6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（人教A版）

第六章平面向量及其应用 课时作业乡 数课时 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 间 学作业 纠错空间 基础过关 》》 7.在△ABC中，点P在BC上，且BP= 1.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a 2PC,点Q是AC的中点，若PA=(4, 一2b的坐标是 ( 3),PQ=(1,5),则BC= A.(7,1) B.(-7,-1) 8.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma C.(-7,1) D.(7,-1) 2.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4, 十b与a-3b共线，则= 7 2),则c= ( 9.平面上有A(2,一1)，B(1,4),D(4, A.3a-b B.3a+b 一3)三点，点C在直线AB上，且AC= C.-a+3b D.a+3b 3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量 号BC,连接DC并延长至E点，使1C正 AB同方向的单位向量为 =1ED1,则点C的坐标为 点E的坐标为 10.已知点A(3,一4)与点B(一1,2)，点P c(-) 在直线AB上，且|AP|=2PB引，求点 方法总结 4.已知向量AB与a=(3,一4)的夹角为 P的坐标 π，且|AB|=2|a|,若A点的坐标为 (一1,2)，则B点的坐标为 A.(-7,10) B.(7,10) C.(5,-6) D.(-5,6) 5.(多选题)向量PA=(k,12),PB=(4, 5),PC=(10,k),若A,B,C三点共线 则k的值可以为 ( A.-2 B.2 C.-11 D.11 6.(多选题)已知点A(2,1),B(0,2),C( 2,1),O(0,0),给出下面四个结论，其中 正确的有 ( A.OC与BA平行 B.AB+BC=CA C.OA+OC=OB D.AC=OB-20A ·269· 世数学 必修第二册 11.已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x), 能力提升 》 空 间 D(6,2x) 12.若对n个向量a1,a2,…,an,存在n个 纠错空间 (1)求实数x,使两向量AB,CD共线； 不全为零的实数1，k2,…,kn,使得 (2)当两向量AB∥CD时，A,B,C,D k1a1十k2a2十…十nan=0成立，则称 四点是否在同一条直线上？ 向量a1,a2,…,an为“线性相关”.依此 规定，能说明a,=(1,0),a2=(1,-1),a =(2,2)“线性相关”的实数k1、2、 依次可以取 .(写出一组数值 即可，不必考虑所有情况) 13.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3, +++,++4+ -4),设AB=a,BC=b,CA=c,且CM =3c,CN=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M、N的坐标及向量MN的 坐标. 方法总结 4年4年 中年中年卡中 4444444444 ·270·世数学 11.解析：，d=aa十b=a(2e1-3e2)十(2e1十3e2)=(2λ 十2)e1十(-3入十3u)e,若d与c共线，则应有实数k, 使d=c,即(2a十2u)e1十(-3λ十3u)e2=2ke1-9e2, 由2以+2以=2.。得A=一24，故存在这样的实数1， (-3入+34=-9k, ,只要入=一2μ，就能使d与c共线. 12.D[:O为△ABC所在平面上一点，D是AB的中点， 动点P满足0P=号[2-2x)0i+(1+2)0Ca∈ R,且号(2-2x)+号(1十2a)=1,P,C,D三点共 线，点P的轨迹一定过△ABC的重心，故选D.] 13.D[:O为三角形ABC内一点，且满足OA十2OB+ 30C=3AB+2 BC+CA .0A+2 0B+3 OC=3(OB-0A)+2(OC-OB)+ (0A-0C)→3OA+0B+20元=0， ,-5,0成+8…-0 SAAOB Sc SAo十SAwc十SA0cSA+S+Sc3·J 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 1.C[设a=(x,y),则x=2018c0s号=1009，y= 2018sin3 =1009W5,故a=(1009,1009V5).] 2.D[由题图知，M1,1)N(-1,-2),则MN=(-1-1, -2-1)=(-2,-3).] 3.C[DA=-AD=-BC=-(AC-AB)=(1,1).] 4.A[BC+CD=BD=AD-AB=(0,1)-(1,1)=(-1, 0),故a=-1,b=0,a十b=-1.] 5.ABD[由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无 数个相等的向量，故C错误.] 6.D[因为a=(x2十x+1,-x2十x-1),x2+x十1=(x +2)+>0,-x+x-1=-（-）-是<0， 故a位于第四象限.] 7.解析：因为点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(6,5)，点 O的坐标为(0,0)，所以向量OA=(2,3),OB=(6,5). 答案：(2,3)(6,5) 8.解析：AC=AB-CB=(1,2)-(-3,-4)=(4,6). 答案：(4,6) 9.