第6章 平面向量及其应用 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（人教A版）

数 新高考 第六章 平面向量及其应用 ( 学 同步单元双测卷 A卷·基础达标卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.下列命题正确的是 ( A.若la|=|bl,则a=b B.若a≠b,则|a|≠|b 整 C.若|a=|b,则a与b可能共线 D.若|a≠|b1,则a一定不与b共线 2.如图所示，□ABCD中，AB-BC+CD等于 如 A.BC B.DA C.CB D.BD 3.设a,b是共线的单位向量，则|a+b1的值 的 A.等于2 B.等于0 C.大于2 D.等于0或等于2 4.已知A(4,6),B 3,2 有下列向量：①a 7,9).其中，与AB平行的向量是 A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④ 5.(2024·新课标1卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.O为平面上一动点，A,B,C是平面上不共线的三点，且满足OA+OB=λOC≠0（入∈R),则O点的 轨迹必过△ABC的 ( A.垂心 B.外心 C.内心 D.重心 7.如图所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处.现甲船以35海里/ 小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要 的时间为 ( 必 0 靼 西 东 南 A号水时 B.1小时 C.多小时 D.2小时 8.已知△ABC中，内角A,B,C所对边长分别为a,bc,若A= 6=2ac0sB,c-1,则△ABC的面 积等于 ( A 2 B. c D. 数学试题第六章A卷第1页（共4页） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知a,b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是 () A.a与b的模相等 B.如果a与b平行，那么a与b相等 C.a与b共线 D.如果a与b平行，那么a=b或a=一b 10.已知△ABC中，a=4,b=4√3，A=30°，则B等于 ( A.30 B.60° C.120 D.150 11.已知点M是△ABC的重心，点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),点D是BC上靠近点B的三等分点， 则 () AD CMD.AC)=号 D.|3MD-AC|=2√6 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上.） 12.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a十b平行于x轴，b=(2,一1)，则a= 13.如图，已知两个力F1,F2的大小和方向，则合力的大小为 N;若在图示坐标系中用坐标 表示合力，则合力的坐标为 ·(本题第一空2分，第二空3分) 2 14.已知向量a,b夹角为行，b=2,若对任意x∈R,恒有b十a≥b-a,则函数b-2au∈ R)的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分)如图，已知A,B,C为直角坐标系xOy中的三个 定点 C(-2,2) A(5,3) (I)若点D为口ABCD的第四个顶点，求|BD|; (2)若点P在直线OC上，且PA·PB=4,求点P的坐标. B(1,-3) 数学试题第六章A卷第2页（共4页） 16,(本小题清分15分)在△ABC中，角A、B,C所对的边分别为a6c,且a=8,0sB=号 (1)若b=4,求sinA的值； (2)若△ABC的面积S△ABC=4,求b、c的值. 17.(本小题满分15分)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E,使得DE=CD,若点P为CD 的中点，且AP=入AB十4AE,求λ+的值 E 数学试题第六章A卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,一2)，B(2,3),C(一2，一1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t满足(AB-tOC)·OC=0,求t的值. 19.(本小题满分17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+√cosA=0,a=2√7， b=2. (1)求c; (2)设D的边BC上一点，且AD⊥AC,求CD的长. 些 数学试题第六章A卷第4页（共4页） 第六章 平面向量及其应用A卷 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）☐ 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 样 错误填涂 × 安 涂写要工整、清晰。 