6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 4.解析：：a十b=(2m十n,m-2n)=(9,-8), 12m十n=9, (m=2, .∴.m-n=2-5=-3. (m-2n=-8,(n=5, 答案：-3 5.解析：AC=O元-OA, :0元=AC+0A=(-4,-3)+(0,1)=(-4,-2), BC-=0元-OB=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4. 课堂互动学案 [例1][解]由题意知，点B,D分别是30°，120°角的终边与单 位圆的交点。 设B(x1y1),D(x2y). 由三角画数的定义，得=c0s30°=巨】 ,y=sin30°= x2=c0s120°= %=n120-9, a(9)(合号) -(,)市-() [例2][解]如图，由 向量加法的平行四边 形法则可知 BD=BA+BC=[-2 -(-10),1-3]+[3-3-2-10 1 (-1),4-3]=(3,-1) 0D=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2).所以顶点D的 坐标为(2,2). [例3][解]设，点P的坐标为(x,y),则OP=(x,y), :AB=(4t,5)-(1,t)=(4t-1,5-t), ∴0P=0A-AB=(1,t)-(4t-1,5-t)=(2-4t,2t-5), (x=2-4t ∷ (y=2t-5 1)若点P在x轴上，则y=21-5=0d=号： (2)若点P在y轴上，则x=2-4t=0,t=号： 2-4t>0, (3)若点P在第四象限，则{ 解得t长 .1 (2t-5<0, ·19: 变式训练 1.解：设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2), 则a1=acos45°=2X a,=asin45°=2x2=2. 4=bcos120=3×(2）=-是， 6=bsim120°=3×5=3y5, 2 c1=cc0s(-30)=4x5=25, 2 =csim(-30)=4×(2）-2. 国比a=E@b-(是39）c=26,2以 2.解：AD=(-3,5),BD=(-4,2),CD=(-5,1), ∴.AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). AD-CD=(-3,5)-(-5,1)=(2,4). 3.解：设点P的坐标为(xy), 则AP=(xy)-(入，3)=(x-A,y-3), 又AB=(5,2A)-(,3)=(5-λ，2-3)， AC=(4,5)-(1,3)=(4-λ，2)， :AP=AB+AC=(5-X,2以-3)+4-A,2)=(9-2以，2以-1D, 1x-1=9-2 x=9-入 ,则{ (y-3=2-1(y=2λ+2 (1)若P在一、三象限角平分线上， 则9-X=2级+2A=子 9-λ>0 (2)若P在第一象限内，则 2λ+2>0 ∴.-1λ<9. A=子时点P在一三象限角平分线上： 一1<λ<9时，点P在第一象限内」 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 课前预习学案 情境引入 1.提示利用向量平行（共线）可以证明向量共线、三点共线， 解决有关平行问题 2.提示当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可求点的坐 标.比如A,B,P三点共线且AP=3PB,如果知道点A, B的坐标就可以求出点P的坐标.事实上，由AP=3PB 且A,B,P三点共线，可知AP=3PB或AP=一3PB,这样 根据向量的坐标运算就可以求出，点P的坐标 知识梳理 一、（入x1y1) 二x1y2-x2y1=0 [思考] 提示：通过坐标求出b=λa中的入，入>0，同向；入<0，反向. 预习自测 1.A[.a∥b,.2×(-2)-1×x=0. .x=一4，则b=(一4，一2)， a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).] 2.D3.B 4.3或-1 5.解：AB=(-8,8),AC=(3,y十6). A、B、C三点共线，AB∥AC .-8(y十6)-3×8=0.y=-9. 课堂互动学案 [例1][解]AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3), CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6). :(-2)×(-6)-3×4=0, AB,CD共线. 又CD=-2AB, :AB,CD方向相反. 综上，AB与CD共线且方向相反. [例2][解]方法一：ka十b=k(1,2)十(-3,2) =(k-3,2k十2)， a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), .(ka十b)∥(a-3b), :-4(k-3)-10(2k+2)=0.k=-1 3· 当=一时， 如6=-32+0=（号专）=-号10- .ka十b与a-3b反向. 方法二：同方法一得如十b=(k一3,2k十2)， a-3b=(10,-4) 当ka十b与a一3b平行时，存在唯一实数入，使ka十b=入(a -3b). ·.19 参考答案 由(k-3,2k十2)=λ(10，-4)， /-3=10a (2k+2=-4x. 解得k=X=一子 3时，k如十b与a-3b平行，这时 当k=一 ka十b=- 3a+b=- 3(a-3b), A=-号<0a中b与a-3b反向. [例3][解]方法一：A、B、C三点共线，即AB、BC共线. .存在实数入，使得AB=ABC. 即i-2j=λ(i+mj). 于是/1， ∴.m=-2. （λm=-2 即m=一2时，A、B、C三点共线。 方法二：依题意知i=(1,0),j=(0,1). 则AB=(1,0)-2(0,1)=(1,-2), BC=(1,0)+m(0,1)=(1,m). 而AB、BC共线，1Xm-1×(-2)=0. ∴.=一2..当m=一2时，A、B、C三点共线. 变式训练 1.解：b-c=(3,3), .a=(6,6)=2(3,3)=2(b-c). .b-c与a共线. 2.解：AB=OB-OA=(8,k-3), AC=OC-OA=(-4,7). :A,B,C三点共线，AB与AC共线 .8×7-(k-3)(k-4)=0,即2-7k-44=0. 解得k=一4或k=11. 3.C[由题图可知，A(3,3),B(5,6),C(m,10) 所以AB=(5-3,6-3)=(2,3),BC=(m-5,10-6)= (m-5,4), 因为A店/BC,所以3(m-5》=2X4,解得m=号.] 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课前预习学案 情境引入 1.