6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章平面向量及其应用 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课程标准 素养解读 1.理解平面向量数量积的坐标表示.会用向量的 通过学习数量积坐标运算的推导，培养逻辑推理的素养. 坐标形式求数量积、向量的模及两向量的夹角， 通过求向量的夹角和模及在向量垂直中应用坐标运算提 2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系 升数学运算素养。 课前。预习学案 对应学生用书P26 [情境引入] [知识点三]两个向量垂直的坐标表示 1.已知向量a=(x1,y1),b=(2,y2),当a与b平行 设a=(x1y1),b=(22),则a⊥b台12十y为=0. 或垂直时，有什么关系式成立？ ?思考2.已知非零向量a=(x1y1),b=(x2y2). 提示当a∥b时，有x1y2一x2y1=0;当a⊥b时， a∥b与a⊥b坐标表示有何区别？ 有x1x2十y1y2=0,这两种公式，在使用的过程中一 提示：若a∥b台x1y2=x2y1,即x1y2一x2y1=0. 定要分清. 若a⊥b台x1x2=一y1y2,即x1x2十y1y2=0.两个 2.非零向量a=（x1,y1),b=(x2,y2)夹角0的范围与 命题不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横 坐标运算的数量积的关系是什么？ 交错积相等，横横纵纵积相反 提示(1)当0为锐角或零角台x1x2十y1y2>0; (2)当0为直角台x1x2十y1y2=0; [知识点四]向量的夹角公式 (3)当0为钝角或平角台x12十y1y2<0. cos 0- a·b 2x1x2十y1y2 a b [知识梳理] √+听√+ [知识点一]平面向量数量积的坐标表示 2思考3.a·b<0,能说明向量a·b的夹角0是钝 设向量a=（x1y1),b=（22y2),则a·b=212x2十 角吗？ y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘 提示：不能.因为a·b<0还包括a、b反向，即a、 积的和. b夹角是180°. 若a=(x1y1),b=(x2y2),0是a与b的夹角，则 [预习自测] (1)a.b=labcos 0=z122+y1y2; 1.已知a=(0,1),b=(2,-1),则a·b等于( 特别地a·a=a2=a2=x+y, A.1 B.-1 C.2 D.-2 即a=√x十y. 答案：B (2)当a,b同向时， 2.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值 为 ( a·b=a|b|=√Jx+y所·Wx号+y; 当a,b反向时， A器 B器 c器 D. a·b=-|a|b=-√Jx+y7·√x十y; 答案：A 当a,b垂直时， 3.已知向量a=(1,2),b=(x,4),若|b=2a,则x a·b=|a|bcos90°=x1x2+yy2=0. 的值为 (3)a·b≤alb, A.4 B.2 C.±4 D.±2 即|a·b|=|2十y1y2≤√a+yi·√+y. 解析：D[b=√x2+16,a=√1+4=√5， [知识点二]向量模的计算公式 √2+16=2√5，解得x=士2.] 1.若a=(c,y,则a=√2+y 4.设向量a=(1,-1),b=(m十1,2m-4),若a⊥b, 2.如果向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1, 则m=」 解析：由a⊥b,可得a·b=1×(m十1)+(-1)× y),(x2y2),那么a=√(2-x)+(y2-y). (2m-4)=0,解得m=5. 2思考1.已知a=(1,1),b=(2,3),如何求a+b? 答案：5 提示：方法一：a+b=(1,1)+(2,3)=(3,4), 5.已知向量a=(-1,2),b=(3,1) 求：(1)a·(a-b):(2)a-b. ∴.a+b|=√32+4=5. 解：(1)a-b=(-1,2)-(3,1)=(-4,1), 方法二：a2=1+12=2,b2=22+32=13,a .a·(a-b)=(-1)×(-4)+2×1=6. b=1×2+1×3=5. (2).a-b=(-4,1) ∴.la+b=√a+2a·b+b=/2+2×5+13=5. .|a-b|=√(-4)+1'=√17. ·39· 数学·必修第二册 课堂。互动学案 对应学生用书P27 题型一向量数量积的坐标表示 (2)由(1)知AB=(-1,1),AC=1,5),AB.AC [例1]已知向量a=(1,2),b=(3,4),求a·b,(a =-1×1+1×5=4,1AB1=√-1)+1平=2， b)·(2a+3b). 