6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

第六章平面向量及其应用 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 课程标准 素养解读 1.通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量， 通过学习平面向量及运算的坐标表示，重点培 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 养学生的数学运算，逻辑推理素养. 3.会根据平面向量的坐标判断向量是否共线. 课前。预习学案 对应学生用书P23 [情境引入] [预习自测] 1.向量（共线）平行的用途是什么？ 1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a十b 提示利用向量平行（共线）可以证明向量共线、三 等于 点共线，解决有关平行问题， A.(-2,-1) B.(2,1) 2.当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运算求点 C.(3,-1) D.(-3,1) 的坐标？ 解析：A[.a∥b,.2×(-2)-1Xx=0. 提示当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可 求点的坐标.比如A,B,P三点共线且AP|= x=一4，则b=(一4，一2)， 3PB,如果知道点A,B的坐标就可以求出点P a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).] 的坐标.事实上，由AP|=3PB|且A,B,P三点 2.下列各组的两个向量，共线的是 共线，可知AP=3PB或AP=一3PB,这样根据向 A.a1=(-2,3),b1=(4,6) 量的坐标运算就可以求出点P的坐标 B.a2=(1,-2),b2=(7,14) [知识梳理] C.a3=(2,3),b3=(3,2) [知识点一]实数与向量的积的坐标表示 D.a,=(-3,2),b,=(6,-4) 设入∈R,则a=入(x,i+y1j)=入，i+入y1j,a= 答案：D (入x1,入y,).即实数与向量数乘的坐标等于这个实 3.若O(0,0),B(-1,3),且OA=3OB,则点A的坐 数与向量的相应坐标的乘积. 标为 ( [知识点二]平面向量平行的坐标表示 A.(3,9) B.(-3,9) 在平面直角坐标系中，a=(x1,y1),b=（x2,y2),b ≠0，若a∥b,则存在实数，使得a=b,可知x1i十 C.(-3,3) D.(3,-3) 答案：B /=xi计)=江，i计x1.于是{=， (y1=入y2 4.已知a=(x-2,2),b=(3,2x),且a∥b,则x的值 消去入，得x1y2一2x2y1=0. 为 这就是说，向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y2 答案：3或-1 一x2y1=0. 5.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线，求y ?思考如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐 的值. 标判断它们同向还是反向吗？ 解：AB=(-8,8),AC=(3,y+6). 提示：通过坐标求出b=入a中的入，入>0，同向； A、B、C三点共线，∴AB∥AC 入<0，反向. .-8(y+6)-3×8=0..y=-9. 35· 数学·必修第二册 课堂。互动学案 对应学生用书P24 ● 题型一 向量共线的判定 规律方法 [例1]已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种 断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同 处理思路：一是利用共线向量定理a=入b(b≠0)列 还是相反？ 方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式y2 [思路点拨利用向量共线的坐标表示进行判断。 二22y1=0直接求解. [解]AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3), ◇[变式训练] CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6). 2.向量OA=(4,3),OB=(12,k),OC=(k,10),当 (-2)×(-6)-3×4=0,AB,CD共线 为何值时，A,B,C三点共线？ 又CD=-2AB,∴.AB,CD方向相反， 解：AB=OB-OA=(8,k-3), 综上，AB与CD共线且方向相反. AC=OC-OA=(k-4,7) 规律方法 (1)利用向量共线定理（几何）或向量共线坐标的条 :A,B,C三点共线，AB与AC共线 件（代数）进行两向量是否共线的判断. .8×7-(-3)(k-4)=0,即k2-7k-44=0. (2)利用b=入a中入的正负判断a,b同向还是反向. 解得k=一4或k=11. ◇[变式训练] 题型三 由共线向量的坐标表示证明点共线、] 1.