 6ABC回 9ABCD 内作答 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 填空题（共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空3分，第二空2分） 超 12 框的答案无 14 解答题：本题共5小题，共77分 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡期末质量检测B卷第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答 D ,超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡期末质量检测B卷第？页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为@2 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡期末质量检测B卷第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡期末质量检测B卷第4页（共4页）