1AC=√P+5=√26. [思路点拨]利用数量积的坐标表示可直接求a ·b;(a-b)·(2a十3b)可以先展开再求值，也可 ∴.cos∠BAC AB·AC 4 2/13 IABIIAC √2X√26 13 先分别求a-b及2a十3b的坐标，再求值 [解]（方法一）：a=(1,2),b=(3,4), .a·b=(1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11, 规律方法 (a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b2=2|a2+a (1)求向量式的模有两种方法，一种是先求出向量式 ·b-3b12=2×(12+22)+11-3×(32+4)= 的坐标，然后求模，此种方法比较简单，如本例(1). -54. 另一种方法是先用求模公式，再用坐标求模，如本 (方法二)a=(1,2),b=(3,4),.a·b=11. a-b=(1,2)-(3,4)=(-2,-2), 例(I)也可这样做：2AB+AC(2AB+AC) 2a+3b=2(1,2)+3(3,4)=(2×1+3×3,2×2+3 4AB+4AB·AC+AC,再用坐标分别求 ×4)=(11,16), ∴.(a-b)·(2a+3b)=(-2,-2)·(11,16)= 出AB,AB·AC,AC,代入求模. -2×11+(-2)×16=-54. (2)坐标求向量夹角的步骤如下： 规律方法 ①利用平面向量数量积的坐标表示公式求出 (1)涉及向量数量积的坐标表示一般利用公式a·b 这两个向量的数量积. =x1x2十y1y2求解，其关键是求出a,b的坐标.(2) ②利用|a|=√x+y计算出这两个向量 若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起 的模。 点坐标之差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数 量积 ③由公式cos0= x十yy2直接求 √+y听·√a+y ◇[变式训练] 出cos0的值. 1.已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b=20. ④在0≤0≤π内，由cos0的值求角0. (1)求向量a的坐标； 若cos>0,则0是锐角或零角： (2)若c=(2,1),求(b·c)·a. 若cos0<0,则0是钝角或平角； 解：(1)a与b同向，且b=(1,2), ∴.可设a=b=入(1,2)=（入，2λ），且>0. 若cos0=0,则0是直角. 又由a·b=20,可得1×入+2×2入=20， ◇[变式训练] 解得入=4>0.∴.a=(4,8). 2.已知a=1,|b=√5，a+b=(√3,1).求： (2),b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4, (1)a-b: .(b·c)·a=4(4,8)=(16,32). (2)a+b与a-b的夹角. 题型二平面向量模、夹角的坐标运算 解：(1)a-b2=(a-b)2=a2-2a·b+b [例2]已知A(1,0),B(0,1),C(2,5). =4-2a·b, 求：(1)2AB十AC的模；(2)cos∠BAC 又a+b=(W3,1),故(a+b)2=4,即a+2a·b+b=4, [思路点拨了先求出向量的坐标，再运用公式求 即a·b=0,a+b|=2. 模、夹角. .|a-b|=√4=2. [解](1)A(1,0),B(0,1),C(2,5), (2)设a十b与a一b的夹角为0， .AB=(-1,1),AC=(1,5). 则cos0=a+b):(a-b)-d-B_=1-3_1 2AB+AC=(-2,2)+(1,5)=(-1,7). a+ba-b2×24 ∴.|2AB+AC1=√(-1)+72=√50=5√2. 又0E[0,π]，故夹角0=2x 31 ·40· 第六章平面向量及其应用 题型三向量垂直的坐标表示及应用 六A2-3+8如·b+1-3k2=0,a·6=2k+2 8k [例3]在△ABC中，已知AB=(2,3),AC=(1,k), k2+1 且△ABC的一个内角为直角，求实数k的值. 4k 思路点拨了利用向量垂直列k的方程，再求， [解]根据直角的位置不同，可分为3种情形： (2a6出-+名。 (1)若∠A=90°，则AB·AC=0, 由函教的单调性容易得出，f(k)=(十名)在(0， 即2+3谈=0，得A=一号： 1]上单调递减，在[1，十∞)上单调递增 (2)若∠B=90°，则AB·BC=0, ÷当=1时f()=f1)=子×1+1)=7，即 4 因为BC=AC-AB=(-1,k-3), 所以-2+30k-3)=0,得号： a·b的最小值为2，此时a与b的夹角0的余弦值 a·b (3)若∠C=90°，则AC·BC=0, cos-a2 所以-1+(k-3)=0,得=3±国 .0=60°. 