6.3.1 平面向量基本定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（人教A版）

第六章平面向量及其应用 课时作业多 数课时 6.3平面向量基本定理及坐标表示 学作业 6.3.1 平面向量基本定理 纠错空间 基础过关 5.(多选题)如果e1,e是平面&内两个不 )》 1.若e,e2是平面内的一组基底，则下列四 共线的向量，那么在下列各命题中不正 组向量能作为平面向量的基底的是 确的是 》 A.e1十e2(,∈R)可以表示平面a内 A.e1-e2,e2-e1 的所有向量 B.对于平面a内的任一向量a,使a=e1 B.2e1-e2e1-2e 十e2的实数λ，μ有无数多对 C.2e2-3e1,6e1-4e2 C.若向量入1e十4e2与e1十e2共线， D.e1+e2,e1-e2 则有且只有一个实数入，使1e十4e 2.设D为△ABC所在平面内一点，BC= =λ（λze1十h2e2） 3CD,则 D.若实数入，使e1十e2=0,则入 A.AD-- 店+dG ==0. 6.(多选题)在梯形ABCD中，AB∥CD,AB B访-号店-号d =2CD,E,F分别是AB,CD的中点，AC 方法总结 cAn-号a5+号aC 与BD交于M,设AB=a,AD=b,则下列 结论正确的是 ( DAi-专A店-号AC A.AC=1 +b 3.已知非零向量OA,OB不共线，且2OP= B.BC=-1 +b xOA十yOB,若PA=入AB(入∈R),则x,y 满足的关系是 ( CBi=-a+号b 2 A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 D.EF=- Ta+b 4.在△ABC中，N是AC边上一点，且AN 7.已知e1,e2不共线，a=e1+2e2,b=2e1十 =G,P是BN上的一点，若A正 λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底， 则实数入的取值范围为 mA店+号C,则实数m的值为（ 8.已知a=-e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2 (e1,e2是同一平面内的两个不共线向量)， A号 B号 C.1 D.3 则c为 (用a,b表示). ·265· 世数学 必修第二册 9.已知向量e1,e2不共线，实数x,y满足 能力提升 》 空 间 (2x-3y)e1+(3x-4y)e2=6e1+3e2, 12.已知O为△ABC所在平面上一点，D 纠错空间 则x= y= 10.如图所示，平行四边形ABCD中，M 是AB的中点，动点P满足OP-[(2 是DC的中点，N在线段BC上，且 -2)OD+(1+2λ)OC](入∈R),则点 NC=2BN.已知AM=c,AN=d,试用 P的轨迹一定过△ABC的( c,d表示AB和AD. A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 13.奔驰定理：已知O是△ABC内的一 点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分 别为SA,SB,S,则SA·OA十SB·OB +Sc·OC=0.“奔驰定理”是平面向 量中一个非常优美的结论，因为这个 定理对应的图形与“奔驰”轿车的log0 很相似，故形象地称其为“奔驰定理” 方法总结 设O为三角形ABC内一点，且满足： 11.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2, OA+2 OB+3 OC=3 AB+2 BC+ 其中e1,e不共线，向量c=2e1-9e2, 若存在实数入和，使d=a十b与c CA,则ミ△B= S△ABC 共线，那么实数入和“应该是什么 关系？ 0 A 25 B. C.6 1 D.3 4444444444 ·266·参考答案 所以tan〈a,b)=√5，因为(a,b》∈(0，π)，所以(a,b》= 号，所以a·b=2, 所以|a十2b2=a12十4a·b十4b2≥ 2√4·a2·b+4=12,当且仅当|a|=√21b=2 时等号成立，所以a十2b的最小值为2√5，所以C 正确； 对于D,若a×b=1,bXc=2,且b为单位向量，则 当a=厄，(a,b)=牙，c=4,(bc)=否时，可以等 于ae0-吾+子-登 此时aXc=al·csin(a,c)=42xE+5=2+ 2√5，所以D正确.] 13.解：(1)证明：因为BC·CA=CA·AB,所以(BC-AB) ·CA=0.又因为CA=-(AB+BC),所以-(AB+ BC)·(BC-AB)=0,所以AB=BC,即AB:=花， 所以AB=|BC,所以△ABC为等腰三角形. 2因为B∈[管号]所以a∈[合号】设 AB=B元=a,由BA+BC=2,得BA+BC 4,则有a'十a+2 cosB-=4,所以a=1+c0sB,所以 2 BA.BC-d cos B-cco 21cs 2cos B 2 号1，故BA,BC的取值范国为[一8，号] 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 1.D[选项A中，e1-e2=-(e2-e1),即e1-e2与e2-e1 共线，不能作为基底：选项B中，2e1-e2=2(e1一2e2), 即2e,一e与e-之e共线，不能作为基底；选项C中， 26,-30,=-合(60，-4e,1.即20，-30与60-4e共 线，不能作为基底；选项D中的两个向量不共线，可作为 基底.门 2.A[由BC=3CD得AC-AB=3(AD-AC,即3AD -A店+4AC所以A方=-合A店+专AC.] 3.A[由PA=AAB,得OA-OP=λ(OB-OA),即OP (1+)OA-OB.2 OP=x OA+y OB,. =2+2以，消去X得x中y=2.] y=-2λ ·3 课时作业乡 4.B[如图， 因为AN=多N心，所以A= 号花护=mA店+号C-m A店+号A,因为B,PN三点共线，所以m十号-1，所 以m=子，故选B.] 5.BC[由平面向量基本定理可知，AD是正确的，对于B, 由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定， 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，对于 C,当两向量的系数均为零，即入=入2=41==0时，这 样的入有无数个.