第6章 平面向量及其应用 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（人教A版）

数 新高考 第六章 平面向量及其应用 ( 学 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+b与a-2b平行，则m等于 整 A.-2 B.2 c D.-1 2.已知平面内M,N,P三点满足M-PV+PM=0,则下列说法正确的是 A.M,N,P是一个三角形的三个顶点 B.M,N,P是一条直线上的三个点 如 C.M,N,P是平面内的任意三个点 D.以上都不对 3.向量BA=(4,一3)，向量BC=(2,一4)，则△ABC的形状为 A.等腰非直角三角形 B.等边三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 4.△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为了，则其外接圆的半径为 A.9② C.92 2 ®￥9 8 D.9√2 5.关于平面向量a,b,c,有下列四个命题： ①若a∥b,a≠0，则存在A∈R,使得b=a;②若a·b=0,则a=0或b=0;③存在不全为零的实数 入，u使得c=λa+b;④若a·b=a·c,则a⊥(b一c). 其中正确的命题是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 6.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a=1,a十2b=2,且(b-2a)⊥b,则|b= A.2 B号 C ·2 D.1 期 7.P是△ABC内的一点，AP-子(A店+A),则△ABC的面积与△ABP的面积之比为 A号 B.2 C.3 D.6 8.如图，扇形AOB所在圆的圆心角大小为，P是扇形内部（包括边界）任意一点， 若OP=xOA十yOB,那么2(x+y)的最大值是 A.4 B.√3 C.2 D.2√3 数学试题第六章B卷第1页（共4页） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.如图所示，四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立 的是 A.IABI=IEFI B.AB与FIH共线 C.BD与EH共线 D.CD-FG 10.已知向量a=(1,0),b=(cos0,sin0),0∈[- ,],则a+b1的值可以是 A.√2 B.5 C.2 D.2√2 1.在△ABC巾，sinC+sin(A-B)=3sn2B,若C-吾，则号等于 A司 R台 C.2 D.3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上.） 12.已知向量a=(2,一1)，b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m= 13.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边.若a=1,b=√3，A+C=2B,则sinC 14.(2024·天津高考卷)在边长为1的正方形ABCD巾，点E为线段CD的三等分点，CE=号DE, BE=ABA十4BC,则入十u= ;F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF·DG的最小 值为 .(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） I.(本小题满分13分)在梯形ABCD中，AB/CD.M,V分别是DA,BC的中点，且S=k≠I. 设AD=e1,AB=e2,选择基底{e1,e2},试写出向量DC,BC,MN在此基底下的分解式. 数学试题第六章B卷第2页（共4页） 16.(本小题满分15分)已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC=120°， 且A店：AC-岁 (1)求△ABC的面积； (2)若AB=5,求AD的长. 17.(本小题满分15分)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(一1,2)，c=(4,1). (1)求满足a=mb+c的实数m,n; (2)若(a+kc)∥(2b一a),求实数k; (3)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c=1,求向量d. 数学试题第六章B卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中，点A(一号0，B(号，0锐角。的终边与单位圆 O交于点P )当AP.BP=一时，求a的值； (2)在x轴上是否存在定点M,使得AP=子MP恒成立？若存在，求出点M的横坐标：若不 存在，请说明理由. 19.(本小题满分17分)十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一 个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最 小”.