期末质量检测 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（人教A版）

数 新高考 期末质量检测 ( 学 同步单元双测卷 A卷·基础达标卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.复数= (1-i)2 1+i (ⅰ为虚数单位)的虚部为 A.1 B.-1 C.±1 D.0 2.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a一bl,则下面结论正确的是 ( A.a∥b B.a⊥b C.lal=1b D.a+b-a-b 3.在△ABC中，已知a=√2，b=2,B=45°，则角A= A.30°或150° B.60°或120 C.60 D.30° 4.如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图二是该组合体的轴 截面，则它的表面积是 ( 03 01 0 0 0 10 图 图二 A.64π B.77π C.80π D.84π 5.对一批产品的长度（单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品 长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35) 上为三等品，用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是() 频率 组距 0.06-- 0.06 0.04 0.04 0.03 0.02 0.02 0 101520253035长度/mm 期 A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45 6.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较 小底面的半径为 A.7 B.6 C.5 D.3 7.某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量/度 120 140 160 180 200 户数 2 6 7 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是 ( A.180,170 B.160,180 C.160,170 D.180,160 数学试题期末质量检测A卷第1页 (共4页) 8.如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1,BD=√2，BD⊥CD,将其沿对角线BD折成 四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体 积为 () λ号 B.3π D.2π 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.砂糖桔网店2023年全年的月收支数据如图所示，则针对2023年 万元 90 这一年的收支情况，下列说法中正确的是 80 70 A.月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 60 支出 B.这一年的总利润超过400 % C.这12个月利润的中位数与众数均为30 20 D.11月份的利润最大 10 10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件 0 123456789101112月 解三角形，其中有两解的是 A.b=10,A=45°，C=70 B.b=45,c=48,B=60° C.a=14,b=16,A=45° D.a=7,b=5,A=80° 11.已知三棱锥S一ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，且SC=2,则 () A.三棱锥S一ABC的体积为 B.三棱锥S一ABC的体积为 C,三棱锥O-ABC的体积为号 D.三棱锥0-ABC的体积为2y2 3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上.） 12.设e1,e2是两个不共线的向量，a=3e1十4e2,b=e1一2e2.若以a,b为基底表示向量e1+2e2,即e1 +2e2=a+b,则A+μ= 13.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB, 则角C= 14.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1,B,M作正方体的截 面，则这个截面的形状是 ,截面的面积是 .(本题第一空2分，第二空3分)》 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分)为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”“锻炼” “看电视”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成统 计图如图所示. 人数 1000 800 800 锻炼 看电视 600 阅读 入40% 400 240---- 其他 200 28% 0 看电视锻炼阅读其他选项 数学试题期末质量检测A卷第2页（共4页） 根据统计图所提供的信息，解答下列问题： (1)本次共调查了 名市民； (2)补全条形统计图； (3)该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内“锻炼”的人数. 16.(本小题满分15分)已知a=(2+sinx,1),b=(2,-2),c=(sinx-3,1),d=(1,k)(x∈R,k∈R) 1)若x∈[-乏，，且a∥(b+c),求x的值： (2)若函数f(x)=a·b,求f(x)的最小值； (3)是否存在实数k和x,使得(a+d)⊥(b十c)?若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明 理由. 17.(本小题满分15分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底 面ABCD,底面边长为a,E是PC的中点. (1)求证：PA∥平面BDE;平面PAC⊥平面BDE; (2)若二面角E-BD一C为30°，求四棱锥P一ABCD的体积. 