已知a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则b-c与a 线平行问题 共线吗？ [例3]如果向量AB=i-2j,BC=i+m,其中i、j分 解：b-c=(3,3),.a=(6,6)=2(3,3)=2(b c)..b-c与a共线. 别是x轴，y轴正方向上的单位向量，试确定实数 题型二利用向量共线求参数的值 m的值使A、B、C三点共线。 [例2]已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时， 汇思路点拨]A,B,C三点共线时确定m的值， ba+b与a一3b平行？平行时它们是同向还是 则一定有AB=入BC成立.所以可利用向量相等， 反向？ 列方程组求解m即可.也可以先求出AB、BC的坐 汇思路点拨]先求出两向量的坐标，再利用向量 共线的坐标表示列出的方程，再求的值，也可 标，再利用共线向量坐标表示列出m的方程 以利用共线向量定理求解. 求m. [解]方法一：ka十b=k(1,2)十(-3,2) [解]方法一：A、B、C三，点共线，即AB、BC共线 =(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10, ∴.存在实数入，使得AB=入BC 4),.(ka+b)∥(a-3b),.-4(k-3)-10(2k +2)=0.k=-1 即i-2j=λ(i+m). 31 于是=1， 当k=一 合时，如十6=(-3,2张十2) an=-2m=-2. 即m=一2时，A、B、C三点共线. 方法二：依题意知i=(1,0),j=(0,1) .ka十b与a-3b反向 则AB=(1,0)-2(0,1)=(1,-2), 方法二：同方法一得ka十b=(k-3,2k十2)， BC=(1,0)+m(0,1)=(1,m). a-3b=(10,-4) 当ka十b与a一3b平行时，存在唯一实数入，使a 而AB、BC共线，∴.1Xm-1×(-2)=0. +b=λ(a-3b). .m=-2..当m=-2时，A、B、C三，点共线 由(k-3,2k+2)=(10,-4), 规律方法 :伦310a:a解得k=入=-合 {2k+2=-4入. (1)三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量 当及=一子时，a十b与a-一3动平折，这时 共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与 两个向量平行是一致的.利用向量平行证明三点 a十b=3a+b=子a3b1, 1 共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两 个向量有公共点. X=一号<0a十b与a一3b反向. (2)直线的平行问题也是转化为向量共线， ·36· 第六章平面向量及其应用 ◇[变式训练] A.7 D.8 3.某同学因兴趣爱好，自己绘 号 c婴 制了一个迷宫图，其图纸如 解析：C[由题图可知，A(3,3),B(5,6),C(m,10) 图所示，该同学为让迷宫图 所以AB=(5-3,6-3)=(2,3),BC=(m-5,10 更加美观，在绘制过程中， 按单位长度给迷宫图标记 6)=(m-5,4),因为AB∥BC,所以3(m-5)=2× 了刻度，该同学发现图中 0 A,B,C三点恰好共线，则m= 4,解得m=空] 课后。素养提升 对应学生课时P269 基础过关 》 5.(多选题)向量PA=(k,12),PB=(4,5),PC 1.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b的坐 (10,k),若A,B,C三点共线，则k的值可以为 标是 ( ) ( A.(7,1) B.(-7,-1) A.-2 B.2 C.-11 D.11 C.(-7,1) D.(7,-1) 解析：AD[AB=PB-PA=(4-k,-7),BC 解析：B[a=(3,-1),b=(-1,2),.-3a-2b PC-PB=(6,k-5),由题知AB∥BC,故(4-k)(k =-3(3,-1)-2(-1,2)=(-7,-1).] -5)-(-7)×6=0,解得k=11或k=-2.] 2.若向量a=(1,1),b=(一1,1)，c=(4,2),则c= 6.(多选题)已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0, ( 0),给出下面四个结论，其中正确的有 A.3a-b B.3a+b A.OC与BA平行 B.AB+BC=CA C.-a+3b D.a+3b 口一y=4解得 C.OA+OC-OB D.AC-O店-2OA 解析：A[设c=xa十yb,则 a+y=2, 解析：ACD[BA=(2,-1),O元-(-2,1)，又2X {63c=a] 2=3, 1-(-1)×(-2)=0,所以OC与BA平行，A正确. AB+BC=AC≠CA,所以B不正确.OA+OC- 3.已知点A(1,3),B(4,一1)，则与向量AB同方向的 (0,2)=OB,所以C正确.AC=(-4,0),OB 单位向量为 ( 2OA=(0,2)-(4,2)=(-4,0),所以D正确.] A() B(侍-) 7.