6.4.1 平面几何中的向量方法&6.4.2 向量在物理中的应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

(2)b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4, .(b·c)·a=4(4,8)=(16,32). 2.解：(1)a-b2=(a-b)2=a2-2a·b+b =4-2a·b, 又a十b=(3,1),故(a+b)2=4,即a2+2a·b+b=4, 即a·b=0,a十b=2. .|a-b=√4=2. (2)设a十b与a一b的夹角为0， 则cos9=a+b〉：a-D=·二b=1-3=-1 a+b a-b 2X2 4 又9∈[0，π]，故夹角日=2π 31 3.解：a十b=(1,2)十(-3,2)=(k-3,2k十2)， a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 又ka十b与a一3b垂直，故(ka十b)·(a一3b)=0. 即(k-3)·10十(2k十2)·(-4)=0得k=19. 4.解：(1)AC=(2sin0-1,cos0) BC=(2sin 0,cos 0-1) .ACI=BC .√(2sin0-1)+cos0 =√/(2sin8)+(cos8-1)', 化简得2sin0=cos8,an0=子 (2)OA+2OB=(1,2), O元=(2sin0,cos8), :(OA+2 OB).OC=2sin 0+2cos 0=1, :sing十cos0= 1 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用 课前预习学案 知识梳理 一、1.(1)a∥b台a=Ab台x1y2-x2y1=0(b≠0) (2)a⊥b台a·b=0台x1x2十y1y2=0 (3) 2x1x2十yy2 √x十y·√十 [思考] 1.提示：两直线平行应转化为向量的共线问题，两直线垂直应 转化为两向量的垂直问题. 2.提示：合力的大小不一定是8N,应用向量的平行四边形或 三角形法则求合力，合力的大小与力F与，的夹角有关， ·.1 参考答案 预习自测 1.C (CA+CB).(CA-CB)=0, :.CA-CB=0.CA'=CB, ∴.CA=CB,△ABC为等腰三角形.] 2.D 3.A[路程是数量，位移是向量，从而s=500,由位移的合成 易得a<500,故s>a.] 4.5 5.解：A(1,1),B(2,3), 位移AB=(1,2). .力F对质点做的功为W=F·AB=2X1十1X2=4. 课堂互动学案 [例1](1)解析：DG⊥BE,AE⊥BE,.GD∥AC. 设OA=AOD(A≠0)，则AE=ADG.同理AF=ADi 于是FE=AE-AF=A(DG-Di)=aHG. HG∥FE,即HG∥EF. (2)解析：（方法一）设AD=a,AB=b,则a=b,a·b =0, 又D正-DA+正=-a+台，A-A店+B萨=b+g, 所以A,D成=(b+号)(-a+号)=-2a-是a·b 含=-号a-26=0 故AF⊥DE,即AF⊥DE. (方法二)建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边 长为2，则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),AF=(2,1), DE=(1,-2). 因为AF.DE=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以AF⊥DE,即AF⊥DE. AE B [例2][解]设AD=a,AB=b,则BD=a-b,AC=a十b 而BD1=a-b=√a'-2a·b+b下=√1+4-2a·b =√/5-2a·b,.BD2=5-2a·b=4∴.2a·b=1. .AC2=a+b2=a2+2a·b+b=a2+2a·b+b =5+2a·b=6..AC=√6，即AC=√6. [例3][解]如图所示，设木块的位移为s,则 f.☑30°E mnkmmmmmm7 c 95 数学·必修第二册 We=F.s=F11sc0s30°=50×20X5=500V5J. 2 将力F分解，它在垂直方向上的分力F的大小为 E=Psin30=50X2=25N, 所以，摩擦力∫的大小为 f=(G-F1)=(80-25)×0.02=1.1(N), 因此W,=f·s=f1scos180 =1.1×20×(-1)=-22(J). 