6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 题型平面向量基本定理的应用 规律方法 [例3]如图，△ABC中，点D 主要应用三角形法则、平行四边形法则，数 是AC的中点，点E是BD 乘向量解决，将涉及的向量用基向量表示出 的中点，设BA=a,BC=c. 来，体现了转化的思想. (1)用a,c表示向量AE; ⊙[变式训练] (2)若点F在AC上，且BF= a+c,求AF 3.如图所示，在△OAB中，OA =a,OB=b,M,N分别是 CF. 汇思路点拨]利用向量的加法，减法以及 0A.0B上的点，且0-3a, 数乘运算法则，把要求的向量用已知向量 O示=2b,设AN与BM交于 表示是解题的关键， 点P,以a,b为基表示OP C温攀提 学习至此，请完成课时作业(6.3.1) 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课程标准 素养解读 在学习过程中，借助平面直角坐标系，通过学习 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正 平面向量的正交分解、坐标表示及两个向量加、 交分解及坐标表示. 减运算的坐标表示，重点培养学生的数学运算， 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示. 逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] 坐标来表示.平面向量的坐标有何运算规律 三坐标雷达亦称三维电 呢？这就是本节要学习的内容. 扫描雷达，可获得目标的距 问题平面向量的坐标有何运算规律？ 离、方向和高度信息，比其他 二坐标雷达（仅提供方位和距离信息的雷达） 多提供了一维高度信息.这使其成为对飞机引 导作战的关键设备.此类雷达主要用于引导飞 机进行截击作战和给武器系统提供目标指示 数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的 ·20· 第六章平面向量及其应用 [知识梳理] 2.a-b 即两个向量差 [知识点一]平面向量的坐标表示 的坐标等于这两个向量相应坐标的差. 1.平面向量的正交分解 3.如图，设点A(x1,y1) 把一个向量分解为 的向量，叫 B(x),则AB=OB-OA 作把向量正交分解. =（x2,y2)-（x1,y1)= 2.向量的直角坐标 (x2-x1,y2-y1）.即AB 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴 即一个向量的坐 标等于其终点的坐标减去始点的坐标， 方向相同的两个 i、j作为基底， 对于平面内的一个向量a,由平面向量基本 配思考2.向量的坐标就是表示向量的有向线 定理知，有且只有一对实数x、y使得a=xi 段的终点坐标吗？两向量的位置不同，坐标 +y,则把有序数对(x,y)叫作向量a的 就不同吗？ 坐标 3.向量的坐标表示 在向量a的直角坐标中， 叫作a在x [预习自测] 轴上的坐标， 叫作a在y轴上的坐标， 1.M(1,3),N(一2,1)，则MN的坐标是( 叫作向量的坐标表示 A.（-3,2) B.(3,-2) C.(-3,-2) D.(-2,-3) 显然，i= ,j= ,0= 2.向量OA=(x,y)(O为原点)的终点A位于 2思考1.相等的向量的坐标一定相同吗？不 第二象限，则有 相等的向量的坐标一定不同吗？ A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 C.x<0,y>0 D.x<0,y<0 3.如图所示，{e1,e2}为单 位正交基，则向量a,b 的坐标分别是( [知识点二]平面向量运算的坐标表示 A.(3,4),(2,-2) 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=xi十 B.(2,3),(-2,-3) y1j,b=x2i十y2j,根据向量的运算律，可得 C.(2,3),(2,-2) D.(3,4),(-2,-3) a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2) 4.已知向量a=(2mm),b=(n,-2m),若a十b= i+(y1+y2)j. (9,一8)(m,n∈R),则m一n的值为 1.a+b= 即两个向量和 5.已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3), 的坐标等于这两个向量相应坐标的和. 则向量BC= 课堂。互动学案 题型一 平面向量的坐标表示 [例1]如图，在边长为1的正方形ABCD 中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B,D 的坐标和AB,AD的坐标. ·21· 数学·必修第二册 汇思路点拨]先将向量正交分解，把它们 题型二平面向量加、减运算的坐标表 分解为横纵坐标的形式，然后写出相应的 [例2]如图，已知平行 4 坐标. 