6.4.1 平面几何中的向量方法&6.4.2 向量在物理中的应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章平面向量及其应用 11.设平面三点A(1,0),B(0,1),C(2,5), 解析：A[因为在等腰直角三角形AOB中，OA (1)试求向量2AB+AC的模； =a,OB=b,OA=OB=1,所以a=b=1,a·b=0. (2)若向量AB与AC的夹角为0，求cos0; (3)求向量AB在AC上的投影向量， 由题意，可设0P=-b-a)十A·(b+, 解：(1)因为A(1,0),B(0,1),C(2,5),所以AB= (0,1)-(1,0)=(-1,1), A∈R,所以p·(b-a)=-子(b-a)·(b-a)十 AC=(2,5)-(1,0)=(1,5),所以2AB+AC 2(-1,1)+(1,5)=(-1,7), 含(b+a)(b-a)=-1b-a)+2(6-a) 所以|2AB+AC=√(-1)+7=5√2. =(2+6-2a·=1+1-0)=J (2)由(1)知AB=(-1,1),AC=(1,5), 所以c0s0= (-1,1)·(1,5) _2√13 1B.已知a=(,-Db=(兮受，且存在实数长和 √(-1)+1产×√1+5 13 t,使得x=a+(t-3)b,y=一ka十tb,且x⊥y,试 (3)由(2)知向量AB与AC的夹角的余弦为c0s0= 2WE,且AB1=E. 求士士的最小值， t 13 解：由题知，a=2,b=1, 所以向量AB在AC上的投影向量为|AB|cos0· -×2晋.-哈骨 AC ab=5×号-1x9-0iaLh 2 13 LACI √26 由x⊥y得，[a十(t-3)b]·(-a+tb)=0, 能力提升 -》 即-ka2+(t3-3t)b2+(t-tk+3k)a·b=0, 12.如图，在等腰直角三角形AOB .-ka2+(t3-3t)b2=0. 中，设OA=a,OB=b,OA=OB= 1,C为AB上靠近点A的四等 a-2,b1=1k-影，-G t 分点，过C作AB的垂线1，设P 为垂线上任意一点，OP=p,则p·(b一a)= +4-3)=子+2-子. 2 B.2 1 c- n 即当1=一2时，生芒有最小值-子。 6.4 平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用 课程标准 1.经历用向量方法解决某些简单平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题的过程 2.体会向量是一种处理几何、物理问题等的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力. 3.掌握用向量方法解决实际问题的基本方法，向量方法解决几何问题的“三步曲”. 课前。预习学案 对应学生用书P29 [情境引入] 此，我们可以用向量作为工具，解决平面几何中的这 我们从求合力、分力等中引入向量的线性运算， 些问题 从求功中引入向量的数量积运算，反之，我们也可以 通过本课时的学习，我们要体会向量的工具性作 用向量来解决物理中的这些问题. 平面几何中的平行与向量共线密切相关，平面几 用，体会如何将物理、几何问题转化为向量问题，并加 何中的垂直、角度、距离与向量数量积密切相关，因 以解决. ·43· 数学·必修第二册 [知识梳理] 2思考2.有两个力F1、F2作用在质点A上，F1的 [知识点一]向量在平面几何中的应用 大小是5N,F2的大小是3N,则F1、F2作用在A 1.向量在平面几何中常见的应用 上的合力是8N吗？应如何求合力，合力的大小 a=(x1,y1）,b=(x2,y2). 与什么有关？ (1)证明直线平行、点共线问题及相似问题，常用向量 提示：合力的大小不一定是8N,应用向量的平行 共线的条件：a∥b=a=b台x1一x2y1=0(b≠0). 四边形或三角形法则求合力，合力的大小与力F (2)证明直线垂直问题，如证明四边形是正方形、矩 与F2的夹角有关， 形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂 (2)向量与速度、加速度及位移 直的条件： 速度、加速度及位移的合成与分解，实质上就是向 量的加减法运算.解决速度、加速度和位移等问题 a⊥b台a·b=0台x1x2+y1y2=0(其中a,b为非 时，常用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘 零向量) 运算，有时也借助于坐标运算来处理。 ?思考1.两直线平行、两直线垂直应转化为向量 (3)向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位 的什么问题来证明？ 