即F和∫所做的功分别为500√5J和-22J. 变式训练 1.证明：设AB=c,AC=b,AD=m,则BD=AD-AB=m-c, CD=AD-AC=m-b. .AB+CD2=AC2+BD2, .c2+(m-b)2=b十(m-c)2, 即c2+m2-2m·b十b=b2十m2-2m·c+c2, ∴.2m·(c-b)=0,即2AD·(AB-AC)=0, AD·CB=0,ADLBC. 2.证明：以B为坐标原点，BC所在的直线 为x轴建立平面直角坐标系，如图.设A (a,b),B(0,0),C(c,0,则D(,0), B(O) A=（-a)+0-by=-ac+a2+8,(A店 +ac)-()-[+6+c-a+6]- a2+b-ac+4 从而AD=分(AB:+AC)-(BCy, 2 即AD=合(AB+AC)-(S 3.解：如图所示：AB=250 E B m=0.25km,BC=250 万m-5km, D a∠CAB=%-5→∠CAB=号→∠CAD-g, 设合速度为"，小货船航行速度为”，水流的速度为， 则有y十y2=v→y1=v-y2,所以有y1=v-y|= √(v-2)=√+-2v·y2= √36+12-2x6x25×()=2m. ·19 6.4.3余孩定理、正孩定理 第一课时余孩定理 课前预习学案 情境引入 提示1.根据向量的数量积，可得a=BC.BC =(AC-AB)·(AC-AB) =ACI:-2AC.AB+ABI =AC2-2AC·ABlcos A-+AB =b2-2bccos A+c,a2=b2+c2-2bccos A. 2.在△ABC中，设AB边上的高为h,S△Ax=立h -1 2cbsin A. 知识梳理 -b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+62-2abcos C b+c2-a2a2+c2-6a2+b2-c 2bc 2ac 2ab 二，1)2 besin A合acsin B合alsinC [思考] 提示：若a2=b十c2,则△ABC是直角三角形： 若a2>b2十c”,则△ABC是钝角三角形： 若a2<b十c2,则△ABC不一定是锐角三角形，因为a不一 定是最大边. 预习自测 1.A[注意余弦定理形式，特别是正负号问题.] 2.D[由余弦定理得a2=b2十c2-2 bccos A=9十4-2X3×2 ×号=9解得a=8] 3.A[如图，由余弦定理可知： osC-号-BC FACAR-+4Ag 2BC·AC 2×3×4 B 可得AB=3,又由余弦定理可知： mB=AAC-=行故递A] 2AB·BC 6第六章平面向量及其应用 题型四 数量积的综合运用 ⊙[变式训练] [例4]已知a=(cos&,sina),b=(cos3,sin), 4.已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin0,cos0). 且|ka+b|=√3|a-b|(k>0). (1)若|AC=|BC1,求tan0的值. (1)用k表示数量积a·b: (2)若(OA+2OB)·OC=1,其中O为坐标 (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的 原点，求sin0+cos0的值. 夹角0的大小。 汇思路点拨了利用向量的数量积列k的方 程，然后求解。 规律方法 坐标由三角函数表示的向量要注意与单位 圆的关系，模长具有特殊性，比如可以利用 cosa十sina=1等.由三角函数表示的数量 积通常可以应用三角函数的有界性，同时要 C温馨提 学习至此，请完成课时作业(6.3.5) 注意，sina,cosa的取值范围是[-1,1] 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用 课程标准 1.经历用向量方法解决某些简单平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题的过程. 2.体会向量是一种处理几何、物理问题等的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力. 3.掌握用向量方法解决实际问题的基本方法，向量方法解决几何问题的“三步曲”. ● 课前。预习学案 [情境引入] 密切相关，因此，我们可以用向量作为工具，解 我们从求合力、分力等中引入向量的线性 决平面几何中的这些问题. 