6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

2.提示当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可求点的坐 标.比如A,B,P三点共线且AP=3PB,如果知道点A, B的坐标就可以求出点P的坐标.事实上，由AP=3PB 且A,B,P三点共线，可知AP=3PB或AP=一3PB,这样 根据向量的坐标运算就可以求出，点P的坐标 知识梳理 一、（入x1y1) 二x1y2-x2y1=0 [思考] 提示：通过坐标求出b=λa中的入，入>0，同向；入<0，反向. 预习自测 1.A[.a∥b,.2×(-2)-1×x=0. .x=一4，则b=(一4，一2)， a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).] 2.D3.B 4.3或-1 5.解：AB=(-8,8),AC=(3,y十6). A、B、C三点共线，AB∥AC .-8(y十6)-3×8=0.y=-9. 课堂互动学案 [例1][解]AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3), CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6). :(-2)×(-6)-3×4=0, AB,CD共线. 又CD=-2AB, :AB,CD方向相反. 综上，AB与CD共线且方向相反. [例2][解]方法一：ka十b=k(1,2)十(-3,2) =(k-3,2k十2)， a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), .(ka十b)∥(a-3b), :-4(k-3)-10(2k+2)=0.k=-1 3· 当=一时， 如6=-32+0=（号专）=-号10- .ka十b与a-3b反向. 方法二：同方法一得如十b=(k一3,2k十2)， a-3b=(10,-4) 当ka十b与a一3b平行时，存在唯一实数入，使ka十b=入(a -3b). ·.19 参考答案 由(k-3,2k十2)=λ(10，-4)， /-3=10a (2k+2=-4x. 解得k=X=一子 3时，k如十b与a-3b平行，这时 当k=一 ka十b=- 3a+b=- 3(a-3b), A=-号<0a中b与a-3b反向. [例3][解]方法一：A、B、C三点共线，即AB、BC共线. .存在实数入，使得AB=ABC. 即i-2j=λ(i+mj). 于是/1， ∴.m=-2. （λm=-2 即m=一2时，A、B、C三点共线。 方法二：依题意知i=(1,0),j=(0,1). 则AB=(1,0)-2(0,1)=(1,-2), BC=(1,0)+m(0,1)=(1,m). 而AB、BC共线，1Xm-1×(-2)=0. ∴.=一2..当m=一2时，A、B、C三点共线. 变式训练 1.解：b-c=(3,3), .a=(6,6)=2(3,3)=2(b-c). .b-c与a共线. 2.解：AB=OB-OA=(8,k-3), AC=OC-OA=(-4,7). :A,B,C三点共线，AB与AC共线 .8×7-(k-3)(k-4)=0,即2-7k-44=0. 解得k=一4或k=11. 3.C[由题图可知，A(3,3),B(5,6),C(m,10) 所以AB=(5-3,6-3)=(2,3),BC=(m-5,10-6)= (m-5,4), 因为A店/BC,所以3(m-5》=2X4,解得m=号.] 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课前预习学案 情境引入 1.提示当a∥b时，有x1y2-x2y1=0;当a⊥b时，有工1x,十 y1y2=0,这两种公式，在使用的过程中一定要分清. 2.提示(1)当0为锐角或零角台x1x2十yy2>0: (2)当0为直角台x1x2十y1y2=0; (3)当0为钝角或平角台x1x2十y12<0. 3 数学·必修第二册 知识梳理 一、x1x2十y1y2 乘积的和 二1.√+y2.√x2-1)+(-y) 三、1x2十yMy2=0 四、 x1x2十y1yg √x十y·√十y [思考] 1.提示：方法一：a十b=(1,1)十(2,3)=(3,4)， ∴.a十b=√/32+4=5. 方法二：a2=12+12=2,b2=22+3=13,a·b=1×2+ 1×3=5. .a十b=√a+2a·b+b=√2+2×5+13=5. 2.提示：若a∥b台1y2=x2y1,即x1y2一x2M=0.若ab台 工12=一y1y2,即z1x2十y1y2=0.两个命题不能混淆，可以 对比学习，分别筒记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反， 3.