6.2.4 向量的数量积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（人教A版）

第六章平面向量及其应用 课时作业乡 数课时 6.2.4 向量的数量积 学作业 纠错空间 基础过关 A.a∥b B.a⊥b >》 1.给出以下五个结论①0·a=0:②a·b C.lal=lb D.a+b-a-b =b·a;③a2=|a2;④(a·b)·c=a· 7.一物体在力F的作用下沿水平方向由A (b·c);⑤|a·b≤a·b,其中正确结 运动至B,已知AB=10米，F与水平方 论的个数为 ( 向的夹角为60°，|F=5牛顿，物体从A A.1 B.2 至B力F所做的功W= C.3 D.4 8.已知向量a,b满足(a+2b)·(5a-4b)= 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,则 0,且|a=|b=1.则a与b的夹角0为 AB·AC等于 ( 9.已知在△ABC中，AB=AC=4,AB·AC A.-16 B.-8 =8,则△ABC的形状是 ,AB. C.8 D.16 BC= 3.已知a,b方向相同，且|a=2,|b=4,则 10.已知向量a,b满足a=1,|b=4,且 12a+3b= a,b的夹角为60°. A.16 B.256 (1)求(2a-b)·(a+b): C.8 D.64 方法总结 (2)若(a十b)⊥(a一2b),求实数入 4.在△ABC中，AB=a,BC=b,且a·b> 的值. 0,则△ABC是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 5.(多选题)已向量a,b和实数入，下列选 项中正确的是 ( A.lal2=a2 B.|a·b=|alIb C.a(a+b)=λa+λb D.|a·b|≤a|Ib 6.(多选题)已知两个非零向量a,b满足|a +bl=|a一b,则下面结论错误的是 ·263· 世数学 必修第二册 11.设a=e,+2e2,b=-3e,+2e2,其中e11 能力提升 >》 空 间 e且e=e=l. 12.(多选)定义：已知两个非零向量a与b (1)求a+b的值； 纠错空间 的夹角为0.我们把数量|aIb|sin0叫 (2)当k为何值时，ka十b与a一3b互相 做向量a与b的叉乘a×b的模，记作|a 垂直 ×b1,即|a×b=|al|bsin0.则下列命 题中正确的有 () A.若平行四边形ABCD的面积为4，则 IABXADI=4 B.在正△ABC中，若AD=|ABXAC (AB+AC,则AD +++++ BCI 3 C.若|a×b|=√3，a·b=1,则|a+2b 的最小值为2√ D.若|a×b=1,|b×c|=2,且b为单位 向量，则|a×c的值可能为2+2√3 13.在△ABC中，设BC.CA=CA·AB. 方法总结 (1)求证：△ABC为等腰三角形； (2②若BA+C1=2B∈[昏爱1，求 。。 BA·BC的取值范围. 4.444444444 ·264·世数学 11.解析：(1)：AC=AB十BC=(3a-2b)十(-2a十4b)=a +2b,又CD=-2a-4b=-2(a+2b)CD=-2AC, .CD与AC共线.又CD与AC有公共点C,故A,C,D 三点共线 (2)证明：：AD=AB+BD=(a+2b)+(2a-4b)=3a -2b=BC,又A,B,C,D四，点不共线，.四边形ABCD 是平行四边形 12解折：如国所示，说-店。 AQ=专Ac, 则AM=AP+AQ.由平行四边A 形法则知，MQ∥AB, 1 S△ABM 专了同理△三之：SAN S△ABC Ac 3 答案：2：3 13.解：b与a十c共线.证明如下：a十b与c共线，.存在 唯一实数，使得a十b=c.① ,b十c与a共线，∴.存在唯一实数u,使得b十c=ua.② 由①-②得，a-c=λc-a.∴.(1十)a=(1十λ)c.又 a与c不共线，.1十=0,1十A=0,u=-1,A=-1, .a十b=-c,即a十b十c=0.,∴.a十c=-b.故a十c与b 共线 6.2.4向量的数量积 1.C[①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b· c)与a共线，故④错误；a·b是一实数，应该有a·b ≥a·b,故⑤错误.] 2.D 3.A[,2a+3b12=4a2+9b+12a·b=16+144+96= 256,.2a十3b=16.] 4.D[由AB·BC>0知，BA·BC<0,即角B为钝角.] 5.ACD[选项B中，a·b=|ab cos8,其中9为a 与b的夹角.] 6.ACD[由a+b=a-b可得a·b=0,.ab,B 正确.门 7.解析：由物理知识知W=F·s=F·scos0=5X 10×c0s60°=25（焦耳）. 答案：25焦耳 ·3 必修第二册 8.解析：因为(a十2b)·(5a一4b)=0,a=b=1,所以 6a·b-8+5=0,即a6=又a·b=ab1c0s0= e0s0,所以cos0=0e[0,]0=晋 答案：号 9.解析：AB,AC=ABAClcos∠BAC, 即8=4X4coS∠BAC,于是c0s∠BAC=2, 因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC=60°. 