数学试题期末质量检测A卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周 围1km内不能收到手机信号.检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约√3km有一条北偏东60 方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12k/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间， 检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？ E好 19.(本小题满分17分)如图所示，四棱锥P一ABCD的底面ABCD是边长为1的菱 形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD,PA=√3. (1)证明：平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角A-BEP的大小. 数学试题期末质量检测A卷第4页（共4页） 期末质量检测A卷 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）☐ 注 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 准考证号。 涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 样 错误填涂 涂写要工整、清晰。 ☑X 事 3按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 0 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题(1一8小题，每小题5分，9一11小题，每小题6分，共58分) 请在各 1A®g回 4囚®回回 7AB回回 10A®@D 目的答题区 2A⑧g回 5A⑧回回 8A®@回 11ABCD 3 A BCD 6ABC回 9ABCD 内作答 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 填空题（共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分） 13 框的答案无 14 解答题：本题共5小题，共77分. 15.(本小题满分13分) 人数 1000 800 800 锻炼 看电视 600 阅读 40% 400 240 其他 200 28% 0 看电视锻炼阅读其他选项 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡期末质量检测A卷第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡期末质量检测A卷第？页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为@2 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡期末质量检测A卷第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡期末质量检测A卷第4页（共4页）数学A版· 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 100十200十300=0.6，顾客同时购买甲和丁的概率 1000 可以估计为00=0.1 100 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可 能性最大. 16.解析：设甲、乙、丙当选的事件分别为A、B、C, 则P)=号P(B)=子，P(O= (1)易知事件A、B、C相互独立， 所以恰有一名同学当选的概率为 P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C) +PAP(BPC)+P(A)P(BP(C)=专X号X 品+日×号×+日××品- (2)至多有两人当选的概率为1一P(ABC)= 1-P(A)P(B)P(C) =1-号×号×品器 17.解：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆， 由题意得50=】 n100+300,所以1=2000. 10 则x=2000-(100+300)-(150+450)-600 =400. (2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车， 由题洁得08。号申a=2 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3 辆标准型轿车. 用A1,A2表示2辆舒适型轿车，用B1,B2,B3表示3 辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2 辆，其中至少有1辆舒适型轿车”， 则样本空间2={(A1,A2),(A1,B1),（A1,B2), (A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2), (B1,B3),(B2,B3),共10个样本，点.事件E包含的 样本点为：(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个. 故P(B=即所家桃幸为品 (3)样本率均数y=日×(0,4十86十9.2+9.6十87 +9.3+9.0+8.2)=9. 设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平 均数之差的绝对值不超过0.5”，则样本空间中有8 个样本，点，事件D包含的样本点为：9.4,8.6,9.2， 87,9.3,9.0,共6个，所以P(D)=日=是，即所求 搬求为子 18.