解析：由三角函数的定义，可知a与x轴正向的夹角为 云，接逆时针方向旋转受到OP的位置，易知OP=2, ∠xOP=120°.根据三角函数的定义，OA=2cos120°= -1,AP=2sin120°=√5，所以b=(-1,w3). 答案：(-1，w3) ·3 必修第二册 10.解：.b=(-9,12),c=(-2,2),.b-c=(-9,12) (-2,2)=(-7,10),即a=(-7,10)=AB. 又B(1,0),设A点坐标为(x,y),则AB=(1一x,0-y) =(-710-x-7=8, 0-y=10,{y=-10 ,即A点坐标 为(8，-10). 11.解：(1)0P=0A十0B=(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+ 30,若点P在x轴上，则2叶3=0,4=-号 若点P在y轴上，则1十数=0=一白 法技P金家=州化数号K (2)OA=(1,2),PB=OB-OP=(3-3t,3-3t). 若四边形OABP为平行四边形，则OA=PB, 六8-31-该方程组无解 (3-3t=2, 故四边形OABP不能成为平行四边形. 12.解析：F=(3,4)十(2，-5)十(3,1)=(8,0). 设终点为D(x,y),则：F=AD,即(8,0)=(x-1,y-1), 所u一仁所u友有e 答案：(9,1) 13.解：根据题设，画出图形，如图所示， 以O为原点， OA所在直线为工轴建立直角坐 标系， 由三角函数的定义，得A(2,0), B(cos150°，sin150), 中B(-号7）-c8cos240,3sn240, 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 1.B[a=(3,-1),b=(-1,2),.-3a-2b= -3(3,-1)-2(-1,2)=(-7,-1). =,c=0 2.A[设c=xa十yb,则y=4解得=3， x十y=2, -b.] 3.AAB=(3,-4),则与AB同方向的单位向量为AB AB 号3-0=（号-吉） 4.A[由题意知，AB与a的方向相反，又AB=2a, ∴.AB=-2a=-2(3,-4)=(-6,8).设B(x,y),则AB g4 (y=10, 故点B的坐标为(-7,10).] 0 参考答案 $$5 . A D \bot \overrightarrow { A B } = \overrightarrow { P B } - \overrightarrow { P A } = \left( 4 - k ， - 7 \right) ， \overrightarrow { B C } = \overrightarrow { P C } - \overrightarrow { P B } = \left($$ (6，k-5)， ，由题知 $$\overrightarrow { A B } / / \overrightarrow { B C } ，$$ 故 (4-k)(k-5)-(-7)×6 =0， ，解得 k=11 1或 k=-2.7 $$6 . A C D \left[ \overrightarrow { B A } = \left( 2 ， - 1 \right) ， \overrightarrow { O C } = \left( - 2 ， 1 \right) ，$$ ，又 2×1-(-1)× (-2)=0， ，所以 $$\lambda \overrightarrow { O C } 与 \overrightarrow { B A }$$ 平行， A $$\overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } = \overrightarrow { A C } e$$ $$\overrightarrow { C A } ，$$ ，所以 B 不正确. $$\overrightarrow { O A } + \overrightarrow { O C } = \left( 0 ， 2 \right) = \overrightarrow { O B } ，$$ ，所以 C 正 $$\overrightarrow { A C } = \left( - 4 ， 0 \right) ， \overrightarrow { O B } - 2 \overrightarrow { O A } = \left( 0 ， 2 \right) - \left( 4 ， 2 \right) = \left( - 4 ， \right.$$ \left.0)， ，所以 D 正确. 7.解析： $$\overrightarrow { P Q } - \overrightarrow { P A } = \overrightarrow { A Q } = \left( 1 ， 5 \right) - \left( 4 ， 3 \right) = \left( - 3 ， 2 \right) ，$$ ，因为点 Q 是 AC 的中点，所以AQ $$\lambda \overrightarrow { A Q } = \overrightarrow { Q C } ，$$ $$\lambda \overrightarrow { P C } = \overrightarrow { P Q } + \overrightarrow { Q C } =$$ (1，5)+(-3，2)=(-2，7). .因为 $$\overrightarrow { B P } = 2 \overrightarrow { P C } ，$$ 所 $$\lambda \overrightarrow { B C } =$$ BP+PC=3PC=3(-2，7)=(-6，21). 答案： (-6，21) 8.解析：由向量的坐标运算知， ，ma+nb=(2m-n，3m+\right. \left.