它的答案是：“当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与 三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形 最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B, 烯 C的对边，且器分-n [C-若)，点P为△ABC的费马点. (1)求角B; (2)若b2-(a-c)2=6,求PA·PB+PB·PC+PA·PC的值； (3)若b=1,求|PA|+|PC一IPB的取值范围， 数学试题第六章B卷第4页（共4页） 第六章 平面向量及其应用B卷 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）☐ 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 样 错误填涂 × 涂写要工整、清晰。 3按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 )0力 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题(1一8小题，每小题5分，9一11小题，每小题6分，共58分) 请在各 1A®g回 4A®回回 7AB回回 10A⑧@回 目的答题区 2A⑧g回 5A®g回 8A®@回 11ABCD 3 A BCD 6A®CD 9ABCD 内作答 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 填空题（共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分） 超 12 13. 框的答案无 14 解答题：本题共5小题，共77分 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章B卷第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) B 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答 ,超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章B卷第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为@2 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章B卷第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章B卷第4页（共4页）数学A版· 16.解：1)因为c0sB=三>0,0<B<,所以sinB V一csB=青由三孩究理得A-品B所以 b nA=号smB=号 1 4 (2)因为S△Anc=acsin B=5c=4,所以c=5. 由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos B=22+52-2× 2X5×号=17，所以6=或6=-V(含去) 所以b=√7. 17.解：由题意，设正方形的边长 为1，建立平面直角坐标系， 如图，则B(1,0),E(-1,1), ∴.AB=(1,0),AE=(-1,1). :AP=AAB+HAE=(入 h,u),又：点P为CD的中 点…产=（合小 3 5 21 (=1 （4=1, 18.解：(1)AB=(3,5),AC=(-1,1),求两条对角线的 长即求|AB+AC与|AB-AC的大小.由AB+AC =(2,6),得|AB+AC=2√10， 由AB-AC=(4,4),得|AB-AC|=4√2. (2)OC=(-2,-1),,(AB-tOC)·OC=AB·OC -t0C2,易求AB.OC=-11,OC2=5,由(AB-t 0d).0c-0得1=号 19.解析：(1)由sinA+√5cosA=0得tanA=-√5. 由A∈(0，x),得A=2 3 由余弦定理a2=b2+c2-2bc·cosA,a=2√7，b=2, c0sA=一号，代入并整理得(c十1D2=25,故c=4. (2)在△ABC中，已知AC=2,BC=2√7，AB=4,则 由余孩定理的推论得c0sC-2+2C_2 2ab 7 因为AC⊥AD,所以△ACD为直角三角形，则AC= CD·cosC,得CD=√7. 第六章平面向量及其应用 (B卷) 1.D[ma+b=(2m,3m)+(-1,2)=(2m-1,3m+ 2),a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),则-2m+1= 12m+8,m=-2] 2.C[因为MN-PV+PM=MN+NP+PM=MP+ PM=0,所以MN一PN+PM=0对任意情况是恒成 立的.故M,N,P是平面内的任意三个点.] 