移的乘积，实质是表示力和位移的两个向量的数 提示：两直线平行应转化为向量的共线问题，两直 量积，W=F·s=F·s·cos0,(0为F和s的 线垂直应转化为两向量的垂直问题 夹角).动量mv实际上是数乘向量. (3)求夹角问题，若向量a与b的夹角为0，则求夹角 2.用向量讨论物理学中相关问题的步骤 的余弦公式： (1)问题的转化：把物理问题转化成数学问题. (2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型 c0s0= a·b 2122+y1y2 Tal[b 一（其中a,b为 (3)参数的获取：求出数学模型的解 (4)问题的答案：回到物理现象中，用已经获取的数值 非零向量) 去解释相应的物理现象。 (4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模 [预习自测] 长公式：a=√a=√x2+y〔其中a=(x,y刀或 1.在△ABC中，若(CA+CB)·(CA-CB)=0,则 △ABC为 |AB=AB=√(x1-x2)+(y1一y2)C其中A, A.正三角形 B.直三角形 B两点的坐标分别为(x1y1),(x2y2)门. C,等腰三角形 D.形状无法确定 (5)对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正 解析：C[,(CA十CB)·(CA-CB)=0, 方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平 ..CA2-CB=0,CA2=CB2. 面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数 ∴.CA=CB,△ABC为等腰三角形.] 运算解决几何问题， 2.在平行四边形ABCD中，下列关系式不正确的是 2.用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中 A.AC=AB+AD 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 B.DB=AB-AD 问题； C.AC12+|DB=2(AB12+|AD2) (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距 D.|ACI=ABI+AD 离、夹角等问题； 答案：D (3)把运算结果“翻译”成几何关系。 3.如果一架飞机先向东飞行200km,再向南飞行300 [知识点二]向量在物理中的应用 km,设飞机飞行的路为skm,位移为akm,则 向量的定义有着丰富的物理背景，物理学中的位 A.s>a B.s<a 移、力、速度等都是既有大小又有方向的量，力所做 C.s=a D.s与a不能比较大小 解析：A[路程是数量，位移是向量，从而s=500, 的功就是向量的数量积的物理背景.因此，利用向 由位移的合成易得a<500,故s>a.] 量可以解决一些物理问题. 4.若向量OF=(2,2),OF2=(一2,3)分别表示两个 1.向量在物理中的应用 力F,F2,则合力F1十F2的大小是 (1)向量与力 答案：5 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同 5.某质点在力F=(2,1)的作用下，由A(1,1)运动到 的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三 B(2,3),求力F对质点做的功 要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决 解：A(1,1),B(2,3),.位移AB=(1,2) 力的问题时，通常要把向量平移到同一作用点上 ∴.力F对质点做的功为W=F·AB=2×1十1×2=4. ·44· 第六章平面向量及其应用 课堂。互动学案 对应学生用书P31 题型一用向量解决平面九何中的平行垂直问题 规律方法 [例1](1)如图，已知AD, 向量可以解决直线（线段）的平行、垂直、夹角、距离 BE,CF是△ABC的三条高， (长度)等问题.解决的关键是顺利把几何中的元素 且交于点O,DG⊥BE于G, 转化为向量，常用方法有坐标法和几何法，用坐标法 DH⊥CF于H.求证：HG 注意坐标轴和原点的选取，用几何法要注意基底的 ∥EF. 选取 汇思路点拨]要证明HG∥EF,由向量共线定理 ◇[变式训练] 知：只需证明F它=入HG(入≠0). 1.