6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理的应用举例-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（人教A版）

第六章 平面向量及其应用 课时作业 数课时 第四课时 余弦定理、正弦定理的应用举例 学作业 纠错空间 基础过关 》 A.15√6m B.20√6m 1.某人向正东方向走了xkm后，向右转 C.25√6m D.30√6m 150°，然后朝新方向走3km,结果他恰好 7.作用在同一点的三个力F,F2,F平 离出发地√3km,那么x的值为 ( 衡，已知F,=30N,F2=50N,F1与F。 A.3 B.2√3 之间的夹角是60°，则F3与F1之间的 夹角的正弦值为 C.3或2√3 D.5 8.一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到 2.若水平面上点B在点A南偏东30°方向 只小虫，然后向右转105°，爬行10cm 上，则在点A处测得点B的方位角是 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135° ( 爬行回它的出发点，那么x A.60°B.120°C.150°D.210 9.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼 3.某观察站C与两灯塔A,B的距离分别 顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的 为300米和500米，测得灯塔A在观察 俯角为30°，则甲楼的高是 米， 站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观 乙楼的高是 米 察站C的正西方向上，则两灯塔A,B 10.某广场有一块不规 间的距离为 ( 则的绿地如图所示， A.500米 B.600米 城建部门欲在该地 方法总结 C.700米 D.800米 B 上建造一个底座为 4.有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°， 三角形的环保标志，小李、小王设计的 在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加 底座形状分别为△ABC,△ABD,经 长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则 测量AD=BD=7米，BC=5米，AC 坡底要延长的长度（单位：m)是 ( =8米，∠C=∠D.求AB的长度， A.5B.10C.10√2D.105 5.(多选题)某人向正东方向走了xkm后 向右转了150°，然后沿新方向走了3 km,结果离出发点恰好√3km,则x的 值可以为 ( ) A.√3 B.23 C.2 D.3 6.如图所示，在地面上共 线的三点A,B,C处测 得一建筑物的仰角分 30°0 别为30°，45°，60°，且 609 45ò AB=BC=60m,则建 筑物的高度为 ·281· 世数学 必修第二册 11.空中有一气球D,在它正西方向的地 13.如图所示，一辆汽 北 面上有一点A,在此处测得气球的仰 车从A市出发沿海 300 间 500 角为45°，同时在气球的南偏东60°方 岸一条直公路以 B 纠错空间 向的地面上有一点B,测得气球的仰 100km/h的速度向东匀速行驶，汽车 角为30°，两观察点A,B相距266m, 开动时，在A市南偏东方向距A市 计算气球的高度， 500km且与海岸距离为300km的海 上B处有一快艇与汽车同时出发，要 把一件材料交送给这辆汽车的司机， (1)快艇至少以多大的速度行驶才能 把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶 方向与AB所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km,快 艇应如何行驶才能尽快把材料交到司 机手中，最快需要多长时间？ 方法总结 能力提升 12.《九章算术》是中国 邪 古代一部数学专 西畔 著，其中的“邪田” 东胖 为直角梯形，上、下 正 底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边 称为“邪”.如图所示，邪长为4√3，东 畔长为2√7，在A处测得C,D两点处 的俯角分别为49°和19°，则正广长约 为（注：sin41°≈0.66） A.6.6 B.3.3 C.4 D.7 ·282·参考答案 9.解析：本小题考壶正孩定理、余孩定理，由A b 得sinB=名sinA=2, 7 由a2=b+c2-2 bccos A,得c2-2c-3=0, 解得c=3(舍负). 答案：耳3 10.