3.C[BA=(4,-3),BC=(2,-4),.AC=BC BA=(-2,-1),.CA·CB=(2,1)·(-2,4)=0, 必修第二册 ∠C=90°，且|CA|=√5,1CB1=25,1CA|≠ CB引.∴.△ABC是直角非等腰三角形.] 4C[设另一条边为，则：2=2+32-2×2X3×分 1 ∴x2=9,∴.x=3.设c0s0= ，则in0=22.2R 3 3=3=92,R=9E] sin 0 22 4 8 3 5.B[由向量共线定理知①正确；若a·b=0,则a=0 或b=0或a⊥b,所以②错误：在a,b能够作为基底 时，对平面上任意向量，存在实数入，以使得c=a十 b,所以③错误；若a·b=a·c,则a·(b-c)=0,又b 一c≠0所以a⊥(b一c),所以④正确，即正确命题序号 是①④，所以B选项正确.门 6.B[将条件|a+2b|=2平方得1+4a·b+4b2=4, 由(b-2a)1b得b2-2a·b=0,所以62=7，b .C[设△ABC边BC的中点为D,则SA -器亦=专+心)-号， S△ABP 号求=是A.小会得 .S△ABC=3.] 8.A[以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如图 所示的平面直角坐标系，设扇形 AOB的半径为r,则A(r,0),BB< (台，)设点cxw 0.nin P 0)(0a<r,00<）因为 ?r=acos 0 ,所以， 2yr=asin 0 2a 2x-y= rcos 0 2a sin 0 ,所以，2(x+y)=(2x-y)+3y=2 3r ws9+2应m0=in(叶音）因为0<号则 r 吾≤9叶吾<警，当9+吾=受且a=r时，2x+y)取 6 得最大值4.] 9.ABD[由向量相等及共线的概念，结合图形可知C 不一定正确.] 10.ABC [la+bl=(1+cos 0)2+sin20= V2+2cos反因为9c[吾·吾]所以case[0.1. 所以a十b|∈[√2,2].结合选项可知选ABC.] 1l.AD[由sinC+sin(A-B)=3sin2B,可得sin(A+ B)+sin(A-B)=6 sin Bcos B,整理得sin Acos B= 参考： 3 sin Bcos B,故cosB=0或sinA=3sinB,当cosB =0时，又B∈(0，)，所以B=受，又C=号，所以A =若，号-出含名·当nA=nB时号 sin A=3.] sin B 12.解析：.a=(2,-1),b=(-1,m),.a十b=(1,m- 1)..(a+b)∥c,c=(-1,2),.2-(-1)·(m-1) =0.∴.m=-1. 答案：-1 13.解析：在△ABC中，A+B+C=π，A+C= 2B.B=子 由正孩定理知，mA=0B=子又a<么A b 吾C=mc=1 答案：1 14.解析：因为CE=DE,即C定=专BA,则B=BC+ =号B+B元，可得=子以=1，所以+=号： 由题意可知：BC=|BA=1,BA.BC=0,因为F 为线段BE上的动点，设B示=kB正=子kBA十 kBC,k∈[0,1]，则AF=AB+BF=AB+kBE= (号-1)Bi+kBC,又因为G为AF中点，则DG Di+花=-+萨=是(3-1)B+ (合-1)C,可得A京.D [(分-1)Ei+B]: [2(宁-)）BA+(合-) =(合-)+（合小号(-）°-高 又因为k∈[0,1]，可知：当k=1时，AF·DG取到最 小值一8 答案： 5 -18 15.解：如图所示，，AB=e2,且 D D AB-k,DC=k AB ke2. M R 又AB+BC+CD+DA=0, ..BC=-AB-CD-DA--AB+DC+AD=-e2 +ke2+e1=e1+(k-1)e2.''MN+NB+BA+AM =0,..MN=-NB-BA-AM=BN+AB-AM= 2d+e,合i=合[e+-1ve1+e合e =k+1 2e2. 16.解：()：A店.AC=-号，A店1·AC· cos∠BAC=- AB.AC=号， ·3 答案 即A·=15S8c=2. sn∠BMC-合×15x9-159 4 (2)由AB=5得AC=3, 延长AD到E,使AD= DE,连接BE,CE. D ,BD=DC,.四边形 ABEC为平行四边形，. ∠ABE=60°，且BE=AC=3. 设AD=x,则AE=2x,在△ABE中，由余弦定理得： (2x)2=AB2+BE2-2AB·BEcos∠ABE=25+9 -15=19,解符x=里，即AD的长为四 21 17.解：(1).a=mb+c,.(3,2)=(-m+4n,2m+n), m=号 {… n=g· (2),(a+kc)∥(2b-a),文a+kc=(3+4k,2+k), 2b-a=(-5,2),∴.2(3+4k)+5(2+k)=0,即k= (3):d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c) ∥(a+b),d-cl=1,∴. 42-④)-2y1D=0解 (x-4)2+(y-1)2=1, x=4+ 5 x=4 5 得 或 (y=1+26 5 y=1-25 5 所以d=(4+.1+2=(45.12 18.解：(1)由题意知P(cosa,sina). =(ose+ime）,B=(os。-，sin） 3 .