提示：不能.因为a·b<0还包括a、b反向，即a、b夹角 是180°. 预习自测 1.B2.A 3.D[b=√x+16,a=√1+4=√5， .√x2十16=2√5，解得x=士2.] 4.解析：由a⊥b,可得a·b=1×(m十1)十(-1)×(2m-4)= 0,解得m=5. 答案：5 5.解：(1)a-b=(-1,2)-(3,1)=(-4,1), .a·(a-b)=(-1)×(-4)十2×1=6. (2),a-b=(-4,1) ∴.a-b=√(-4)+1下=√17. 课堂互动学案 [例1][解]（方法一），a=(1,2),b=(3,4), .a·b=(1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11, (a-b)·(2a十3b)=2a2+a·b-3b=2a2+a·b-3b2 =2×(12+22)+11-3×(32+42)=-54. (方法二)a=(1,2),b=(3,4),∴.a·b=11. .a-b=(1,2)-(3,4)=(-2,-2), 2a+3b=2(1,2)+3(3,4)=(2×1+3×3,2×2+3×4)= (11,16), ..(a-b)·(2a十3b)=(-2,-2)·(11,16)=-2×11+ (-2)×16=-54. [例2][解](1)，A(1,0),B(0,1),C(2,5), AB=(-1,1),AC=(1,5). ·19 ∴2AB+AC=(-2,2)+(1,5)=(-1,7). .2AB+AC=√-1)+7=√0=52. (2)由(1)知AB=(-1,1),AC=(1,5),.AB·AC=-1X1 +1X5=4,AB=√(-1)+1=√2，AC1=√2+5 =√26. ·cos∠BAC=A店.AC 4=2√13 ABIAC V2X√2613 [例3][解]根据直角的位置不同，可分为3种情形： (1)若∠A=90°，则AB·AC=0, 即2十30=0，得6=-号： (2)若∠B=90°，则AB·BC=0, 因为BC=AC-AB=(-1,k-3), 所以-2+3(k-3)=0,得k=号： (3)若∠C=90°，则AC·BC=0, 所以-1十(k-3)=0,得k=3±国 2 维上可知=一号或=号或生y 2 [例4][解](1)由ka十b=√3a-b,得（如+b)2=3(a 一b)2, k2a2+2ha·b+b=3a2-6k如·b+3kb, .(k2-3)a2十8ka·b十(1-3k2)b=0. :a=√cosa十sina=1,b=√cosB+sinp=1, 六k2-3+8a·b+1-3k=0,a·6=2k+2-2+1 4k 4k 由函数的单调性容易得出，)=子（便十）在(0,1]上单 调递减，在[1，十∞)上单调递增。 当k=1时，k)m=f1)=子X1+1)=2,即a·b的 最小值为2， 先时a与6的夫角0的余然位ca9=日治-子 ∴.0=60°」 变式训练 1.解：(1)a与b同向，且b=(1,2), .可设a=b=λ(1,2)=（入，2λ），且入>0. 又由a·b=20,可得1×λ十2×2λ=20， 解得1=4>0..a=(4,8). (2)b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4, .(b·c)·a=4(4,8)=(16,32). 2.解：(1)a-b2=(a-b)2=a2-2a·b+b =4-2a·b, 又a十b=(3,1),故(a+b)2=4,即a2+2a·b+b=4, 即a·b=0,a十b=2. .|a-b=√4=2. (2)设a十b与a一b的夹角为0， 则cos9=a+b〉：a-D=·二b=1-3=-1 a+b a-b 2X2 4 又9∈[0，π]，故夹角日=2π 31 3.解：a十b=(1,2)十(-3,2)=(k-3,2k十2)， a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 又ka十b与a一3b垂直，故(ka十b)·(a一3b)=0. 即(k-3)·10十(2k十2)·(-4)=0得k=19. 4.解：(1)AC=(2sin0-1,cos0) BC=(2sin 0,cos 0-1) .ACI=BC .√(2sin0-1)+cos0 =√/(2sin8)+(cos8-1)', 化简得2sin0=cos8,an0=子 (2)OA+2OB=(1,2), O元=(2sin0,cos8), :(OA+2 OB).OC=2sin 0+2cos 0=1, :sing十cos0= 1 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用 课前预习学案 知识梳理 一、1.(1)a∥b台a=Ab台x1y2-x2y1=0(b≠0) (2)a⊥b台a·b=0台x1x2十y1y2=0 (3) 2x1x2十yy2 √x十y·√十 [思考] 1.