解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示 事件“赔付金额为4000元”，由频率估计概率得 P)=18品=.15，P(B)=0=a.12,由于投 保金额为2800元，赔付金额大于投保金额的情形是 赔付3000元和4000元，所以其概率为P(A)+ P(B)=0.15+0.12=0.27. ·2 必修第二册 (2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000 元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1X 1000=100(位)，而赔付金额为4000元的车辆中车 主为新司机的有0.2×120=24（位）， 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的 频率为骑-0.24， 由频率估计概率得P(C)=0.24. 19.解析：(1)由题意可得，m∈{1,2,3,4}，n∈{一1,2,4， 6,8},数对(m,n)的样本空间2={(1，一1)(1,2)， (1,4),(1,6),(1,8),(2,-1),(2,2),(2,4),(2,6), (2,8),(3,-1),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4, 1),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)},样本点共20个. (2)若二次函数f(x)的单调递增区间为[1，十∞)， 则二次函数f代x)的对称轴x一烈-1，即n=2m, 由(1)可得，总的基本事件个数为20个， 符合n=2m的基本事件为(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4， 8》来4个，所以PA=易日： (3)因为m>0,二次函数的图象开口向上， 方程f(x)=2有4个零点，即方程f(x)=2和 f(x)=一2各有2个零点， 等价于二次函数f(x)=mx2-nx-1的最小值小于 -2,所以二4m-心<-2，即n2>4m, Am 样本空间中符合2>4m的基本事件有(1,4)，(1， 6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8), (4,6),(4,8),共11个，所以P(B)= 期末质量检测 (A卷)》 1.B〔因为-得-骨=一1一i所以复数：的 虚部为一1. 2.B[因为a+b=a-b→(a+b)2=(a-b)2→a·b =0,所以a⊥b,选B.] 3.D[由正弦定理a。 sin A sin B得.inA=合snB=号 2 1 sin45°=2，又因为b>a,故A=30.] 4.D[圆柱的上底面面积为4π：圆柱的侧面面积为4π ×5=20π：圆台的下底面面积为25π：圆台的母线长为 √42+(5-2)2=5，所以圆台的侧面面积为π(2+5)× 5=35π，则该组合体的表面积为4π+20元十25π十35元 =84元. 5.D[由频率分布直方图可知，样本数据在区间[25， 30)上的频率为1-5×(0.02+0.04+0.06+0.03) 0.25,则为二等品的频率为0.25十0.04×5=0.45， 故任取1件为二等品的概率约为0.45.] 6.A[设圆台较小底面的半径为r,由题意知另一底面 的半径R=3r.所以S榴=π(r十R)l=π(r十3r)X3= 84π，解得r=7. 7.D[用电量为180度的家庭最多，有7户，故这20户 家庭该月用电量的众数是180：将用电量按从小到大 的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,160， 故这20户家庭该月用电量的中位数是160.] 参考 8.A[如图，取BD的中点为E, BC的中点为O,连接AE,OD, EO,AO.因为AB=AD,所以 AE⊥BD. 由于平面ABD⊥平面BCD,所 以AE⊥平面BCD.因为AB= AD=CD=1,BD=√2，所以AE =号0=子所以A0-9在R△BDC中，0B= OC=OD=合BC=9,所以四面依ABCD的外接球 的球心为0，半径为所以该球的你积V= 、4 2 9.AC[观察图象知，月收入的最大值为90万元，最小 值为30万元，A正确： 由题图可知，1一12月份的利润表， 月份 123456789101112 利润/万元203020103030604030305030 因此1-12月份的总利润为20十30+…+50十30 380<400,B错误：由利润表可知，这12个月利润的中 位数与众数均为30，C正确：由利润表可知，7月份的 利涧最大，D错误.] 10.BC[选项A:因为A=45,C=70°，所以B=65°，三 角形的三个角是确定的值，故只有一解.选项B:因为 sinC=.csin B_85<1,且c>b,所以角C有两解. b 15 选项C:周为sin B-bsin A=4<1,且b>a,所以 a 7 角B有两解.选项D:因为sinB=bsinA<1,且b< a a,所以角B仅有一解.综上所述.] 11.AC[由于三棱锥S-ABC与三棱 锥O-ABC的底面都是△ABC,O 是SC的中，点，因此三棱锥S一ABC 的高是三棱锥O-ABC高的2倍， 所以三棱锥S一ABC的体积也是 三棱锥O一ABC体积的2倍，在三 棱锥O-ABC中，其棱长都为1，如 D 因：Sa度-，高0D Vs-AMC-2Vo-ANG] 61 12.解析：由a=3e1十4eg,b=e1-2eg,得e=a+号b, e=a-是e1十2，=子a-,即x+=号 11 5=5 答案：号 ·2 答案 13.解析：由已知条件和正弦定理得：3a=5b,且b十c 2a,则a=5 3,c=2a-b=7 3,cos C=262-c2 2ab 又0<C<,因光角C-要 3 答案 14.解析：取AA1的中点N,连接MN,NB,MC1,BC1, AD1,因为MN∥AD1,AD1∥BC1,故MN∥BC1, 且MN=BG=E. 则截面MNBC1为梯形，且 为等腰梯形，MC1=BN 5,可得梯形的高为3，所以 B ② 梯形的面积为(，2+2@) D X39 2? 答案：等腰梯形 9 15.解：(1)本次共调查的市民人数为800÷40%= 2000.故填2000. (2)晚饭后选择“其他”的人数为2000×28%=560， 晚饭后选择“锻炼”的人数为2000一800一240一560 =400. 