四边形ABCD的三 B 个顶点A、B、C的坐 2 标分别是(-2,1)、 (-1,3)、(3,4),试 210 1234x 求顶点D的坐标， 汇思路点拨]利用向量的平行四边形法则， 先计算BD=BA十BC,再求OD=OB+BD, 规律方法 (1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的 相应坐标，只有当向量的起点在坐标原 规律方法 点时，向量的坐标才等于终点的坐标. 1.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.如 (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标， 果一个向量的起点是坐标原点，这个向量 解题时常常结合几何图形，利用三角函 终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量 数的定义和性质进行计算. 的起点不是原点，则向量的终点坐标不是 ◇[变式训练] 向量的坐标，若A(xAyA),B(xByB),则 1.在直角坐标系xOy中，向量a,b,c的方向 AB=(xB-ZA,yB-YA). 如图所示，且|a|=2,1b|=3,|c|=4,分别 2.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标 计算出它们的坐标 的和、差.“两个向量相等，则它们的坐标 相同”，解题中主要应用了方程的思想与 数形结合思想 159 ◇[变式训练] 30 2.已知A(1,一2)，B(2,1),C(3,2)和D(-2,3), 试用坐标来表示AD十BD十CD和AD-CD. ·22· 第六章平面向量及其应用 题型三向量坐标运算的综合应用 (2)解答这类由参数决定点的位置的题目， [例3]已知点O(0,0),A(1,t),B(4t,5)及 关键是列出满足条件的含参数的方程 OP=OA一AB,试求t为何值时： (组)，解这个方程（组），就能达到解题的 (1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上； 目的， (3)点P在第四象限 ⊙[变式训练] [思路点拨]设出点P的坐标为(x,y), 3.已知点A(λ，3)，B(5,2λ)（λ∈R),C(4,5). 利用OP=OA一AB列方程组用t表示P 若AP=AB十AC,试求入为何值时， 的坐标(x,y),再利用点P所在的位置求t (1)点P在一、三象限角平分线上： 的值或范围 (2)点P在第一象限内. 规律方法 向量中含参数问题的求解策略 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标， 如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示 C温馨提 向量的点的坐标的位置会随之改变 学习至此，请完成课时作业(6.3.2、6.3.3) 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 课程标准 素养解读 1.通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量. 通过学习平面向量及运算的坐标 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 表示，重点培养学生的数学运算， 3.会根据平面向量的坐标判断向量是否共线， 逻辑推理素养. 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 1.向量（共线）平行的用途是什么？ 知识点一]实数与向量的积的坐标表示 设入∈R,则λa=入(x1i+y1j)=入x1i+入y1, λa 即实数与向量数乘的坐 2.当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运 标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积. 算求点的坐标？ [知识点二]平面向量平行的坐标表示 在平面直角坐标系中，a=（x1,y1),b=(x2, y2),b≠0，若a∥b,则存在实数入，使得a= ·23·[例2][解]由题意得OB+BA=OA, 所以BA=a-b, 则元-合a-.成-元-吉a- Oi=O成+BM=b+日(a-b)=日a+号b, ON-0C+CN-+CD-0 =号×(ab)=号a+号6 [例3][解](1)AC-B元-BA=c-a, ∴Ai=2A花=2(c-o. :正=之店+Aò 成+2ò 、1 3 4c-4a. (2)设AF=AAC, .BF=BA+AF-BA+AAC =a十λ(c-a) =(1-A)a十c. 又萨=日a+台c, =号 :A=号A AF:CF=4:1. 变式训练 1.解析：由题意，设e1十e2=a十b. 因为a=e1十2e2,b=-e1十e2, 所以e1十e2=m(e1十2e2)十n(-e十e2)=(m-n) 十n)e2. m= 2 由平面向量基本定理得”一=1， 31 所以 2m十n=1, n=- 3 答案：号一日 2.A[选取AB,AC为基底， EF=EH+HF=3 AB+AC,AD=BG=2 BC=- 2AC, GH-GB+BH=2 CB+AB-2AB-2 AC+AB- 参考答案 2AC. EF=zAD+y GH=-2xAB+2x AC+3y AB-2y AC =(-2x+3y)AB+(2x-2y)AC, 9 {2x-2y-=1 (y=4 3.