提示：两直线平行应转化为向量的共线问题，两直线垂直应 转化为两向量的垂直问题. 2.提示：合力的大小不一定是8N,应用向量的平行四边形或 三角形法则求合力，合力的大小与力F与，的夹角有关， ·.1 参考答案 预习自测 1.C (CA+CB).(CA-CB)=0, :.CA-CB=0.CA'=CB, ∴.CA=CB,△ABC为等腰三角形.] 2.D 3.A[路程是数量，位移是向量，从而s=500,由位移的合成 易得a<500,故s>a.] 4.5 5.解：A(1,1),B(2,3), 位移AB=(1,2). .力F对质点做的功为W=F·AB=2X1十1X2=4. 课堂互动学案 [例1](1)解析：DG⊥BE,AE⊥BE,.GD∥AC. 设OA=AOD(A≠0)，则AE=ADG.同理AF=ADi 于是FE=AE-AF=A(DG-Di)=aHG. HG∥FE,即HG∥EF. (2)解析：（方法一）设AD=a,AB=b,则a=b,a·b =0, 又D正-DA+正=-a+台，A-A店+B萨=b+g, 所以A,D成=(b+号)(-a+号)=-2a-是a·b 含=-号a-26=0 故AF⊥DE,即AF⊥DE. (方法二)建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边 长为2，则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),AF=(2,1), DE=(1,-2). 因为AF.DE=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以AF⊥DE,即AF⊥DE. AE B [例2][解]设AD=a,AB=b,则BD=a-b,AC=a十b 而BD1=a-b=√a'-2a·b+b下=√1+4-2a·b =√/5-2a·b,.BD2=5-2a·b=4∴.2a·b=1. .AC2=a+b2=a2+2a·b+b=a2+2a·b+b =5+2a·b=6..AC=√6，即AC=√6. [例3][解]如图所示，设木块的位移为s,则 f.☑30°E mnkmmmmmm7 c 95数学·必修第二册 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课程标准 素养解读 通过学习数量积坐标运算的推导，培养逻 1.理解平面向量数量积的坐标表示.会用向量的 辑推理的素养.通过求向量的夹角和模及 坐标形式求数量积、向量的模及两向量的夹角. 在向量垂直中应用坐标运算提升数学运算 2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系. 素养. 课前。预习学案 [情境引入] 当a,b反向时， 1.已知向量a=(1,y1),b=(x2y2),当a与 a·b=-alIb=-√z+y7·√a+y; b平行或垂直时，有什么关系式成立？ 当a,b垂直时， a·b=|a|Iblcos90°=x1x2+y1y2=0. (3)la·b≤lalbl, 即|a·b|=|x1x2+y1y2|≤√+y 2.非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)夹角0的 ·√十. 范围与坐标运算的数量积的关系是什么？ [知识点二]向量模的计算公式 1.若a=(x,y),则a 2.如果向量a的起点坐标和终点坐标分别为 (x1y1),(x2,y2),那么a= 2思考1.已知a=(1,1),b=(2,3),如何求1a十 [知识梳理] bl? [知识点一]平面向量数量积的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= ,即两个向量的数量积等于 它们对应坐标的 若a=(1y1),b=(x2,y2),0是a与b的 [知识点三]两个向量垂直的坐标表示 夹角，则 设a=(x1y),b=(x2),则a1b台】 (1)a.b=lallblcos 0=x1x2+y1y2; 2思考2.已知非零向量a=(x1,y1),b=（x2, 特别地a·a=a=a2=x十yi, y2).a∥b与a⊥b坐标表示有何区别？ 即|a=√+y. (2)当a,b同向时， a·b=|al|bl=√x+y听·x十y: ·26· 第六章平面向量及其应用 [知识点四]向量的夹角公式 3.已知向量a=(1,2),b=(x,4),若|b=2a, a·b 则x的值为 () cos lalbl A.4B.2 C.±4 D.士2 2思考3.a·b<0,能说明向量a·b的夹角0 4.设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若 是钝角吗？ a⊥b,则m= 5.已知向量a=(-1,2),b=(3,1). 求：(1)a·(a-b);(2)|a-b. [预习自测] 1.