解析：(1)根据正弦定理，得2bc0sA=ccos A+ac0sC→ 2cos Asin B=cos Asin C+sin Acos C=sin (A+C)- sin B.sinBco180 .A=60°. (2)由余弦定理，得7=a=b+c2-2 bccos60°=bB十c2 -bc=(b+c)2-3bc, 把b十c=4代入，得bc=3,故bc=3. 11.解：由余弦定理c2=a2十b-2 abeos C,得a十b=c2十 2 abcos C,由a2+b-mc2=0,得c2+2 abcos C=mc2,即 2 abcos C=(m-1)c2.结合正弦定理，得2 sin Asin B C-(m-1)咖C,又由器A+需骨-得 ABA-品指-名中如A sin Asin B sin Bcos C-=sin2C,得m-1=2→m=3. 12.D[因为1gb十lg。=lgsin A=--lgE,所以lg合 gmA=g竖所以〔=，且如A=9周为A为 锐角，所以A=于， 所以a=b+c2-2bcc0sA=6+26°-26×V2b×2 2 6,所以a=b,所以B=于，所以C=受，故△ABC为等 腰直角三角形.故选D.] 13.解：(1)由已知及正弦定理得：2cosC(sin Acos B十 sin Bcos A)=sinC,即2 cos Csin(A+B)=sinC.故 2 sin Ceos C=sinC.可得cosC-子，所以C=子 (②由已加，立s如C=8.xC-音，所以h=6.由 已知及余弦定理得，a2+b-2 abcos C=7.故a2十b= 13,从而(a十b)=25.所以△ABC的周长为5十√7. 第四课时余弦定理、正弦定理的应用举例 1.C[本题考查余弦定理的应用.由题意得（√）2=32十 x2-2×3.xcos30°，解得x=√5或2√5，故选C.] ·3 课时作业乡 2.C[方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向 的水平角.如图所示，点B的方位角是180°-30°=150°. 故选C.] ↑北 A ·东 B 3.C[由题意，在△ABC中，AC=300米，BC=500米， ∠ACB=120°.利用余弦定理可得AB=3002+500-2 ×300×500×c0s120°，所以AB=700米，故选C.] 4.C[如图，设将坡底加长到C时，倾斜角为30°，在 △ABC中，AB=10m,∠C=30°，∠BAC=75°-30° =45°. 75 B 由正弦定理得 BC sin∠BAC 、.即BC= ABsin∠BAC10XV2 -=10√2(m).] sin C 2 5.AB[如图所示，在△ABC中，AB A< B 30Z =x,BC=3,AC=V5,∠ABC=30°，3 150 3 由余弦定理得，AC=AB十BC2- 2AB·BC·cos∠ABC. 即(W5)2=x2+32-2x·3·c0s30 x2-3√5x十6=0. 解得x=2或x=5.] 6.D[设建筑物的高度为h,由题图知，PA=2h,PB=√2h, PC-23h 3 ∴.在△PBA和△PBC中，分别由余孩定理，得 cos∠PBA=60+2h-4,0 2×60X√2h cos∠PBC 60+2-寺4 2X60XV2%.@ :∠PBA+∠PBC=180°， ∴.cos∠PBA+cos∠PBC=0.③ 由①②③，解得h=30√6或h=-30√6（舍去）， 即建筑物的高度为30√6m.] 世数学 7.解析：本题以物理中的力的分解知识为背景，主要考查 正弦定理及余弦定理.由题意，知F应和F,F2的合力 F平衡.设F3与F1之间的夹角为日，作图（如图）， F 0260° F 可知当三力平衡时，由余弦定理得F= √30+50-2×30×50×c0s(180°-60)=70N,再由 50 70 正弦定理 sin(180°-D=sin(180°-60)，即sin0= 50sim120°_5√5 70 14 管案 8.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再 爬行到B点， A0105 B 1350 易知在△AOB中，AB=10cm,∠OAB=75°，∠ABO= 45°，则∠AOB=60°， 由正弦定理知，x=AB·sin∠AB0_10Xsin45° sin∠AOB sin60° _105(cm). 3 答案：0。 m 9.解析：甲楼的高为20tan60°=20×√3=20√3（米）：乙楼 的高为205-20am30=205-20×9号-9米) 3 答案：203 号万 10.解析：在△ABC中，由余弦定理得： Cos C-ACBC AB8+5AB 2AC·BC 2X8X5 在△ABD中，由余弦定理得： Cos D-AD+BD-AB7+7-AB 2AD·BD 2×7×7 由∠C=∠D,得cosC=cosD, 解得AB=7,所以AB的长度为7米. ·35 必修第二册 11.解：如图，设CD=x, ,北 西A45→东 ×6030 南1 B 在Rt△ACD中，∠DAC=45°，所以AC=CD=x. 