第10章 概率 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（人教A版）

数 新高考 第十章 概率 () 学 同步单元双测卷 A卷·基础达标卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.下列事件中，随机事件的个数是 ( ①过马路时，恰好遇到红灯；②短路运动员1s跑完100m;③任意三条线段，组成三角形；④若x∈ R,则x2≥0. A.1 B.2 C.3 D.4 2.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是 A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” 如 C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 3.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是 1 A.6 c n号 识 4两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为号和是，两个零件是否加工为一等品 相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A B. 5 c D.6 5.在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中 随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是 ( 1 A.0 3 b. 25 C D.4 6.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为 ，都是自子的概率是最则 从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 ( A月 R号 7 C.35 D.1 7.一批型号相同的产品，有2件次品，5件正品，每次抽一件测试，将2件次品全部区分出后停止，假 定抽后不放回，则第5次测试后停止的概率是 期 A品 10 C. D 20 2 ☒ 8.已知甲、乙两人分别位于图中的M、N两点，每隔1分钟，甲、乙两人分别向东、 北 南、西、北四个方向中的一个方向行走1格，且甲向东、向西行走的概率都是 4 向北行走的概率是了，乙向四个方向行走的概率是相等的，则两人经过1分钟 相遇的概率为 7 A.48 D.24 数学试题第十章A卷第1页（共4页） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.今天北京降雨的概率是80%，上海降雨的概率是20%，下列说法正确的是 () A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B.上海今天可能降雨，而北京可能不降雨 C.北京和上海今天都可能不降雨 D.北京今天降雨的可能性比上海大 10.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是 ( A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 11.下列说法正确的是 () A.若事件A与B互斥，则AUB是必然事件 B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分 别任取一本进行阅读，设事件E=“甲取到《红楼梦》”，事件F=“乙取到《红楼梦》”，则E与F 是互斥但不对立事件 C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A=“向上的点数不大于5”，事件B=“向上的点数为 质数”，则B二A D.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上.） 12.在用随机（整数）模拟求“有4个男生和5个女生，从中取4个，选出2个男生2个女生”的概率时， 可让计算机产生1~9的随机整数，并用1~4代表男生，用5~9代表女生，因为是选出4个，所 以每4个随机数作为一组，若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是 13.某天上午，李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲 闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率 是 14.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品的概率是号，乙 机床加工的零件是一等品的概率为氵，若每台机床各自加工1个零件，恰好有2个零件是一等品 的概率是号则丙机床加工的零件是一等品的概率是 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分)由经验得知，在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书时， 等候付款的人数及概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 求：(1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？ (2)至多有1人排队等候付款的概率是多少？ 数学试题第十章A卷第2页（共4页） 16.(本小题满分15分)某河流上的一座水力发电站，每年6月份的发电量y(单位：万千瓦时)与该河 上游在6月份的降雨量x(单位：mm)有关.据统计，当x=70时，y=460;x每增加10，y增加5. 已知近20年x的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110， 160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近20年6月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 0.05 0.2 0.1 (2)将频率视为概率，试估计今年6月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万 千瓦时的概率. 17.(本小题满分15分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现 从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表： 3 4 a 0.2 0.45 b (1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a,b,c的 值； (2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记 为y1,y2,现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取2件（假定每件日用品被取出的可能性相 同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率. 