如图，若点D是△ABC内一 点，并且满足AB+CD= (2)如图所示，在正方形ABCD中，E,F AC+BD,求证：AD⊥BC. 分别是AB,BC的中点，求证：AF 证明：设AB=c,AC=b,AD ⊥DE. [思路点拨 =m,则BD=AD-AB=m -C, 选基底AB,AD或建系 证明AF·DE=0 CD=AD-AC=m-b. →从而证得AF⊥DE .AB2+CD=AC2+BD2, .c2+(m-b)2=b2+(m-c)2, (1)解析：：DG⊥BE,AE⊥BE,GD∥AC 即c2+m2-2m·b+b2=b2+m2-2m·c十c2, 设OA=AOD(入≠0)，则AE=入DG.同理AF= ∴.2m·(c-b)=0,即2AD·(AB-AC)=0, A DH .AD·CB=0,.AD⊥BC 于是FE-AE-AF=A(DG-DH)=AHG, 题型二] 利用向量证明线段相等 ∴.HG∥FE,即HG∥EF. [例2]如图，在平行四边形ABCD (2)解析：（方法一）设AD=a,AB=b,则|a=b 中，已知AD=1,AB=2,对角线BD ,a·b=0, =2,求对角线AC的长度， 又D-D+A花=-a+多，A萨=Ai+成=b [思路点拨]此题是求线段长度的问题，可以转 化为求向量的模。 [解]设AD=a,AB=b,则BD=a-b,AC=a 所以.D正=(b+受)(-a+名)= +b. 而|BD|=|a-b|=√Ja-2a·b+b平= ab+=2a+2b1=0 √1+4-2a·b=√5-2a·b,.1BD12=5-2a·b 故AF⊥DE,即AF⊥DE. =4.2a·b=1. (方法二)建立如图所示的平面直角坐标系，设正 ∴1AC2=la+b12=a2+2a·b+b=1a2+2a· 方形的边长为2，则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F b+|b2=5+2a·b=6.∴.|AC=√6，即AC=√6. (2,1),AF=(2,1),DE=(1,-2). 规律方法 在平面几何中求线段的长度问题，转化到向量中就 因为AF.DE=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 是求向量的模的问题，因此可适当构造向量，利用向 所以AF⊥DE,即AF⊥DE. 量知识求解.利用向量求线段长度的关系有两种方 法：(1)待定系数法，结合向量共线定理和平面向量 基本定理求线段比例关系；(2)建立平面直角坐标 系，设定端点坐标，利用向量坐标表示求线段长度的 关系 ·45· 数学·必修第二册 ◇[变式训练】 将力F分解，它在垂直方向上的分力F,的大小为 2.已知AD为△ABC的中线，求证：AD= IF,I-IFIsin 30-50X-25 N. A)( 所以，摩擦力∫的大小为 |f1=(G-F1)川=(80-25)×0.02=1.1(N), 证明：以B为坐标原，点，BC所在 因此W,=∫·s=f1|scos180 的直线为x轴建立平面直角坐标 =1.1×20×(-1)=-22(J). 系，如图.设A(a,b),B(0,0),C 即F和f所做的功分别为500√5J和一22J. (c,0),则D(号，0)，AD12=(号 B(O) 规律方法 a)+0-b2=-ac+2+6,2A店+ 先把物理现象分析清楚，把握住物理量之间的关系， 然后把物理量转化为向量求解，具体应用中一般涉 )-()-2+6+e-a+] 及力、位移、速度等量的合成与分解，要充分借助三 角形或平行四边形法则来运算. -a+6-ac+ ⊙[变式训练] 从而Ai?=2A店+1aC)-(BC)y, 3.一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m,河水 的速度为向东2√3km/h.一艘小货船准备从河的 即AD=3AB+AC)-(BS) 这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB 题里三 用向量法解物理问题 与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距250√3 m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的 [例3]已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大 速度的合速度的大小为6km/h,则当小货船的航 小为50N,一个质量为8kg的木块受力F的作用在 程最短时，求此时小货船航行速度为多少？ 动摩擦因数=0.02的水平面上运动了20m.问力F 解：如图所示：AB= E 和摩擦力∫所做的功分别为多少？