2 规律方法 综上可知，k=一 或-号发k 3 坐标由三角函数表示的向量要注意与单位圆的关系， 2 规律方法 模长具有特殊性，比如可以利用cos2a十sina=1等.由 由于未指定哪个角是直角，故应分三种情形讨论，利用 三角函数表示的数量积通常可以应用三角函数的有界 向量垂直刻画内角为直角，列出k的方程，再求出k. 性，同时要注意，sina,cosa的取值范围是[一1,1☐. ⊙[变式训练] ◇[变式训练] 3.已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与a-3b垂 4.已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin0,cos0). 直，求的值. (1)若1AC=|BC,求tan0的值 解：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). (2)若(OA+2OB)·OC=1,其中O为坐标原点， 又ka十b与a-3b垂直，故(ka+b)·(a-3b)=0. 求sin0+cos9的值， 即(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0得k=19. 解：(1)AC=(2sin0-1,cos0) 题型四 数量积的综合运用 BC=(2sin 0,cos 0-1) [例4]已知a=(cosa,sina),b=(cos3,sin3),且 a+b=√5a-b|(k>0). IACI=IBC (1)用k表示数量积a·b: .√(2sin0-1)2+cos0 (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角0 =√(2sin0)2+(cos0-1)z, 的大小 汇思路点拨]利用向量的数量积列的方程，然 化简得2sn0=c0s0,an0=司 后求解。 (2).OA+2OB=(1,2), [解](1)由ka+bl=√5a-b|,得(ka+b)2=3 (a-kb)2,∴.k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+ OC=(2sin 0,cos 0), 3k2b2,.(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0. .(OA+2 OB).OC=2sin 0+2cos 0=1, .la=√cosa+sina=1,|b=√cosB+sin3=1, “sin9+c0sf=合 课后。素养提升 对应学生课时P271 基础过关 》 2.已知向量a=(0,一2√3)，b=(1,3),则向量a在b 1.设向量a=(x,1),b=(4,x),且a⊥b,则x的值是 方向上的投影向量为 ( ( A.(,35) B.(-3,-33 A.±2 B.0 C.-2 D.2 2’2 2一 2 解析：B[由a⊥b,得a·b=0,即4x+x=0,解得 x=0,故选B.] D(-3, ·41· 数学·必修第二册 解析：D[向亚a在b方向上的投影向量为“， 解析：AC[tana=-2,.可设P(x,一2x), cos(OP,OQ)= OP·OQ 5x 女-.1-(-是8). b-2 5V51x11 2 2 OP|·1OQ 3.已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a十b=(1,3), 则a-2b= ( 当>0时，os0,00)-5,当<0时， A.1 B.3 C.4 D.5 解析：D[因为a=（x,y),b=(-1,2),所以a十b cos(OP,OQ)=5 1 =(x-1,y+2)=(1,3) 7.若a=2,b=(√2，W2),a·(b-a)+2=0,则向量 所以-1=1 a与b的夹角为 y+2=3 解得∫=2， y=1, 以a=(2,1), 解析：因为b=(√2，√2)，所以b=2.因为a=2, 所以a-2b=(4,-3),所以a-2b=√4+(-3) a·(b-a)+2=0, =5.] 所以a·b-a2=a·b-22=-2,所以a·b=2. 2 4.如图所示的图形中，每一个小正方 、设a与b的夹角为0，则c0s0三8份2义2 形的边长均为1，则(AC-AD)· 名又0C[0,,所以向量a与b的夫角为号 (AB-AD) A.-4 B.-2 答案： C.0 D.4 8.若平面向量a=(1og2x,-1),b=(log2x, 解析：D[如图，建立平面直角 2+log2x),则满足a·b<0的实数x的取值集合 坐标系，每一个小正方形的边长 为 均为1， 解析：由题意可得(1og2x)2-log2x一2<0→(1og2x 故AC=(1,0),AD=(0,2),AB= +1D1og-2)<0,所以-1<1og,x<2,所以2 (2,1), x<4 则(AC-AD)·(AB-AD)=(1,-2)·(2,-1) 答案：{<<4 =2+2=4.] 