数学试题第十章A卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)西安世园会志愿者招聘正如火如茶进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试， 已知甲能被录用的概率为号，甲、乙两人都不能被录用的概车为品，乙，丙两人都能被录用的概车 为品 (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率. 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=ax2一bx一1，集合P={1,2,3,4},Q={2,4,6,8},若分别从 集合P,Q中随机抽取一个数a和b,构成数对(a,b). (1)记事件A为“函数f(x)的单调递增区间为[1，+∞)”，求事件A的概率； (2)记事件B为“方程f(x)|=2有4个根”，求事件B的概率. 数学试题第十章A卷第4页（共4页） 第十章 概率A卷 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）☐ 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 错误填涂 香 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 样 × 涂写要工整、清晰。 3按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 )0力 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题(1一8小题，每小题5分，9一11小题，每小题6分，共58分) 请在各 1A®g回 4A®回回 7AB回回 10A®CD 目的答题区 2A⑧g回 5A®g回 8A®@回 11ABg回 3 A BCD 6A®CD 9AEg回 内作答 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 超 12 框的答案无 14 解答题：本题共5小题，共77分 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第十章A卷第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答 ,超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第十章A卷第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为@2 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第十章A卷第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第十章A卷第4页（共4页）参考 平均数中位数 命中9环以上（含9环） 甲 7 1 乙 7 7.5 3 (2)3=0[5-7)2+(6-7)2X2+(7-7)2×4+(8 -7)2×2+(9-7)2]=1.22=0[2-7)2+(4- 7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2 ×2+(10-7)2]=5.4. ①甲、乙的平均数相同，均为7，但<昆，说明甲偏 离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大， ②甲、乙的平均数相同，而乙的中位数比甲大，说明乙 射靶环数的优秀次数比甲多， ③甲、乙的平均数相同，而乙命中9环以上（含9环）的 次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好. ④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩 在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有 潜力. 第十章概率 (A卷) 1.B[①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然 事件.] 2.A[由互斥事件的定义知，“甲站在排头”与“乙站在 排头”不能同时发生，是互斥事件.] 3.B[给三人打电话的不同顺序的样本空间为2= {(甲，乙，丙)，（甲，丙，乙）（乙，甲，丙）（乙，丙，甲） (丙，甲，乙)（丙，乙，甲）》有6种可能，其中第一个给 甲打电6的可能有2种，载所求概率为P-号=了] 4.B[设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A,因事 件相王独之，所以PA=号×+号×是=品] 5.C[从中随机取出2个小球的样本空间2={(1,2)， (1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3, 5),(4,5)},共有10个样本点，取出小球标注的数字 之差的绝对值为2或4的样本点有(1,3)，(2,4)，(3， 5),(1,5),共有4个，所以取出小球标注的数字之差 的绝时位为2成4的凝率是品忌] 6.C[设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取 出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同 一色”为事件C,则C=AUB,且事件A与B互斥，所 以PC=PA)+PB)=7+号-品，即任毫取出2 粒恰好是同一色的概率为] 35 +5×4×3×2×1=5.] 7 x6X5X4X3=元] 8.B[因为甲向东、向西行走的概率都是寻，向北行走 的概率是子 。1 答案 所以甲向南行走的疑率为】一子}日一行 由题图可知，当甲向南行走且乙向东行走，或者当甲 向西行走且乙向北行走时满足题意. 甲向南行走且乙的东行走的概率为日×}- 甲向西行走里乙向北行走的根率为}×} 所以两人短建1分钟相强的提奉为7十。一高] 9.BCD[北京降雨的概率大于上海降雨的概率，说明 北京降雨的可能性比上海大，两个城市可能都降雨， 但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，] 10.AB[“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A正 确：“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同 时发生，B正确：“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑 球”不可能同时发生，C不正确；“至少有一个黑球”与 “都是红球”不可能同时发生，D不正确.] 11.BCD[对于A,事件A与B互斥时，AUB不一定是 必然事件，故A不正确. 对于B,事件E与F不会同时发生，所以E与F是互 斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取得红楼 梦”“丁取得红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故 E与F是互斥但不对立事件，B正确. 