(g=10m/s2) 250m=0.25km, [思路点拨]物理中的矢量主要有力、速度、位 移，一般求功、动量，前面的三种只需根据它们的 BC-=2505m=经 4 运算特征作出几何图形，即可利用向量求解，功是 BC 向量的数量积。 km,tan∠CAB= AB =E→∠CAB=号→∠CAD [解]如图所示，设木块的位移为S,则 =,设合追度为，小货船戴行造度为，水流的 速度为y2, 30°」F 5115k7777777777 则有y1+v2=v→y1=v-2,所以有y1=v-y2 =√/(v-v2)2=√v2+吃-2v·w2 W,=F·s=os30°=50X20X 2 =500√3(J). 36+12-2×6×2√3× =2√2I. 2 课后。素养提升 对应学生课时P273 基础过关 解析：C[设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子 拉力的大小|F|,则8|F|cos0=mg,故|F| 1.如图为某种礼物降落伞的示 意图，其中有8根绳子和伞 =-mg 8cos 0' 面连接，每根绳子和水平面 2.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB 的法向量的夹角均为0，已知 礼物的质量为mkg,每根绳 =OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的( 子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中 A.三个内角的角平分线的交点 每根绳子拉力的大小为（重力加速度g) ( B.三条边的垂直平分线的交点 A.8mg B gsin C.ae D.82g C.三条中线的交点 sin cos 0 D.三条高的交点 ·46· 第六章平面向量及其应用 解析：D[:OA.OB=OB.O心，OA-OC). m OB=0. ,0增大，c0s0减小，.|F增大. ∴.OB·CA=0.∴.OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥ ,Fsin0增大，∴.船的浮力减小.门 AB,O为三条高的交，点.] 6.在△ABC所在的平面内有一点P,满足PA+PB十 3.如图，在圆C中，弦AB的长为4，则AB·AC PC=AB,则△PBC与△ABC的面积之比是 A. &号 c号 D. 解析：C[由PA+PB+PC AB,得PA+PB+BA+PC=0, 即PC=2AP,所以点P是CA 边上的三等分点，如图所示 A.8 B.-8 C.4 D.-4 解析：A[如图所示， 器-】 在圆C中，过点C作CD⊥AB 7.已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时 于D,则D为AB的中点； 刻，它们的位移分别为S。=(4,3),S6=(3,4),则S。 在R△ACD中，AD=名AB 在S。上的投影向量为 解析：由题知S。与S,的夹角0的余弦值为cos0= =2,可得cosA= AD A 12+12_24 AC 5×525 2 -,.AB.AC=AB1× :S,在S,上的投影为S.00,点=5× AC S, 25 ACIXcos A=4XIACIX-2 8.故选A.] 保器. ACI 答案号 4.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v= 8.已知点A(0,0),B(√3,0)，C(0,1).设AD⊥BC于 (4,一3)（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动 D,那么有CD=ACB,其中A= 的距离为)个单位).设开始时点P的坐标为（一 10,10),则5秒后点P的坐标为 ( ) 解析：解析：如图AB=√3， A.(-2,4) B.(-30,25) AC1=1,|CB|=2,由于AD1 C.(10,-5) D.(5,-10) BC,且CD=ACB, 解析：C[设（一10,10）为A,设5秒后P点的坐 所以C、D、B三点共线，所以 标为A1(x,y), 则AA1=(x+10,y-10),由题意有AA1=5m. 即(x+10,y-10)=(20,-15)→ CB 100.-。 答案：子 5.(多选题)如图所示，小船被 9.在四边形ABCD中，若AC=(1,2),BD=(-4,2), 绳索拉向岸边，船在水中运 则向量AC与BD的夹角为 ,四边形 动时设水的阻力大小不变， 那么小船匀速靠岸过程中， ABCD的面积为 下列说法中正确的是 解析：由AC·BD=1×(一4)+2X2=0知AC⊥ A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 B市，夫角为受 C船的浮力不断变小 又1AC1=5,1BD1=√(-4)2+2=2V5, D.