在Rt△BCD中，∠CBD=30°，所以CB= CD tan 30 =√3x. 在△ABC中，∠ACB=90°十60°=150°， 由余弦定理得AB=AC十BC-2·AC·BC· cos∠ACB, 所以266=+z)-2x·（号)所以 x=38√7(m).所以气球的高度为38√7m 12.A[由题意知：∠DAC=49°-19°=30°， 在△ACD中，由余弦定理可得：DC=AC2十AD一 2AC·AD·cos30°， 代入得：28=AC2+48-12AC,即(AC-2)(AC-10) =0, 因为∠ADC>90°，故AC=10, 故BC=ACcos49°=10sin41°=6.6.] 13.解：如图所示，设快艇以vkm/h的速度从B处出发，沿 BC方向，t小时后与汽车在C处相遇. 1北 C 一东 6 (1)在△ABC中，AB=500,AC=100t,BC=ut,BD为 AC边上的高，BD=300. 设∠BAC=a,则sna=子，osa=台 3 由余弦定理得，BC2=AC+AB-2AB·ACcos a,即 if=(10002+500-2X50X10t·号， 整理得，w= 25000 t 2-80000+10000=250000 t [片房·+（结）]1001000X16 25 =2500(-)+360,. 当 t =若即1=2华时=360,0m=60. 4 4 即快艇至少以60km/小的速度行驶才能把稿件送到司 机手中， 8 参考答案 (2)当v=60km/h时，在△ABC中， AB=50,AC=10×空=625，BC=60×9-=375, 由余孩定理cos∠ABC=AB+BCAC=0, 2AB·BC .∠ABC=90°，故快艇应以垂直AB的方向向北偏东 行驶 (3)如图所示，设快艇以75km/h的速度沿BE行驶，t 小时后与汽车在E处相遇」 北 500 在△ABE中，AB=500,AE=100t,BE=75t,cos∠BAE 由余弦定理(75t)2=5002+(100t)2-2×500×100tX 号，整见得1=4或=9（合 当t=4时，AE=400,BE=300,AB=AE2+BE2, 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到 司机手中，最快需要4h. 第七章 复数 7.1复数的概念 7.1.1数系的扩充和复数的概念 1.B[根据定义知实部为1，虚部为一2.故选B.] 2.C[根据复数、纯虚数的 定义以及它们之间的关 复数集I 系进行判断.依题意，I, 纯虚数集 实数集 M R R,M三个集合之间的关 系如图所示 所以应有：MURI,(CM)UR=CM,M∩(C,R) ≠⑦， 故A,B,D三项均错，只有C项正确.] 3.D[根据复数相等的充要条件得 x+1=0, 解方程组即 -y=0, 得x=-1,y=0.故选D.] 4.C[由题得a十(2a-1)i=b-2+bi, 所以∫=62 解得∫=3 ,所以A∩B={3十5i.] (2a-1=b （b=5 5.ABCD[A中，当这两个复数都是实数时，可以比较大 小.B中，若2=一1，满足2∈R,而之=士i,不满足之∈ ·3 课时作业乡 R.C中，若a=0,则ai不是纯虚数.D中，由纯虚数集、虚 数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集 与实数集的并集.] 6.ABC[在A中a=0,b≠0时满足，故A错误；在B中将 虚数的平方与实数的平方等同，如若之1=1，之2=i,则 十=1一1=0，但1卡之2≠0，故B错误；在C中忽视0 ·i=0,故C错误；在D中复数之为实数的充要条件是a 十a=0,即a=-a,得a≤0，故D正确.] 7.解析：②为实数；③8=一8为实数；④i·sinπ=0·i=0 为实数，其余为虚数 答案：②③④ 8.解析：方程可化为 2x2-3x-2=0, x2-5x十6=0. 解得x=2. 答案：2 9.解析：设a是方程的实根，则a2十(1一2i)a十(3m-i)= 0,即(a十a十3m)-(2a十1)i=0十0i, 所以a2+a十3m=0且2a十1=0，所以a= 1 2 (←是）+（号）十3m=0.所以m= 1 答案：2 1 1 m一3m=0, [m=0或m=3, 10.解析：由题意，得{m2-4m十3=0，. m=3或m=1, m2<10, m<√10. ∴.当m=3时，原不等式成立。 11.解析：(1)因为复数之=lg(m-2m-3)十(m十3m十2)i是 纯虚数， fm2-2m-3>0, 所以1g(m2-2m-3)=0,解得m=1士√5， m2十3m十2≠0. 所以当m=1士√5时，之是纯虚数. (2)因为复数x=1g(m-2m-3)十(m2十3m十2)i是 实数， （m2-2m-3>0, 所以 解得m=-2,所以当m=一2 （m2+3m十2=0， 时，之是实数。 12.D[由=得m=2c00, 4-m2=λ+3sin9, 消去m,得A=4sin9-3sin9=4(sin9-名)P-是 16 由于-1≤sm01,故-是<A<1.] 59