[解]：O币=Oi+Mp,OP=O示+NP,设M币=mMB, N市=nN,则O币-O成+mM成=子a+m(b-a) 号1-ma+b.0币-0示+a=21-b+a, a与b不共线 3(1-m)=n, >n= 1 5 2(1-n)=m 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 课前预习学案 情境引入 提示两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐 标的和与差；实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量 的相应坐标的乘积；一个向量的坐标等于其终点坐标减去 始点坐标 知识梳理 一、1.两个互相垂直2.单位向量3.xya=(x,y)(1, 0)(0,1)(0,0) 二、1.(1十x2,y1十y2)2.(x1-x2y1-y2）3.（2一x1, y2-y1） [思考] 1.提示：根据平面向量的基本定理，平面内的一个向量a,有且 只有一对实数x,y,使a=i十y,即是说平面内的一个向量 e1+(2m a,有且只有一个坐标(x,y),故相等向量的坐标一定相同， 不相等向量的坐标一定不同. 2.提示：当向量的起，点在坐标原点，向量的坐标就是其终，点的 坐标，否则不是.两向量的位置不同，但只要两向量是相等向 量，坐标就相同，若不是相等向量，则坐标不同 预习自测 1.C 2.C[OA=(x,y),.A(xy). 2 AB+ 又点A在第二象限，x<0,y>0.] 3.C[根据平面直角坐标系，可知a=2e+3e2,b=2e1-2e2, 3 AB- .a=(2,3),b=(2,-2).] ·191· 数学·必修第二册 4.解析：：a十b=(2m十n,m-2n)=(9,-8), 12m十n=9, (m=2, .∴.m-n=2-5=-3. (m-2n=-8,(n=5, 答案：-3 5.解析：AC=O元-OA, :0元=AC+0A=(-4,-3)+(0,1)=(-4,-2), BC-=0元-OB=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4. 课堂互动学案 [例1][解]由题意知，点B,D分别是30°，120°角的终边与单 位圆的交点。 设B(x1y1),D(x2y). 由三角画数的定义，得=c0s30°=巨】 ,y=sin30°= x2=c0s120°= %=n120-9, a(9)(合号) -(,)市-() [例2][解]如图，由 向量加法的平行四边 形法则可知 BD=BA+BC=[-2 -(-10),1-3]+[3-3-2-10 1 (-1),4-3]=(3,-1) 0D=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2).所以顶点D的 坐标为(2,2). [例3][解]设，点P的坐标为(x,y),则OP=(x,y), :AB=(4t,5)-(1,t)=(4t-1,5-t), ∴0P=0A-AB=(1,t)-(4t-1,5-t)=(2-4t,2t-5), (x=2-4t ∷ (y=2t-5 1)若点P在x轴上，则y=21-5=0d=号： (2)若点P在y轴上，则x=2-4t=0,t=号： 2-4t>0, (3)若点P在第四象限，则{ 解得t长 .1 (2t-5<0, ·19: 变式训练 1.解：设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2), 则a1=acos45°=2X a,=asin45°=2x2=2. 4=bcos120=3×(2）=-是， 6=bsim120°=3×5=3y5, 2 c1=cc0s(-30)=4x5=25, 2 =csim(-30)=4×(2）-2. 国比a=E@b-(是39）c=26,2以 2.解：AD=(-3,5),BD=(-4,2),CD=(-5,1), ∴.AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). AD-CD=(-3,5)-(-5,1)=(2,4). 3.解：设点P的坐标为(xy), 则AP=(xy)-(入，3)=(x-A,y-3), 又AB=(5,2A)-(,3)=(5-λ，2-3)， AC=(4,5)-(1,3)=(4-λ，2)， :AP=AB+AC=(5-X,2以-3)+4-A,2)=(9-2以，2以-1D, 1x-1=9-2 x=9-入 ,则{ (y-3=2-1(y=2λ+2 (1)若P在一、三象限角平分线上， 则9-X=2级+2A=子 9-λ>0 (2)若P在第一象限内，则 2λ+2>0 ∴.-1λ<9. A=子时点P在一三象限角平分线上： 一1<λ<9时，点P在第一象限内」 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 课前预习学案 情境引入 1.提示利用向量平行（共线）可以证明向量共线、三点共线， 解决有关平行问题