故选BC.] 6.ABD[由题意可得，AC=AD DFC 十D心=b+2a,故A正确； BC=BA+AC=-a+b+号a =6子a,故B正确： a 号6-号a,故C错误： 示-EA+AD+D示=-2a+b+十a=b-子a,故D 正确.] 7.解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线.a= e1十2e2,b=2e1十e2,由a≠b即得入≠4. 答案：(-0∞，4)U(4,十∞) 8.解析：设c=a十b,则-2e1十4e2=入(e1十e2)十u(2e1- e),所以2=A十2， 解得2， 故c=2a-2b. (4=λ-， (u=-2, 答案：2a-2b 9.解析：向量e1e2不共线， 2-3)=6解得=-15 3x-4y=3,(y=-12. 答案：-15-12 10,解析：因为四边形ABCD为平行四边形，M为DC的中 点，NC=2BN,所以AM=AD+DM=AD+号AB,AN -=A店+B武=A店+子Ad.因为Ai=c,AN=d,所 号店+茄 a=店+}aD, 解得A店=号(3d-c)AD=号(2c-d. 9 世数学 11.解析：，d=aa十b=a(2e1-3e2)十(2e1十3e2)=(2λ 十2)e1十(-3入十3u)e,若d与c共线，则应有实数k, 使d=c,即(2a十2u)e1十(-3λ十3u)e2=2ke1-9e2, 由2以+2以=2.。得A=一24，故存在这样的实数1， (-3入+34=-9k, ,只要入=一2μ，就能使d与c共线. 12.D[:O为△ABC所在平面上一点，D是AB的中点， 动点P满足0P=号[2-2x)0i+(1+2)0Ca∈ R,且号(2-2x)+号(1十2a)=1,P,C,D三点共 线，点P的轨迹一定过△ABC的重心，故选D.] 13.D[:O为三角形ABC内一点，且满足OA十2OB+ 30C=3AB+2 BC+CA .0A+2 0B+3 OC=3(OB-0A)+2(OC-OB)+ (0A-0C)→3OA+0B+20元=0， ,-5,0成+8…-0 SAAOB Sc SAo十SAwc十SA0cSA+S+Sc3·J 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 1.C[设a=(x,y),则x=2018c0s号=1009，y= 2018sin3 =1009W5,故a=(1009,1009V5).] 2.D[由题图知，M1,1)N(-1,-2),则MN=(-1-1, -2-1)=(-2,-3).] 3.C[DA=-AD=-BC=-(AC-AB)=(1,1).] 4.A[BC+CD=BD=AD-AB=(0,1)-(1,1)=(-1, 0),故a=-1,b=0,a十b=-1.] 5.ABD[由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无 数个相等的向量，故C错误.] 6.D[因为a=(x2十x+1,-x2十x-1),x2+x十1=(x +2)+>0,-x+x-1=-（-）-是<0， 故a位于第四象限.] 7.解析：因为点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(6,5)，点 O的坐标为(0,0)，所以向量OA=(2,3),OB=(6,5). 答案：(2,3)(6,5) 8.解析：AC=AB-CB=(1,2)-(-3,-4)=(4,6). 答案：(4,6) 9.解析：由三角函数的定义，可知a与x轴正向的夹角为 云，接逆时针方向旋转受到OP的位置，易知OP=2, ∠xOP=120°.根据三角函数的定义，OA=2cos120°= -1,AP=2sin120°=√5，所以b=(-1,w3). 答案：(-1，w3) ·3 必修第二册 10.解：.b=(-9,12),c=(-2,2),.b-c=(-9,12) (-2,2)=(-7,10),即a=(-7,10)=AB. 又B(1,0),设A点坐标为(x,y),则AB=(1一x,0-y) =(-710-x-7=8, 0-y=10,{y=-10 ,即A点坐标 为(8，-10). 11.解：(1)0P=0A十0B=(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+ 30,若点P在x轴上，则2叶3=0,4=-号 若点P在y轴上，则1十数=0=一白 法技P金家=州化数号K (2)OA=(1,2),PB=OB-OP=(3-3t,3-3t). 若四边形OABP为平行四边形，则OA=PB, 六8-31-该方程组无解 (3-3t=2, 故四边形OABP不能成为平行四边形. 12.解析：F=(3,4)十(2，-5)十(3,1)=(8,0). 设终点为D(x,y),则：F=AD,即(8,0)=(x-1,y-1), 所u一仁所u友有e 答案：(9,1) 13.解：根据题设，画出图形，如图所示， 以O为原点， OA所在直线为工轴建立直角坐 标系， 由三角函数的定义，得A(2,0), B(cos150°，sin150), 中B(-号7）-c8cos240,3sn240, 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 1.B[a=(3,-1),b=(-1,2),.-3a-2b= -3(3,-1)-2(-1,2)=(-7,-1). =,c=0 2.A[设c=xa十yb,则y=4解得=3， x十y=2, -b.] 3.AAB=(3,-4),则与AB同方向的单位向量为AB AB 号3-0=（号-吉） 4.A[由题意知，AB与a的方向相反，又AB=2a, ∴.AB=-2a=-2(3,-4)=(-6,8).设B(x,y),则AB g4 (y=10, 故点B的坐标为(-7,10).] 0