3按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 )T三 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题(1一8小题，每小题5分，9一11小题，每小题6分，共58分) 请在各 1A®g回 4囚®回回 7AB回回 10A®@回 目的答题区 2A⑧g回 5A®g回 8A®@回 11ABCD 3 A BCD 6A®CD 9AEg回 内作答 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 填空题（共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分） 超 12 13. 框的答案无 14 解答题：本题共5小题，共77分. 15.(本小题满分13分) C-2,2) A5,3) 0 B(1,-3) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章A卷第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) D P 请在各题目的答题区域内作答 , 出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章A卷第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为@2 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章A卷第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第六章A卷第4页（共4页）参考 参芳 第六章平面向量及其应用 (A卷) 1.C[因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大 小（长度）相等的两个向量才相等，因此A错误；两个 向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；不论两 个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C正 确，D错误.] 2.C[从题图上可看出AD=BC,则AB-BC=AB AD=DB,而DB+CD=CB.] 3.D[:a与b是共线的单位向量，.当两个向量同向 时，a+b|=2|a=2:当两个向量反向时，|a+b =0.」 4C[A店=(-7，-号)因为（借3 号(-，-号）=-号成（号） -(-号)-（兰-3） 学(7，号)号店，所以与店年行的向量足 ①②③中的向量.] 5.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2 一4x=0,解得x=2.] 6.D[如图，设D为AB边的中 点，OA十OB=2OD,.2OD= D AOC,.点O在△ABC底边 AB的中线上.] 0 7.B[在△OBC中，由余弦定 B 理，得CB2=CO2+OB2-2C0·OBcos120°=152+ 252+15×25=35,周北CB=35,器-1（小时）.周比 甲船到达B处需要的时间为1小时.] 8.B[由正弦定理得sinB=2 sin Acos B,故tanB= 2simA=2sin号=5，又Be(0,m,所以B=背，又A =B=号，则△ABC是正三角形，所以SaAc 2cmA=×1X1X9-] 9.AD sin不=元，..sinB三2，又ab，.“B 10.BC[由，a b 60°或120°.] 11.AB[对于A项，如图，点M 是△ABC的重心，点A(1,2), B(2,3),C(-2,5),设点M (x,y) [x=1+2+(-2)_1 3 3 =2+3+5=10 则 3 3 答案 答案 故A选项正确：对于B项，因点D是BC上靠近点B 的三等分点，则3BD=BC,设D(a,b),则3(a-2,b -3)=(-4,2),即} a-2=4,解得a=子6 3(b-3)=2 号故B项正确：对于C项，因为M而-（信宁）d =(-3,3),则cos〈MD,AC)= MD·AC IMDIACI 1+=0,故MLAC,即(MD.AC)≠号，故C 3西×号 项错误：对于D项，因3M而-C=3(仔号)-( 3,3)=(4,-2),则|3MD-AC=√42+(-2)2=2 √5，故D项错误.] 12.解析：由于a十b=1,a十b平行于x轴，所以a十b (1,0)或(-1,0)，则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1) 或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1). 答案：(-1,1)或(-3,1) 13.解析：因为F1=(2,3),F2=(3,1),所以合力F=F1 十F2=(2,3)十(3,1)=(5,4)，所以合力的大小为 √52+42=√4T(N) 答案：√41(5,4) 14解折：6+加≥b名0b+a≥ ,整理可得a2r2+2ax+a-a2≥ 0,对任意x∈R,上式恒成立，∴.