{2n})，a-3b=(5，-3). .由两向量共线可得 5×(3m+2n) =-3×(2m-n)， ，化简得 $$\frac { m } { n } = - \frac { 1 } { 3 } .$$ 答案： $$- \frac { 1 } { 3 }$$ 9.解析：设O为坐标原点， $$\because \overrightarrow { A C } = \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { B C } ， \therefore \overrightarrow { O C } - \overrightarrow { O A } =$$ $$\frac { 1 } { 2 } \left( \overrightarrow { O C } - \overrightarrow { O B } \right) . \therefore \overrightarrow { O C } = 2 \overrightarrow { O A } - \overrightarrow { O B } = \left( 3 ， - 6 \right) ， \therefore$$ 点C的 坐标为 (3，-6). $$\because \overrightarrow { C E } | = \frac { 1 } { 4 } | \overrightarrow { E D } | ，$$ 且 E 在 DC 的延长线上， ∴ $$\therefore \overrightarrow { C E }$$ $$= - \frac { 1 } { 4 } \overrightarrow { E D } .$$ 设 E(x，y)， 则 $$\left( x - 3 ， y + 6 \right) = - \frac { 1 } { 4 } \left( 4 - x ， - 3 - y \right) ，$$ $$\left\{ x - 3 = - \frac { 1 } { 4 } \left( 4 - x \right) ， \right.$$ 得 $$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac { 8 } { 3 } ， \\ \end{array} \right.$$ $$y + 6 = - \frac { 1 } { 4 } \left( - 3 - y \right)$$ y=-7， ∴ 点E的坐标为 $$\left( \frac { 8 } { 3 } ， - 7 \right)$$ 答案 $$： \left( 3 ， - 6 \right) \left( \frac { 8 } { 3 } ， - 7 \right)$$ 10.解：设P点坐标为 (x，y)，|AP|=2|PB|. 当P在线段AB上时， $$\overrightarrow { A P } = 2 \overrightarrow { P B } .$$ 所以 (x-3，y+4) =2(-1-x，2-y)， 所 $$\left\{ \begin{array}{l} x - 3 = - 2 - 2 x ， \\ y + 4 = 4 - 2 y ， \end{array} \right. 则$$ $$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac { 1 } { 3 } \\ y = 0 ， \end{array} \right.$$ 所以P点坐标 为( $$\left( \frac { 1 } { 3 } ， 0 \right) ，$$ · 35 课时作业乡 当P在线段AB延长线上时，AP=一2PB.所以(x 3,y十4)=-2（-1-x,2-y),所以 x-3=2+2x, 解得=5， y+4=-4+2y, (y=8. 综上所速，点P的坐标为（合0）或(-5,8)。 11.解：(1)AB=(x,1),CD=(4,x).因为AB,CD共线，所 以x2一4=0， 则当x=士2时，两向量AB,CD共线. (2)当x=-2时，BC=(6,-3),AB=(-2,1), 则AB∥BC,此时A,B,C三点共线， 又AB∥CD,从而，当x=-2时，A,B,C,D四点在同一 条直线上」 当x=2时，A,B,C,D四点不共线. 12.解析：据题意，可知k1a1十k2a2十ka3=0, 即k1(1,0)十k2(1,一1)十k3(2,2)=(0,0) (k十k2十3k影=0， {-k+-0… 令k2=2,则k,=1,k1=-4. 答案：-4,2,1 13.解：(1)a=AB=(5,-5),b=BC=(-6,-3),c=CA= (1,8) 3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42): (2)a=nb十c,.(5,-5)=(-6m,-3m)+(n,8n)= (-6m十n,-3m+8n) -6m十n=5 解得m=-1,n=-1; (-3m+8n=-5 (3)设M(x,y),则CM=(x十3，y十4)=(3,24) x十3=3，x=0,y十4=24，y=20.M(0,20),同理V(9, 2),.MN=(9,2)-(0,20)=(9,-18). 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 1.B[由a⊥b,得a·b=0,即4x十x=0,解得x=0,故 选B.] 2,D[向量a在6方向上的花影向量为合·名- .18=（-8,-3y5. 2 2’ 2 3.D[因为a=(x,y),b=(-1,2),所以a十b=(x-1,y 十2)=(1,3)， 所以1=解得{=2 所以a=(2,1), (y+2=3, （y=1, 所以a-2b=(4,-3),所以a-2b=√4十(-3) =5.]