6.2.3 向量的数乘运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（人教A版）

第六章平面向量及其应用 课时作业乡 数课时 6.2.3 向量的数乘运算 学作业 纠错空间 基础过关 6.(多选题)已知e1,e2是不共线的向量， 1.下列各式计算正确的个数是 下列向量a,b共线的有 ( ( ①(-7)×6a=-42a;②a-2b+2(a+ A.a=e1,b=-2e2 b)=3a;③a+b-(a+b)=0. B.a=e1-3e2,b=-2e1+6e2 A.0 B.1 C.2D.3 C.a-3ee:.2e-ge. 2.在△ABC中，已知D是AB边上的一 D.a=e1+e2,b=e1-3e2 点，若A)-2D历.C元=吉CA+xC房， 7.已知x,y是实数，向量a,b不共线，若 则λ等于 (x+y一1)a+(x-y)b=0,则x= A司 B号 c D ,y= 8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上 3.下列各组向量中，能推出a∥b的是 ( 的点AD=AB,BE=号BC若AB= ①a=-3e,b=2e;②a=e1-e2,b= a,AC=b,则DE= (用a,b表 ete-c1；③a=e1-e2,b=ei+e 示). 2 +e,十e 2 9点C作线段AB上，哈S多则 方法总结 A.①B.①②C.②③D.①②③ AB,BC= AB. 4.设D,E,F分别是△ABC的三边BC, 10.如图，在△ABC中， CA,AB上的点，且DC=2BD,CE= AN=号N乙，P是 3 2EA,AF=2FB,则AD+BE+CF与 BN上的一点，若AP BC =m AB+ A.反向平行B.同向平行 AC,求 C.互相垂直D.既不平行也不垂直 实数m的值. 5.(多选题)已知a,b是两个非零向量，在 下列四个条件中，一定能使a,b共线 的是 ( A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数入，，使a一b=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x十y =0) D.已知在梯形ABCD中，AB=a,CD =b ·261· 世数学 必修第二册 11.(1)设a,b是两个不共线的向量，已知 能力提升 》 空 间 AB=3a-2b,BC=-2a+4b,CD=- 12.如图所示，设M,N为△ABC内的两 纠错空间 2a-4b,试判断A,C,D三点是否 共线； 点，且Ai=A店+号C.A-会AB (2)在四边形ABCD中，AB=a+2b, +号AC,则△ABM的面积与△ABN BC=3a一2b,BD=2a一4b,证明：四边 的面积之比为 形ABCD为平行四边形. 13.设a,b,c为非零向量，其中任意两向量 +++,++4+ 不共线，已知a+b与c共线，且b+c 与a共线，则b与a+c是否共线？请 证明你的结论. 方法总结 卡年年年44 中年年年卡中 4.444444444 ·262·参考答案 9.解析：(1)由已知得a十b=AB+A BC=AC,.AC=c, 延长AC到E, 使C正=AC.则a十b十c =AE, 且AE=2√2.∴a十b+c=2WE. (2)作BF=AC,连接CF, 则DB+BF=DF,而DB=AB-AD=AB-BC=a-b, ..a-b+c=DB+BF=DFDF=2. .a-b+c=2. 答案：(1)2√2(2)2 10.证明：因为a十c=b十d,所以a一b=d-c,因为向量OA =a,OB=b,OC=c,OD=d,所以OA-OB=OD-OC, 即BA=CD,所以BA∥CD,且BA=CD,所以四边形 ABCD是平行四边形. 11.解：Ac=0元-OA=c-a,AD=0D-OA=d-,AD AB=BD=OD-OB=d-h,AB+CF=O丽-OA+O丽 -0元=b-a+f-c,BF-Bi=D求=O求-OD=j-d DF+FE+ED=0. 12.B [OA-ED=EO-ED=DO.] 13.解：a+b=AC,a-b=DB,a+b=a-b,故AC= BD,故平行四边形ABCD是矩形，a=6,b 2√5，AC=BD=√36+12=4√5，a-b-c=AB- BC-BD=AB-AD+DB=DB+DB=2 DB,:a-b -c=8V3. 6.2.3向量的数乘运算 1.C[根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误， 因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而 不是实数.] 2.B[:A,B,D三点共线∴分十X=1,A=号] 3.B[0中，a=-是b,所以a/b:@中，b=9e-e,= 2 29=-2a,所以a/b:③中，b=303e=是(6十 2 2 e2),若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线， 则a与b不共线，] ·3 课时作业乡 4.A[由AC-AD=2(Ai-Ai),得AD=子AC+ 号成同理可得，成=号心+号丽，=子C+ 号成所以成京-吉配战选A] 5.AB[由2a-3b=-2(a十2b)得b=-4a,故A正确；由 a一b=0,得a=b,故B正确；若x=y=0,0十b= 0,且b与a不一定共线，故C错误；梯形ABCD中，没有 说明哪组对边平行，故D错误.] 6.BC[因为e1,e是不共线的向量， 所以e,e2都不是零向量。 