将条形统计图补充完整，如图所示 人数 1000 800 800 600F- 560---1 400 400 240 200 0 看电视锻炼阅读其他选项 (3)晚饭后选择“锻炼”的人数所占的比例为：400÷ 2000=20%,该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数 为：480×20%=96（万）. 16.解：(1)：b+c=(sinx-1,-1),又a∥(b+c), ：-(2+sin0)=simr-1,即imz=-分又x长 [-受]…x=-吾 (2)a=(2+sinx,1),b=(2,-2), .f(x)=a·b=2(2+sinx)-2=2sinx+2.又x∈R, .当sinx=一1时，f(x)有最小值，且最小值为0. (3)a+d=(3+sinx,1+k),b+c=(sinx-1,-1), 若(a十d)⊥(b+c),则(a十d)·(b十c)=0,即(3+ sin x)(sin x-1)-(1+k)=0, .'.k=sin2x+2sin x-4=(sin x+1)2-5. 由sinx∈[-1,1]，得sinx+1∈[0,2]， .(sinx+1)2∈[0,4]，故k∈[-5，-1]. .存在k∈[-5，-1]，使得(a十d)⊥(b十c). 17.(1)证明：连接OE,如图所示. O、E分别为AC、PC中点， OE∥PA. .OE二平面BDE,PA亡平面 BDE,∴PA∥平面BDE. PO⊥平面ABCD,∴.PO⊥ 数学A版· BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC, 又PO∩AC=O,∴.BD⊥平面PAC.又BDC平 面BDE,∴.平面PAC⊥平面BDE. (2)解：取OC中点F,连接EF.E为PC中点， .EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.又PO⊥平 面ABCD, .EF⊥平面ABCD,,OF⊥BD,.OE⊥BD. .∠EOF为二面角E-BD一C的平面角，∴∠EOF =30° 在Rt△OEF中， OF=号0C=AC-。 , aEF=0Fan0-∴0p=2Er- 6. 6a=18 18.解：如图所示，考点为A,检查北 开始处为B,设公路上C,D两 点到考点的距离为1km,在 △ABC中，AB=√5，AC=1,B ∠ABC=30°，由正弦定理，得sin∠ACB=ABsin30 AC -∠ACB=120(∠ACB=60不#合题意). ∴.∠BAC=30°，∴.BC=AC=1. 在△ACD中，AC=AD,∠ACD=60°，.△ACD为 等边三角形，.CD=1. “货×60=5在0上省要5mi,cD上名要 5 min. ∴.最长需要5min检查员开始收不到信号，并至少持 续5min该考点才算合格. 19.解：(1)如图所示，连接BD,由 ABCD是菱形且∠BCD=60°知， △BCD是等边三角形.因为E是 CD的中，点，所以BE⊥CD.CD ∥AB,.BE⊥AB.PA⊥平面 ABCD,.PA⊥BE.PA∩AB =A,.BE⊥平面PAB. 又BEC平面PBE,.平面PBE⊥平面PAB. (2)BE⊥平面PAB,∴BE⊥PB. .∠ABP是二面角ABE-P的平面角， 在Rt△PAB中，AB=1,PA=√5，tan∠ABP=√5， .∠ABP=60°. .二面角ABEP的大小是60. 期末质量检测 (B卷) 1.B[:年=2+i.2=1+i0(2+i)=1+3i .之=1-3i.] 2.B[a/b-是=受∴m=-46=(-2 4),.2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).] ·2 必修第二册 3.C[因为V三棱维0-ABC=V三赖维C-O4B,所以三棱锥 O一ABC体积的最大值即三棱锥C一OAB体积的最 大值，所以当C到平面OAB的距离最大，即CO⊥平 面OAB时，体积最大.设球的半径为r,则 V三我0-c=V:我c-0ma=2=36,所以r=6 则球O的表面积S=4πr2=144元.] 4.A[解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可 分为：①甲预报准确，乙预报不准确：②甲预报不准 确，乙预报准确：③甲预报准确，乙预报准确.这三个 事件彼此互斥，故事件的概率为0.8×(1一0.75)+(1 -0.8)×0.75+0.8×0.75=0.95. 解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对 立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准 确”，故事件的概率为1一(1一0.8)(1一0.75) =0.95. 5.D[将正三棱柱ABC-A1BC1补为四棱柱ABCD A1B1C1D1,连接CD,BD,则C1D∥B1A,∠BC1D为 所求角或其补角.设|BB=√2，则|BC=CD=2, ∠BCD=120°，BD|=25,又因为|BC1|=C1D= 6,所以∠BCD=2.] 6.C[将c2=a2+b2-2 abcos C与(a+b)2-c2=4联 1 立，解得ab=4,则S△Anc=2 absin C=5.] 7.B.(a十b)·(a-b)=0,∴.a2-b2=0,∴.a2=b2,则 |a=|b,不能得到a=b或a=-b,充分性不成立： 若a=b或a=-b,则(a十b)·(a-b)=0成立，必要 性成立.所以“(a十b)·(a-b)=0”是“a=一b或a= b”的必要不充分条件. 8A[周为P(A)=子，P(B)=是故P(A)=, PB)品因为AB与AB为豆乐字件，放P(AB: AB)=0,所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P (-P(AB)+P(A)-P(AB)2P(AB) =员故PAB)=言故PM)=PB》=PCAB》 贵3名] 9.ABCD[向量不能比较大小，A错误；由于零向量与 任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C,若b为零向量，a与c可能不是共线向量，故C 错误：对于D,当a=0时，日无意义，故D错误.] 10.BD[对于A,由题意可得AA1= √+(2)+(2会)=2故A错误：对于B. 梯形ADD,A的商效+（写）-9。 所以梯彩ADDA1的西积为2告×号-35，帮形 2 2 ABBA1的高为12+(2)°=E。 所以梯形ABBA1的面积为1十2X2=3巨， 2 2