9.已知a=(2,1)与b=(1,2),要使a十b最小，则实数 5.(多选题)在△ABC中，AB=(2,3),AC=(1,k),若 t的值为 ,a十tb|的最小值为 △ABC是直角三角形，则k的值可能为 ( 解析：.a十b=(2十t,1十2t),∴.a十tb|= 429 A号 B号 C.3±/ 0. √/(t+2)+(2t+1) A +当t= 2 5t+5 解析：ABC[AB=(2,3),AC=(1,k), 考时，a十h有最小位g5 51 .BC=AC-AB=(-1,k-3). 3√5 若∠A=90°，则AB·AC=2×1十3×k=0,.k 答案：音 5 号：若∠B=90,则.武=2X(-1D十3质 10.已知O为坐标原点，OA=(2,5),OB=(3,1),OC =(6,3),则在线段OC上是否存在点M,使得MA 3)=0,.k= 吕：若∠C=9,则.成=1 ⊥MB?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请 说明理由. X(-1)+(k-3)=0,k=3±√3 2 解：假设存在，点M,且OM=入OC=(6以，3x)(0≤入≤1)， 故所家长的植为一号号或生严] ∴.MA=(2-6x,5-3入)，MB=(3-6x,1-3x). 31 2 .MA⊥MB,.(2-6)(3-6λ)+(5-3λ)(1 6.(多选题)角α顶点在坐标原点O,始边与x轴的非 负半轴重合，点P在a的终边上，点Q(一3，一4)， 3)=0,即45X0-48入十1=0，解得入=子或A 且tana=一2，则OP与OQ夹角的余弦值为( 品0M=(2.1D减0i-(得，号》存在M2. A.⑤ 5 取 D.16 5 D或M(号号)满足题。 ·4纪· 第六章平面向量及其应用 11.设平面三点A(1,0),B(0,1),C(2,5), 解析：A[因为在等腰直角三角形AOB中，OA (1)试求向量2AB+AC的模； =a,OB=b,OA=OB=1,所以a=b=1,a·b=0. (2)若向量AB与AC的夹角为0，求cos0; (3)求向量AB在AC上的投影向量， 由题意，可设0P=-b-a)十A·(b+, 解：(1)因为A(1,0),B(0,1),C(2,5),所以AB= (0,1)-(1,0)=(-1,1), A∈R,所以p·(b-a)=-子(b-a)·(b-a)十 AC=(2,5)-(1,0)=(1,5),所以2AB+AC 2(-1,1)+(1,5)=(-1,7), 含(b+a)(b-a)=-1b-a)+2(6-a) 所以|2AB+AC=√(-1)+7=5√2. =(2+6-2a·=1+1-0)=J (2)由(1)知AB=(-1,1),AC=(1,5), 所以c0s0= (-1,1)·(1,5) _2√13 1B.已知a=(,-Db=(兮受，且存在实数长和 √(-1)+1产×√1+5 13 t,使得x=a+(t-3)b,y=一ka十tb,且x⊥y,试 (3)由(2)知向量AB与AC的夹角的余弦为c0s0= 2WE,且AB1=E. 求士士的最小值， t 13 解：由题知，a=2,b=1, 所以向量AB在AC上的投影向量为|AB|cos0· -×2晋.-哈骨 AC ab=5×号-1x9-0iaLh 2 13 LACI √26 由x⊥y得，[a十(t-3)b]·(-a+tb)=0, 能力提升 -》 即-ka2+(t3-3t)b2+(t-tk+3k)a·b=0, 12.如图，在等腰直角三角形AOB .-ka2+(t3-3t)b2=0. 中，设OA=a,OB=b,OA=OB= 1,C为AB上靠近点A的四等 a-2,b1=1k-影，-G t 分点，过C作AB的垂线1，设P 为垂线上任意一点，OP=p,则p·(b一a)= +4-3)=子+2-子. 2 B.2 1 c- n 即当1=一2时，生芒有最小值-子。 6.4 平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用 课程标准 1.经历用向量方法解决某些简单平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题的过程 2.体会向量是一种处理几何、物理问题等的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力. 3.掌握用向量方法解决实际问题的基本方法，向量方法解决几何问题的“三步曲”. 课前。预习学案 对应学生用书P29 [情境引入] 此，我们可以用向量作为工具，解决平面几何中的这 我们从求合力、分力等中引入向量的线性运算， 些问题 从求功中引入向量的数量积运算，反之，我们也可以 通过本课时的学习，我们要体会向量的工具性作 用向量来解决物理中的这些问题. 平面几何中的平行与向量共线密切相关，平面几 用，体会如何将物理、几何问题转化为向量问题，并加 何中的垂直、角度、距离与向量数量积密切相关，因 以解决. ·43·