提示当a∥b时，有x1y2-x2y1=0;当a⊥b时，有工1x,十 y1y2=0,这两种公式，在使用的过程中一定要分清. 2.提示(1)当0为锐角或零角台x1x2十yy2>0: (2)当0为直角台x1x2十y1y2=0; (3)当0为钝角或平角台x1x2十y12<0. 3第六章平面向量及其应用 题型三向量坐标运算的综合应用 (2)解答这类由参数决定点的位置的题目， [例3]已知点O(0,0),A(1,t),B(4t,5)及 关键是列出满足条件的含参数的方程 OP=OA一AB,试求t为何值时： (组)，解这个方程（组），就能达到解题的 (1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上； 目的， (3)点P在第四象限 ⊙[变式训练] [思路点拨]设出点P的坐标为(x,y), 3.已知点A(λ，3)，B(5,2λ)（λ∈R),C(4,5). 利用OP=OA一AB列方程组用t表示P 若AP=AB十AC,试求入为何值时， 的坐标(x,y),再利用点P所在的位置求t (1)点P在一、三象限角平分线上： 的值或范围 (2)点P在第一象限内. 规律方法 向量中含参数问题的求解策略 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标， 如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示 C温馨提 向量的点的坐标的位置会随之改变 学习至此，请完成课时作业(6.3.2、6.3.3) 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 课程标准 素养解读 1.通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量. 通过学习平面向量及运算的坐标 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 表示，重点培养学生的数学运算， 3.会根据平面向量的坐标判断向量是否共线， 逻辑推理素养. 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 1.向量（共线）平行的用途是什么？ 知识点一]实数与向量的积的坐标表示 设入∈R,则λa=入(x1i+y1j)=入x1i+入y1, λa 即实数与向量数乘的坐 2.当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运 标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积. 算求点的坐标？ [知识点二]平面向量平行的坐标表示 在平面直角坐标系中，a=（x1,y1),b=(x2, y2),b≠0，若a∥b,则存在实数入，使得a= ·23· 数学·必修第二册 b,可知x1i+y1j=1(x2i+y2j)=x2i+ 2.下列各组的两个向量，共线的是 y2j.于是 x1=入x2, A.a1=(-2,3),b1=(4,6) y1=y2. B.a2=(1,-2),b2=(7,14) 消去入，得x1y2一x2y1=0. C.a3=(2,3),b3=(3,2) 这就是说，向量a,b(b≠0)共线的充要条件 D.a4=(-3,2),b4=(6,-4) 是 3.若O0,0),B(-1,3),且OA=3OB,则点A的 坐标为 ( ?思考如果两个非零向量共线，你能通过它们 A.(3,9) B.(-3,9) 的坐标判断它们同向还是反向吗？ C.(-3,3) D.(3,-3) 4.已知a=(x-2,2),b=(3,2x),且a∥b,则 x的值为 [预习自测] 5.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线， 1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b, 求y的值. 则a+b等于 A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1) 课堂。互动学案 题型一 向量共线的判定 规律方法 (1)利用向量共线定理（几何）或向量共线坐 [例1]已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5, 标的条件（代数）进行两向量是否共线的 一3).判断AB与CD是否共线？如果共线， 判断 它们的方向相同还是相反？ (2)利用b=入a中入的正负判断a,b同向还 工思路点拨]利用向量共线的坐标表示进 是反向， 行判断. ◇[变式训练] 1.已知a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则b c与a共线吗？ ·24· 第六章平面向量及其应用 题型三利用向量共线求参数的值 题型三 由共线向量的坐标表示证明点共线、 线平行问题 [例2已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何 [例3]如果向量AB=i-2j,BC=i+m,其 值时，a+b与a一3b平行？平行时它们是 中i、j分别是x轴，y轴正方向上的单位向 同向还是反向？ 量，试确定实数m的值使A、B、C三点 [思路点拨]先求出两向量的坐标，再利 共线 用向量共线的坐标表示列出k的方程，再 [思路点拨]A,B,C三点共线时确定m 求飞的值，也可以利用共线向量定理求解. 的值，则一定有AB=入BC成立.所以可利 用向量相等，列方程组求解m即可，也可 以先求出AB、BC的坐标，再利用共线向量 坐标表示列出m的方程求m. 规律方法 规律方法 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题.两个 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般 向量共线只需满足方向相同或相反，两个向 有两种处理思路：一是利用共线向量定理α 量共线与两个向量平行是一致的.利用向量 =λb(b≠0)列方程组求解；二是利用向量 平行证明三点共线需分两步完成：①证明向 共线的坐标表达式x1y2一x2y1=0直接 量平行；②证明两个向量有公共点. 求解， (2)直线的平行问题也是转化为向量共线， ◇[变式训练] ◇[变式训练] 2.向量OA=(4,3),OB=(12,k),OC=(k, 3.某同学因兴趣爱 好，自己绘制了 10),当k为何值时，A,B,C三点共线？ 一个迷宫图，其 图纸如图所示， 该同学为让迷宫 图更加美观，在 绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻 度，该同学发现图中A,B,C三点恰好共线， 则m= A.7 B号 c号 D.8 ©温馨提污 学习至此，请完成课时作业(6.3.4) ·25