△=4a2-4a2 (a-a2）<0;由题意知a≠0， ∴(1-合a)）≤0，a=2.1h-a= √Pb12+1a2-ab=4-2+1= -)+语 答案9 15.解析：(1)因为A(5,3),B(1,-3),C(-2,2),所以 BA=(4,6),BC=(-3,5),所以|BD1=|BA+BC =√2+11=√/122. (2)因为点P在直线OC上，所以可设OP=入OC (-2入，2λ)，所以PA=(5+2A,3-2入)，PB=(1+2入， -3-2入)，所以PA·PB=(5+2)(1+2入)+(3 20(-3-2以)=4，解得入=2或-2. 故点P的坐标为（一1,1）或(4，一4) 数学A版· 16.解：1)因为c0sB=三>0,0<B<,所以sinB V一csB=青由三孩究理得A-品B所以 b nA=号smB=号 1 4 (2)因为S△Anc=acsin B=5c=4,所以c=5. 由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos B=22+52-2× 2X5×号=17，所以6=或6=-V(含去) 所以b=√7. 17.解：由题意，设正方形的边长 为1，建立平面直角坐标系， 如图，则B(1,0),E(-1,1), ∴.AB=(1,0),AE=(-1,1). :AP=AAB+HAE=(入 h,u),又：点P为CD的中 点…产=（合小 3 5 21 (=1 （4=1, 18.解：(1)AB=(3,5),AC=(-1,1),求两条对角线的 长即求|AB+AC与|AB-AC的大小.由AB+AC =(2,6),得|AB+AC=2√10， 由AB-AC=(4,4),得|AB-AC|=4√2. (2)OC=(-2,-1),,(AB-tOC)·OC=AB·OC -t0C2,易求AB.OC=-11,OC2=5,由(AB-t 0d).0c-0得1=号 19.解析：(1)由sinA+√5cosA=0得tanA=-√5. 由A∈(0，x),得A=2 3 由余弦定理a2=b2+c2-2bc·cosA,a=2√7，b=2, c0sA=一号，代入并整理得(c十1D2=25,故c=4. (2)在△ABC中，已知AC=2,BC=2√7，AB=4,则 由余孩定理的推论得c0sC-2+2C_2 2ab 7 因为AC⊥AD,所以△ACD为直角三角形，则AC= CD·cosC,得CD=√7. 第六章平面向量及其应用 (B卷) 1.D[ma+b=(2m,3m)+(-1,2)=(2m-1,3m+ 2),a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),则-2m+1= 12m+8,m=-2] 2.C[因为MN-PV+PM=MN+NP+PM=MP+ PM=0,所以MN一PN+PM=0对任意情况是恒成 立的.故M,N,P是平面内的任意三个点.] 3.C[BA=(4,-3),BC=(2,-4),.AC=BC BA=(-2,-1),.CA·CB=(2,1)·(-2,4)=0, 必修第二册 ∠C=90°，且|CA|=√5,1CB1=25,1CA|≠ CB引.∴.△ABC是直角非等腰三角形.] 4C[设另一条边为，则：2=2+32-2×2X3×分 1 ∴x2=9,∴.x=3.设c0s0= ，则in0=22.2R 3 3=3=92,R=9E] sin 0 22 4 8 3 5.B[由向量共线定理知①正确；若a·b=0,则a=0 或b=0或a⊥b,所以②错误：在a,b能够作为基底 时，对平面上任意向量，存在实数入，以使得c=a十 b,所以③错误；若a·b=a·c,则a·(b-c)=0,又b 一c≠0所以a⊥(b一c),所以④正确，即正确命题序号 是①④，所以B选项正确.门 6.B[将条件|a+2b|=2平方得1+4a·b+4b2=4, 由(b-2a)1b得b2-2a·b=0,所以62=7，b .C[设△ABC边BC的中点为D,则SA -器亦=专+心)-号， S△ABP 号求=是A.小会得 .S△ABC=3.] 8.A[以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立如图 所示的平面直角坐标系，设扇形 AOB的半径为r,则A(r,0),BB< (台，)设点cxw 0.nin P 0)(0a<r,00<）因为 ?r=acos 0 ,所以， 2yr=asin 0 2a 2x-y= rcos 0 2a sin 0 ,所以，2(x+y)=(2x-y)+3y=2 3r ws9+2应m0=in(叶音）因为0<号则 r 吾≤9叶吾<警，当9+吾=受且a=r时，2x+y)取 6 得最大值4.] 9.ABD[由向量相等及共线的概念，结合图形可知C 不一定正确.] 10.ABC [la+bl=(1+cos 0)2+sin20= V2+2cos反因为9c[吾·吾]所以case[0.1. 所以a十b|∈[√2,2].结合选项可知选ABC.] 1l.AD[由sinC+sin(A-B)=3sin2B,可得sin(A+ B)+sin(A-B)=6 sin Bcos B,整理得sin Acos B=