在△ABC中，点P在BC上，且BP-2PC,点Q是 c() n() AC的中点，若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC 解析：AAB=(3,一4)，则与AB同方向的单位向 解析：PQ-PA=AQ=(1,5)-(4,3)=(-3,2), 量为AB 因为点Q是AC的中点，所以AQ=QC,所以PC= AB PQ+QC=(1,5)+(-3,2)=(-2,7).因为BP= 4.已知向量AB与a=(3,-4)的夹角为元，且AB= 2PC,所以BC=BP+PC=3PC=3(-2,7)= 2a,若A点的坐标为（一1,2），则B点的坐标为 (-6,21). ( 答案：（一6,21） A.(-7,10) B.(7,10) 8.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma十b与a C.(5,-6) D.(-5,6) 解析：A[由题意知，AB与a的方向相反，又|AB 3b共线，则% 解析：由向量的坐标运算知，ma十nb=（2m一n,3m =2a,∴.AB=-2a=-2(3,-4)=(-6,8).设 +2n),a一3b=(5,-3).由两向量共线可得5× B,.则A店=(+1y-2十1二。6解 {y-2=8, (3m十2m)=-3×(2m-),化简得0=-1 31 得27， 故点B的坐标为(-7,10).] y=10, 答案：} ·37· 数学·必修第二册 9.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点，点C 解：(1)AB=(,1),CD=(4,2).因为AB,CD共 在直线AB上，且AC-2BC,连接DC并延长至E 线，所以x2一4=0， 点，使CE=ED1,则点C的坐标为 则当x=士2时，两向量AB,CD共线. 点E的坐标为 (2)当x=-2时，BC=(6,-3),AB=(-2,1), 解析：设0为坐标原点，：AC=Bd,0元-O 则AB∥BC,此时A,B,C三点共线， =20d-0i.0=20i-0i=(8,-6. 叉AB∥CD,从而，当x=-2时，A,B,C,D四点 在同一条直线上。 点C的坐标为(3，一6). 当x=2时，A,B,C,D四，点不共线. 又：1C它=ED,且E在DC的延长线上， 能力提升 》 ∴C弦=}E成 12.若对n个向量a1,a2,…,an,存在n个不全为零的 实数k1,k2,…,kn,使得k1a1十k2a2十…十kan=0 设E,),则(2-3，y十6)=-二4一x,-3-), 4 成立，则称向量a1,a2,…,an为“线性相关”.依此规 [x-3=-1(4-x), 定，能说明a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“线 得 ,得 3 性相关”的实数k1、2、3依次可以取 y+6=- y=-7, (写出一组数值即可，不必考虑所有情况) “点正的坐标为（管，一 解析：据题意，可知1a1十k2a2十3a3=0, 即k(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=(0,0). 答案：(3，-6) (- k1+k2+3k3=0, 令k2=2,则k3=1,k1=-4. 10.已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB (-k2+2k3=0, 答案：-4,2,1 上，且|AP=2PB,求点P的坐标. 解：设P点坐标为(x,y),AP|=2PB. 13.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB= 当P在线段AB上时，AP=2PB.所以(x-3,y a,BC-b,CA=c,HCM=3c,CN--2b. +4)=2(-1-x,2-y), (1)求3a+b-3c: (2)求满足a=mb十c的实数m,n; 所以 2-3=-2-2x, 1 解得 y+4=4-2y, =3'所以P点坐 (3)求M、N的坐标及向量MN的坐标. y=0. 标为（合0 解：(1)a=AB=(5,-5),b=BC=(-6,-3),c =CA=(1,8) 当P在线段AB延长线上时，AP=一2PB.所以 3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)= (x-3,y十4)=-2(-1-x,2-y),所以 (6,-42): -3=2+2x, 解得=一5， (2)a=mb+c,.(5,-5)=(-6m,-3m)+(n, {y+4=-4+2y,1 y=8. 8n)=(-6m+n,-3m+8n) 第上所速，点P的垒标为（仔0）或（一58》 -6m+n=5 解得m=-1,n=-1; 11.已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x). -3m+8n=-5 (1)求实数x,使两向量AB,CD共线； (3)设M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24) (2)当两向量AB∥CD时，A,B,C,D四点是否在 x十3=3，x=0,y十4=24，y=20.M(0,20),同理 同一条直线上？ N(9,2),.MN=(9,2)-(0,20)=(9,-18). ·38·