又AB=AC,故△ABC是等边三角形. 此时AB·BC=ABI BCI cos120°=-8. 答案：等边三角形一8 10,解：)由题意，得a·b=0·6c0s60-1X4×号 =2. .(2a-b)·(a+b)=2a2+a·b-b=2+2-16= -12. (2):(a十b)⊥(aa-2b),∴.(a十b)·(aa-2b)=0, .λa2+(λ-2)a·b-2b2=0,.λ+2（λ-2）-32= 0,.λ=12. 11.解析：(1)：a十b2=(-2e1十4e2)=4e-16e1·e2十 l6e2.又e1⊥e2,.e1·e2=0, ∴.a+b2=20, .a十b=√20=2√5. (2)由题知a2=(e1十2e2)2=5,b2=(-3e1十2e2)2= 13,a·b=(e1十2e2)·(-3e1十2e2)=1.若ba十b与a 一3b垂直，则(ka十b)·(a一3b)=ka2十(1一3k)a·b 3b2=0,即5k十(1-3k)-3×13=0,解得k=19. 12.ACD[对于A,因为平行四边形ABCD的面积为4，所 以AB·ADIsin∠BAD=4,所以ABXAD=4,故 A正确； 对于B,设正△ABC的边BC边上的中点为E,则AB十 AC=2 AE, 因为AD=|ABXAC1(AB+AC),所以AD=2AB· ACI sin 60AE-3BC AE, 所以4D-C正正后xBC 2 BC* BC BC =名，所以B错误： 对于C,因为aXb=3,a·b=1,所以absin〈a, b)=5,a·bcos(a,b)=1, 8 参考答案 所以tan〈a,b)=√5，因为(a,b》∈(0，π)，所以(a,b》= 号，所以a·b=2, 所以|a十2b2=a12十4a·b十4b2≥ 2√4·a2·b+4=12,当且仅当|a|=√21b=2 时等号成立，所以a十2b的最小值为2√5，所以C 正确； 对于D,若a×b=1,bXc=2,且b为单位向量，则 当a=厄，(a,b)=牙，c=4,(bc)=否时，可以等 于ae0-吾+子-登 此时aXc=al·csin(a,c)=42xE+5=2+ 2√5，所以D正确.] 13.解：(1)证明：因为BC·CA=CA·AB,所以(BC-AB) ·CA=0.又因为CA=-(AB+BC),所以-(AB+ BC)·(BC-AB)=0,所以AB=BC,即AB:=花， 所以AB=|BC,所以△ABC为等腰三角形. 2因为B∈[管号]所以a∈[合号】设 AB=B元=a,由BA+BC=2,得BA+BC 4,则有a'十a+2 cosB-=4,所以a=1+c0sB,所以 2 BA.BC-d cos B-cco 21cs 2cos B 2 号1，故BA,BC的取值范国为[一8，号] 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 1.D[选项A中，e1-e2=-(e2-e1),即e1-e2与e2-e1 共线，不能作为基底：选项B中，2e1-e2=2(e1一2e2), 即2e,一e与e-之e共线，不能作为基底；选项C中， 26,-30,=-合(60，-4e,1.即20，-30与60-4e共 线，不能作为基底；选项D中的两个向量不共线，可作为 基底.门 2.A[由BC=3CD得AC-AB=3(AD-AC,即3AD -A店+4AC所以A方=-合A店+专AC.] 3.A[由PA=AAB,得OA-OP=λ(OB-OA),即OP (1+)OA-OB.2 OP=x OA+y OB,. =2+2以，消去X得x中y=2.] y=-2λ ·3 课时作业乡 4.B[如图， 因为AN=多N心，所以A= 号花护=mA店+号C-m A店+号A,因为B,PN三点共线，所以m十号-1，所 以m=子，故选B.] 5.BC[由平面向量基本定理可知，AD是正确的，对于B, 由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定， 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，对于 C,当两向量的系数均为零，即入=入2=41==0时，这 样的入有无数个.故选BC.] 6.ABD[由题意可得，AC=AD DFC 十D心=b+2a,故A正确； BC=BA+AC=-a+b+号a =6子a,故B正确： a 号6-号a,故C错误： 示-EA+AD+D示=-2a+b+十a=b-子a,故D 正确.] 7.解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线.a= e1十2e2,b=2e1十e2,由a≠b即得入≠4. 答案：(-0∞，4)U(4,十∞) 8.解析：设c=a十b,则-2e1十4e2=入(e1十e2)十u(2e1- e),所以2=A十2， 解得2， 故c=2a-2b. (4=λ-， (u=-2, 答案：2a-2b 9.解析：向量e1e2不共线， 2-3)=6解得=-15 3x-4y=3,(y=-12. 答案：-15-12 10,解析：因为四边形ABCD为平行四边形，M为DC的中 点，NC=2BN,所以AM=AD+DM=AD+号AB,AN -=A店+B武=A店+子Ad.因为Ai=c,AN=d,所 号店+茄 a=店+}aD, 解得A店=号(3d-c)AD=号(2c-d. 9