运算，从求功中引入向量的数量积运算，反之， 通过本课时的学习，我们要体会向量的工 我们也可以用向量来解决物理中的这些问题. 具性作用，体会如何将物理、几何问题转化为 平面几何中的平行与向量共线密切相关， 平面几何中的垂直、角度、距离与向量数量积 向量问题，并加以解决。 ·29· 数学·必修第二册 [知识梳理] (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系， [知识点一]向量在平面几何中的应用 如距离、夹角等问题； 1.向量在平面几何中常见的应用 (3)把运算结果“翻译”成几何关系. a=（x1,y1),b=(x2,y2). [知识点二]向量在物理中的应用 (1)证明直线平行、点共线问题及相似问题，常 向量的定义有着丰富的物理背景，物理学中 用向量共线的条件： 的位移、力、速度等都是既有大小又有方向 的量，力所做的功就是向量的数量积的物理 (2)证明直线垂直问题，如证明四边形是正方 背景.因此，利用向量可以解决一些物理 形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直 问题. 等，常用向量垂直的条件： 1.向量在物理中的应用 (1)向量与力 (其中a,b为非零向量). 向量是既有大小又有方向的量，它们可以 有共同的作用点，也可以没有共同的作用 2思考1.两直线平行、两直线垂直应转化为 点，但是力的三要素是大小、方向和作用 向量的什么问题来证明？ 点，所以用向量知识解决力的问题时，通常 要把向量平移到同一作用点上。 ?思考2.有两个力F、F作用在质点A上，F (3)求夹角问题，若向量a与b的夹角为0，则 的大小是5N,F2的大小是3N,则F,F2作用 求夹角的余弦公式： 在A上的合力是8N吗？应如何求合力，合力 as9=8治 的大小与什么有关？ (其中a,b为非零向量). (4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向 量的模长公式：|a=√a=√x2+y〔其中 (2)向量与速度、加速度及位移 a=(x,y)]或IAB|=|AB|= 速度、加速度及位移的合成与分解，实质上 √(x,-x2)+(y1-y2)〔其中A,B两点的 就是向量的加减法运算.解决速度、加速度 坐标分别为(x1y1),(x2y2)门. 和位移等问题时，常用的知识主要是向量 (5)对于有些平面几何问题，如载体是长方 的加法、减法以及数乘运算，有时也借助于 形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐 坐标运算来处理. 标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标 (3)向量与功、动量 表示出来，通过代数运算解决几何问题. 力做的功是力在物体前进方向上的分力与 2.用向量方法解决平面几何问题的步骤 物体位移的乘积，实质是表示力和位移的 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示 两个向量的数量积，W=F·s=|F·|s 问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 ·cos0,(0为F和s的夹角).动量mv实 转化为向量问题； 际上是数乘向量 ·30· 第六章平面向量及其应用 2.用向量讨论物理学中相关问题的步骤 3.如果一架飞机先向东飞行200km,再向南 (1)问题的转化：把物理问题转化成数学问题. 飞行300km,设飞机飞行的路为skm,位移 (2)模型的建立：建立以向量为主体的数学 为|akm,则 模型. A.s>al B.s<a (3)参数的获取：求出数学模型的解 C.s=lal D.s与|a不能比较大小 (4)问题的答案：回到物理现象中，用已经获取 4.若向量OF1=(2,2),OF2=(-2,3)分别表 的数值去解释相应的物理现象。 示两个力F,F2,则合力F1十F2的大小是 [预习自测] 1.在△ABC中，若(CA+CB)·(CA-CB)= 5.某质点在力F=(2,1)的作用下，由A(1,1)运 0,则△ABC为 ( 动到B(2,3),求力F对质点做的功. A.正三角形 B.直三角形 C.等腰三角形D.形状无法确定 2.