已知a=(0,1),b=(2,-1),则a·b等于 A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹 角的余弦值为 ( B 65 C.-33 5 D.-63 5 课堂。互动学亲 题型一向量数量积的坐标表宗 规律方法 (1)涉及向量数量积的坐标表示一般利用公 [例1]已知向量a=(1,2),b=(3,4),求a· b,(a-b)·(2a+3b). 式a·b=xx2十yy2求解，其关键是求出 a,b的坐标.(2)若题中涉及图形，则要充分 [思路点拨]利用数量积的坐标表示可直 利用向量终点坐标与起点坐标之差求出向 接求a·b;(a-b)·(2a+3b)可以先展开 量的坐标，再由向量坐标求得数量积。 再求值，也可先分别求a-b及2a+3b的 坐标，再求值 ⊙[变式训练] 1.已知向量a与b同向，b=（1,2),a·b=20. (1)求向量a的坐标； (2)若c=(2,1),求(b·c)·a ·27· 数学·必修第二册 题型二平面向量模、夹角的坐标运算 ⊙[变式训练] [例2]已知A(1,0),B(0,1),C(2,5). 2.已知a=1,|b1=√3，a+b=(3,1).求： 求：(1)2AB+AC的模；(2)cos∠BAC. (1)|a-bl; 汇思路点拨]先求出向量的坐标，再运用 (2)a+b与a一b的夹角. 公式求模、夹角. 题型三向量垂直的坐标表示及应用 [例3]在△ABC中，已知AB=(2,3),AC (1,k),且△ABC的一个内角为直角，求实 数k的值 [思路点拨]利用向量垂直列的方程， 规律方法 再求 (1)求向量式的模有两种方法，一种是先求出 向量式的坐标，然后求模，此种方法比较 简单，如本例().另一种方法是先用求模 公式，再用坐标求模，如本例(1)也可这样 做：|2AB+ACI=,/ (2AB+AC)2 4AB+4AB·AC+AC,再用坐标 分别求出AB,A店·AC,AC,代 规律方法 入求模 (2)坐标求向量夹角的步骤如下： 由于未指定哪个角是直角，故应分三种情形 ①利用平面向量数量积的坐标表示公 讨论，利用向量垂直刻画内角为直角，列出 式求出这两个向量的数量积 k的方程，再求出. ②利用|a=√x2+y计算出这两个 ⊙[变式训练] 向量的模 3.已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与a ③由公式cos0= x1x2十y1y2 直 3b垂直，求k的值. √十y·√十 接求出cos0的值. ④在0≤0≤π内，由cos0的值求角0. 若c0s>0,则0是锐角或零角； 若cos0<0,则0是钝角或平角； 若cos0=0,则0是直角 ·28· 第六章平面向量及其应用 题型四 数量积的综合运用 ⊙[变式训练] [例4]已知a=(cos&,sina),b=(cos3,sin), 4.已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin0,cos0). 且|ka+b|=√3|a-b|(k>0). (1)若|AC=|BC1,求tan0的值. (1)用k表示数量积a·b: (2)若(OA+2OB)·OC=1,其中O为坐标 (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的 原点，求sin0+cos0的值. 夹角0的大小。 汇思路点拨了利用向量的数量积列k的方 程，然后求解。 规律方法 坐标由三角函数表示的向量要注意与单位 圆的关系，模长具有特殊性，比如可以利用 cosa十sina=1等.由三角函数表示的数量 积通常可以应用三角函数的有界性，同时要 C温馨提 学习至此，请完成课时作业(6.3.5) 注意，sina,cosa的取值范围是[-1,1] 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用 课程标准 1.经历用向量方法解决某些简单平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题的过程. 2.体会向量是一种处理几何、物理问题等的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力. 3.掌握用向量方法解决实际问题的基本方法，向量方法解决几何问题的“三步曲”. ● 课前。预习学案 [情境引入] 密切相关，因此，我们可以用向量作为工具，解 我们从求合力、分力等中引入向量的线性 决平面几何中的这些问题. 运算，从求功中引入向量的数量积运算，反之， 通过本课时的学习，我们要体会向量的工 我们也可以用向量来解决物理中的这些问题. 具性作用，体会如何将物理、几何问题转化为 平面几何中的平行与向量共线密切相关， 平面几何中的垂直、角度、距离与向量数量积 向量问题，并加以解决。 ·29·