船的浮力保持不变 解析：AC[设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与 “S=2ACBi=3×5X25=5. 水平方向夹角为0(0<0K).则F1cos0=1f引， 答案：受5 ·47· 数学·必修第二册 10.如图所示，一个物体受到同 北 BC BA 一平面内三个力F1,F2,F OB· 0: 的作用，沿北偏东45°的方向 BCI BA 移动了8m,其中F|=2N, ③(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=0. 方向为北偏东30°；F2|=4 则点O依次为△ABC的 N,方向为北偏东60°；|F|=6N,方向为北偏西 A.内心、重心、垂心 B.重心、内心、垂心 30°，求合力F所做的功. C.重心、内心、外心 D.外心、垂心、重心 解析：以O为原点，正东方 北 解析：C[①由于OA=-(OB+OC)=-2OD, 向为x轴的正方向建立平面 其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的 直角坐标系，如图所示，则F 三等分点（靠近线段BC),所以O为△ABC的 =(1W3),F2=(2V3,2),F3 2 重心； (-3,33),所以F=F1+F ②向量AC AB 十F3=（2√3-2,2十43).又位移s=（4√2,4 分别表示在AC和AB上取 IACI AB √2)，故合力F所做的功为W=F·s =(2√3-2)X4√2+(2+4√3)×4√2 单位向量AC'和AB',它们的差是向量B'C',当OA =4√2×6√3 AC AB =24√6(J). → 0,即OA⊥B'C'时，则点O AB 即合力F所做的功为24√6J. 11.已知正方形ABCD中，E,F分别是CD,AD的中 在∠BAC的平分线上，同理由OB 点，BE,CF交于点P.求证： BC BA (1)BE⊥CF; 0,知，点O在∠ABC的平分线 (2)AP=AB. BCI BA 证明：建立如图所示的平面直 上，故O为△ABC的内心； 角坐标系，设AB=2,则 D ③OA十OB是以OA,OB为边的平行四边形的一条 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E (1,2),F(0,1) 对角线，而AB是该四边形的另一条对角线，AB· (1)BE=(-1,2),CF=(- (OA十OB)=0表示这个平行四边形是菱形，即 A(O) B 2,-1)..BE·CF=(-1) 1OA=|OB1,同理有OB|=|OC1,于是O为 △ABC的外心.] ×(-2)+2×(-1)=0, 13.如图，在一场足球比赛中， .BE⊥CF,即BE⊥CF 中场队员在点A位置得 (2)设点P坐标为(x,y),则FP=（x,y-1), 球，将球传给位于点B的 左边锋，随即快速直向插 FC=(2,1),FP∥FC,∴.x=2(y-1),即x=2y-2, 上.边锋得球后看到对方 同理，由BP∥BE,得y=一2十4，由 后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达 6 点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分 =2y-2, 5 设BC=30m,∠ABC=37°.（取sin37°=0.6，cos 得 y=-2x+ 8 37°=0.8) y5' (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的 位移； .点P的坐标为( 6 (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否 √g+(号P=2=AB1,即AP=A服 相等？ 解：(1)由题意，△ABC为直角三角形， 能力提升 由BC=30m,∠ABC=37°，得AC=BC·tan37 》 12.点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式： =0×8-2.5m,又店+元花 ①OA+OB+OC=0: 所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位 移大小为22.5m,方向为正前方； AB ②OA (2)因为AB十BC=AC,所以中场队员的位移与球 AC 的位移相等， ·48·