-(osa+)(os一）十sima=sa -cos a- +sima= 4 一cosa,因为AP·BP= 子，所以-c0sa=一子，即csa= 又a为锐角，所以a=子 (2)存在.设M(m,0.则A户2=(osa+2)十 对na=1+easa+子-ose+.Ml2=(ose m）+sina=1-2 mcosa+m2,因为AP=71M2 1,所以casa+号=子1-2 meosa十m),片以 (+受)sa中1-学-0对任意的e∈(0，受)量 1+罗=0 成立，所以 ,所以m=一2，即，点M的横坐 1-m2=0 4 标为-2. 数学A版· 1.解析：血(-晋）号nCmC .∴cosA=√5 cos Bsin C-cos Bcos C, .'cos[x-(B+C)]=3cos Bsin C-cos Bcos C, .'.-(cos Bcos C-sin Bsin C)=3cos Bsin C-cos Bcos C, 又sinC>0,.sinB=√3cosB, tanB=5,B∈(0，xB=子， (2):cosB=a2+c2-2-1 2ac 21 ∴.a2+c2-b2=ac, 又b2-(a-c)2=2-(a2+c2) +2ac=6,.ac=6, 设|PA|=x,|PB|=y,|PC :B=60°，三角形ABC的三个角均小于120°， ∴.根据题意可得∠APB=∠BPC=∠APC=120°， 又S△APB+S△BPC+S△APC=S△ANC, 2 .xy+yz+xz=ac=6,∴.PA·PB+PB·PC+PA ·花=w·（)+·()+· (7）2y+yg+e)=-3 (3)由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC, ?+·+1 +……9 21 xy十y之十x之=ac,由余弦定理可得b2=x2+2 2.xzc0s120°=x2+之2+xz,同理可得c2=x2+y2+ xy,a2=x2+y2+yx,相加可得a2十c2+b2=2x2+ 2y2+222+xy+yz+之x=2x2+2y2+2x2+ac,又a2 十c2-b2=ac,所以x2+y2+之2=1，由于B=60°， ∠APB=120°，∴.∠ABP+∠CBP=60°，∠ABP+ ∠BAP=6O°，所以∠BAP=∠CBP,又∠APB= ∠BPC=120°，故△ABP∽△BCP,所以=义→y2 =x,故x2+x十x2=1→(x十x)2-x2=1→x2 (十2-1≤+e2,且=x+,故 4 十≤√月，当且仅当=：时等号成立，又z叶>0 =1,所以1+≤√1PA1+PC-PB= 十之-y=x十之-√x2=x+之一√(x+)2-1,令x十 4 之=t,则1K1≤√3，所以|PA|+PC-PB=i -√2-1 t+√2 三，由于函数y=t,y=√平-1均 为1<1≤√厚上的单羽递增画数，故y-可 为1≤√停的单调地增西数，故y1中 (1w],进而PA|+|PC1-1PB=1 t+√-1 停 必修第二册 第七章复数 (A卷) 1.A[i(2-i)=2i-2=2i+1=1+2i.] 2.B i=i1-√3) 1+√5i(1+√5i)(1-√5i) -+] 3.C[因为=22-】D--1-.所以1 -1+i2 √2，之的实部为一1，虚部为-1，共轭复数为一1十i,因 此选C.] 4.C[因为(1十2ai)i=1-bi,所以-2a+i=1-bi,则a 5.C[由题知=(1+i)(之-1)，=1中i=1-i.] i 6.D[由复数模的定义可得4十3i=5,从而(3一4i)之 =5则写产岁型，故：的是布为 7.D[,x1=(-i)2=-1,之2=2十i,∴.PQ对应的复数 是之2-之1=2十i-(-1)=3十i.] 8.A[因为(1+i)b=a(i-1)+2i,所以b+bi=-a+(a +21所以么2所以名，国此所选方意的 两根应为士1，仅有x2一1=0符合要求.] 9.BC[对于A,,2可能是相等复数，故A错误：对 于B,若之1和2是共轭复数，则相加为实数，不会为 虚数，故B正确：对于C,由a十bi=a-bi得b=0,故C 正确，对于D,由题可知A(-1,2),B(1,-1),C(3, 2,建之学式{包3解将气长D婚洗] y=4, 10.AB[由之·=a2+(√3)2=a2+3=4,得a2=1,所 以a=±1.] 1.AD[对于命题N,由∈R,得∈，即∈ · R,∴之∈R,之∈R,故A为真命题；对于命题B,显 然2=一1∈R,但i在R,故B为假命题；对于命题C, 显然之1·321=3|之1|2∈R,但当之1≠0时，之1≠3之1， 故C为假命题：对于命题D,之∈R,则之∈R,D为真 命题.] 12.解析：原式=(2+i2.3)-[()2]1=(2-i) i1=2-i计i=2. 答案：2 13.解析：由题意，设(1十3i)之=ki(k≠0且k∈R),则w= ki (2+i)(1+3i) -2论。：。=5Ek=士50，故 w=士(7-i). 答案：士(7-i) 14.解析：解析：因为-2+3i为关于x的方程2x2+px 十q=0的一个根，所以-2-3i为关于x的方程2.x2 十p.x+q=0的一个根， -2+3i+(-2-3i)=-2 所以 (-2+3i)·(-2-310=号 ，解得p=8,g 26,所以p-q=8-26=-18. 答案：-18