在平行四边形ABCD中，下列关系式不正 确的是 A.AC=AB+AD B.DB=AB-AD C.IACI*+IDBI2=2(1ABI2+1ADI) D.IACI=ABI+IAD 课堂⊙互动学案 题型一用向量解决平面九何中的平行垂直问题 (2)如图所示，在正方形ABCD [例1](1)如图，已知 中，E,F分别是AB,BC的中点， AD,BE,CF是△ABC 求证：AF⊥DE. 的三条高，且交于点O, [思路点拨了 DG⊥BE于G,DH⊥CF 选基底AB,AD或建系→证明AF·DE=0 于H.求证：HG∥EF, →从而证得AF⊥DE 汇思路点拨]要证明HG∥E℉，由向量共 线定理知，只需证明FE=入HG(入≠0). ·31 数学·必修第二册 规律方法 规律方法 向量可以解决直线（线段）的平行、垂直、夹 在平面几何中求线段的长度问题，转化到向 角、距离（长度）等问题，解决的关键是顺利 量中就是求向量的模的问题，因此可适当构 把几何中的元素转化为向量，常用方法有坐 造向量，利用向量知识求解.利用向量求线 标法和几何法，用坐标法注意坐标轴和原点 段长度的关系有两种方法：(1)待定系数法， 的选取，用几何法要注意基底的选取。 结合向量共线定理和平面向量基本定理求 ⊙[变式训练] 线段比例关系；(2)建立平面直角坐标系，设 1.如图，若点D是△ABC 内一点，并且满足AB 定端点坐标，利用向量坐标表示求线段长度 +CD2=AC+BD,求 D 的关系 证：AD⊥BC. ◇[变式训练] 2.已知AD为△ABC的中线，求证：AD= 2(AB+AC)-(S). 题型三利用向量证明线设相等 [例2]如图，在平行四边形AB CD中，已知AD=1,AB=2,对 角线BD=2,求对角线AC的长度， [思路点拔了“此题是求线段长度的问题， 可以转化为求向量的模， 题型用向量法解物理问题 [例3]已知力F(斜向上)与水平方向的夹角 为30°，大小为50N,一个质量为8kg的木 块受力F的作用在动摩擦因数以=0.02的水 平面上运动了20m.问力F和摩擦力f所做 的功分别为多少？(g=10m/s2) ·32· 第六章平面向量及其应用 汇思路点拨]物理中的矢量主要有力、速 ⊙[变式训练] 度、位移，一般求功、动量，前面的三种只需 3.一条东西方向的河流两岸平行，河宽250 根据它们的运算特征作出几何图形，即可 m,河水的速度为向东2√5km/h.一艘小货 利用向量求解，功是向量的数量积 船准备从河的这一边的码头A处出发，航 行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的 正西方向并且与B相距250√3m的码头C 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度 的合速度的大小为6km/h,则当小货船的 航程最短时，求此时小货船航行速度为 规律方法 多少？ 先把物理现象分析清楚，把握住物理量之间 的关系，然后把物理量转化为向量求解，具 体应用中一般涉及力、位移、速度等量的合 成与分解，要充分借助三角形或平行四边形 C温馨提 法则来运算. 学习至此，请完成课时作业(6.4.1、6.4.2) 6.4.3余弦定理、正弦定理 第一课时余弦定理 课程标准 素养解读 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余 通过推导归纳余弦定理.提升逻 弦定理， 辑推理，数学运算，数学抽象 2.能用余弦定理解决简单的实际问题. 素养 课前。预习学案 [情境引入] 方法，或借助直角三角形的方法.阿基米德说 我们遇到这么一个问 过：“给我一个支点，我可以撬起地球.”但实际 题，“谣不可及的月亮离地 情况是根本找不到这样的支点.全等三角形法 球究竟有多远呢？”，在古 有时就像这样.你根本没有足够的空间去构造 代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了 出全等三角形.所以每种方法都有它的局限 两者的距离，那么，他们是用什么神奇的方法 性.其实上面介绍的问题是用以前的方法所不 探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的 能解决的。从本节我们开始学习余弦定理、正 距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方 弦定理以及它们在科学实践中的应用.这两个 案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的 定理能解决上述问题 ·33·