A.若a与b共线，则e1,e2共线，这与已知矛盾，所以a 与b不共线. B.因为b=-2e1十6e=-2(e1-3e2)=-2a, 所以a与b共线. C周为b-2g4=号(e-e）号a, 所以a与b共线. D.若a与b共线，则存在实数入∈R,使a=λb, 即e1十e2=λ(e1-3e2), 所以(1-λ)e1十(1+3入)e2=0. 因为g1,e2是不共线向量， (1-入=0， 所以 所以入不存在， （1十3λ=0， 所以a与b不共线.] 7.解析：由巴知，得人十y1=0 (x-y=0 解得x=y= 答案： 8.解析，DE=Di+成-合AB+号BC-A+号(BA 答案：-日a+号0 9.解析：设AC=3k(k>0),则CB=2k,AB=5k,AC 店成=-号诚 答案：是昌 10.解析：AP-AN+Np=AC+N=mA店+品AC, Np=mA店-是AC.又N店=NC+C店=是AC+(a店 -AO=A店-AC,设=AN,则入A店-子AAC mA店-是ACm=X=品 世数学 11.解析：(1)：AC=AB十BC=(3a-2b)十(-2a十4b)=a +2b,又CD=-2a-4b=-2(a+2b)CD=-2AC, .CD与AC共线.又CD与AC有公共点C,故A,C,D 三点共线 (2)证明：：AD=AB+BD=(a+2b)+(2a-4b)=3a -2b=BC,又A,B,C,D四，点不共线，.四边形ABCD 是平行四边形 12解折：如国所示，说-店。 AQ=专Ac, 则AM=AP+AQ.由平行四边A 形法则知，MQ∥AB, 1 S△ABM 专了同理△三之：SAN S△ABC Ac 3 答案：2：3 13.解：b与a十c共线.证明如下：a十b与c共线，.存在 唯一实数，使得a十b=c.① ,b十c与a共线，∴.存在唯一实数u,使得b十c=ua.② 由①-②得，a-c=λc-a.∴.(1十)a=(1十λ)c.又 a与c不共线，.1十=0,1十A=0,u=-1,A=-1, .a十b=-c,即a十b十c=0.,∴.a十c=-b.故a十c与b 共线 6.2.4向量的数量积 1.C[①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b· c)与a共线，故④错误；a·b是一实数，应该有a·b ≥a·b,故⑤错误.] 2.D 3.A[,2a+3b12=4a2+9b+12a·b=16+144+96= 256,.2a十3b=16.] 4.D[由AB·BC>0知，BA·BC<0,即角B为钝角.] 5.ACD[选项B中，a·b=|ab cos8,其中9为a 与b的夹角.] 6.ACD[由a+b=a-b可得a·b=0,.ab,B 正确.门 7.解析：由物理知识知W=F·s=F·scos0=5X 10×c0s60°=25（焦耳）. 答案：25焦耳 ·3 必修第二册 8.解析：因为(a十2b)·(5a一4b)=0,a=b=1,所以 6a·b-8+5=0,即a6=又a·b=ab1c0s0= e0s0,所以cos0=0e[0,]0=晋 答案：号 9.解析：AB,AC=ABAClcos∠BAC, 即8=4X4coS∠BAC,于是c0s∠BAC=2, 因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC=60°. 又AB=AC,故△ABC是等边三角形. 此时AB·BC=ABI BCI cos120°=-8. 答案：等边三角形一8 10,解：)由题意，得a·b=0·6c0s60-1X4×号 =2. .(2a-b)·(a+b)=2a2+a·b-b=2+2-16= -12. (2):(a十b)⊥(aa-2b),∴.(a十b)·(aa-2b)=0, .λa2+(λ-2)a·b-2b2=0,.λ+2（λ-2）-32= 0,.λ=12. 11.解析：(1)：a十b2=(-2e1十4e2)=4e-16e1·e2十 l6e2.又e1⊥e2,.e1·e2=0, ∴.a+b2=20, .a十b=√20=2√5. (2)由题知a2=(e1十2e2)2=5,b2=(-3e1十2e2)2= 13,a·b=(e1十2e2)·(-3e1十2e2)=1.若ba十b与a 一3b垂直，则(ka十b)·(a一3b)=ka2十(1一3k)a·b 3b2=0,即5k十(1-3k)-3×13=0,解得k=19. 12.ACD[对于A,因为平行四边形ABCD的面积为4，所 以AB·ADIsin∠BAD=4,所以ABXAD=4,故 A正确； 对于B,设正△ABC的边BC边上的中点为E,则AB十 AC=2 AE, 因为AD=|ABXAC1(AB+AC),所以AD=2AB· ACI sin 60AE-3BC AE, 所以4D-C正正后xBC 2 BC* BC BC =名，所以B错误： 对于C,因为aXb=3,a·b=1,所以absin〈a, b)=5,a·bcos(a,b)=1, 8