对于C,事件A={1,2,3,4,5},事件B={2,3,5},所 以B包含于A,C正确. 对于D,样本空间2={正品，次品》，含有2个样本 点，故D正确.] 12.解析：1~4代表男生，5~9代表女生，4678表示一 男三女 答案：选出的4个人中，只有1个男生 13.解析：至少有一个准时响的概率为1一(1一0.90)(1 -0.80)=1-0.10×0.20=0.98. 答案：0.98 14.解析：设事件A表示甲机床加工的零件是一等品，事 件B表示乙机床加工的零件是一等品，事件C表示 丙机床加工的零件是一等品，事件D表示每台机床 各自加工1个零件，恰好有2个零件是一等品，则 PA)=子，PCB)=子，P(D)=台由概率的加法公 式，P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC), 由概率的乘法公式可得， P(A)×P(B)×[1-P(C)]+P(A)×[1-P(B)]X PC+[1-P(A]XP(B)XP(O=号，即号× X1-PC]+号×士×P(C+3××P0 号，解得P(C)=号 答案：号 15.解：(1)设“5人及以上排队等候付款”为事件A, 由于所有概率的和为1，则P(A)=1-(0.1十0.16+ 0.3十0.3十0.1)=0.04，即5人及以上排队等候付款 的概率是0.04. (2)设“至多有1人排队”为事件C,“没有人排队”为 事件D,“恰有1人排队”为事件E,则事件D与E互 数学A版· 斥，C=D+E,P(D)=0.1,P(E)=0.16, 所以P(C)=P(D)+P(E)=0.1+0.16=0.26,即至 多有1人排队等候付款的概率是0.26. 16.解：(1)在所给数据中，降雨量为110mm的有3个， 为160mm的有7个，为200mm的有3个.故近20 年6月份降雨量频率分布表为： 降雨量70110140160200220 频率0.050.150.20.350.150.1 (2)由已知可得y=0.5x+425, 记“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时” 为事件A, 则P(A)=P(y<490或y>530)=P(x<130或x> 210) =P(x=70)+P(x=110)+P(x=220)=0.05+ 0.15+0.1=0.3. 因此估计今年6月份该水力发电站的发电量低于 490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为0.3. 17.解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的 恰有3件， 所以6=务=0.15. 等饭系鼓为5的怡有2件，所以c=品=0,1 从而a=1-0.2-0.45-0.1-0.15=0.1. 所以a=0.1,b=0.15,c=0.1. (2)从x1,x2,x3y1y2这5件日用品中任取2件，其 样本空间2={(x1,x2),(x1,x3),（x1y1),(x1, y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2y2),(c3y1),(x3,y2), (y1y2)},共10个样本点. 设事件A表示“从x1x2,x3y1y2这5件日用品中 任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的样 本室间2={(x1x2),(x1x3),(x2x3),（y1,y2)}, 共4个样本点.故所求的概率P(A)=0=04 18.解：(1)设乙、丙能被录用的概率分别为x,y, 剥且1一-子X1-=立且x=子解得x=子 4 y日1乙，丙能被录用的短率分别为是，日。 (2)设甲、乙、丙能被录用的事件分别为A、B、C, 则PA)=子PB)=子，PO= 且A、B、C相互独立，三人至少有两人能被录用包括 ABC、ABC、ABC、ABC四种彼此互斥的情况， 则其概率为P(ABC+ABC+ABC+ABC)= P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =号×是×日+日××+号××+号× 19.解：(1)由题知a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,6,8}， 所以，数对(a,b)的可能取值为(1,2)，(1,4)，(1,6)， (1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3 6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)共16对. 若函数f(x)的单调递增区间为[1，十o∞)，则函数 代x)的对称轴为1=品-=1，即6=2a 必修第二册 所以，满足条件的基本事件有：(1,2)，(2,4)，(3,6)， (4,8),共4对， 所以，事件A的概率为P(A)=是-子 (2)因为a>0,二次函数开口向上，所以，方程f(x) =2有4个根，即为f(x)=2和f(x)=一2各有2个 根，所以，二次函数f(x)=a.x2一bx一1的最小值小 于-2. 所以二4Q一b<一2，即b2>4a,满足条件的本事件 4a 有：(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,4)， (3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共11对，所以，事件B 的机率P(B)=品 第十章概率 (B卷) 1.C[①④正确.] 2.D[“A十B”发生指A,B中至少有一个发生，它的对 立事件为A,B都不发生，即A,B同时发生.故A,B同 时发生的概率为1一0.6=0.4.门 3.D[小球落入B袋中的概率为P1=(日××名 X2=子，小球落入A袋中的概率为P=1一P 4.C[从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，有10种方 法，能成为勾殿数的只有34,5一组P-] 5.A[(1)中，出现“两个正面”“两个反面”的概率都是 子，出现“一正一反”的概率是了，因此不是学可能的： (2)中，每种颜色的球的个数不同，因此被摸到的可能 性不同：(3)中，小于0的数有4个，不小于0的数有3 个，显然取到的数小于0的可能性更大：(4)中，每个 男同学当选为代表的机会是}，每个女同学当选为代 表的机会是子，显然可能性不同：(5)中，抽签无论先 抽还是后抽，中奖的机会相等，综上，选A.] 6.D[设甲及格为事件A,乙及格为事件B,丙及格为 事件C,则P(=号，P(B)=号，P(C=号∴P(M) =弓，P(B)=号，P(C)=子则三人都不及格的概率 为PABC)=P不)P(B)P(C=号×号×号=品 :三人中至少有一人及格的概库为1-P0)=器] 7.C[掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意 PA=号=言，PB)=青=景，所以P(B)=1 P(B)=1一号-了，周为B泰示~出现5点或6点”的 事件，因此事件A与B互斥，从而P(AUB)=P(A)十 PB=+日是选C]