6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课程标准 素养解读 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正 在学习过程中，借助平面直角坐标系，通过学习平面向量的正 交分解及坐标表示。 交分解、坐标表示及两个向量加、减运算的坐标表示，重点培 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示. 养学生的数学运算，逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P20 [情境引入] 3.向量的坐标表示 三坐标雷达亦称三维电扫 在向量a的直角坐标中，x叫作a在x轴上的坐 标，y叫作a在y轴上的坐标，a=(xy)叫作向量 描雷达，可获得目标的距离、方 的坐标表示. 向和高度信息，比其他二坐标雷 显然，i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 达（仅提供方位和距离信息的雷达）多提供了一维高 ?思考1.相等的向量的坐标一定相同吗？不相等 度信息.这使其成为对飞机引导作战的关键设备·此 的向量的坐标一定不同吗？ 类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系 提示：根据平面向量的基本定理，平面内的一个向 量a,有且只有一对实数x,y,使a=i十yj,即是 统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或 说平面内的一个向量a,有且只有一个坐标(x, 空间中的坐标来表示，平面向量的坐标有何运算规律 y),故相等向量的坐标一定相同，不相等向量的 呢？这就是本节要学习的内容 坐标一定不同. 问题平面向量的坐标有何运算规律？ [知识点二]平面向量运算的坐标表示 设a=(x1,y1),b=（x2,y2),则a=2xi+y1j,b= 提示两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量 x2i+y2j,根据向量的运算律，可得a十b=(x,i十 相应坐标的和与差；实数与向量数乘的坐标等于这个 yj)+(z2i+y2j)=(x+2)i+(y+y2)j. 实数与向量的相应坐标的乘积；一个向量的坐标等于 1.a十b=(x1十x2,y1十y2).即两个向量和的坐标等 于这两个向量相应坐标的和： 其终点坐标减去始点坐标. 2.a一b=(x1一22y1一y2).即两个向量差的坐标等 [知识梳理] 于这两个向量相应坐标的差， [知识点一]平面向量的坐标表示 3.如图，设点A(x1,y),B(22, 1.平面向量的正交分解 2),则AB=OB-OA=(2, y2)-（x1,y1)=(x2-21y2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向 y).即AB=(z2-12-y). 0 量正交分解. 即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的 2.向量的直角坐标 坐标。 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相 ?思考2.向量的坐标就是表示向量的有向线段的 同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一 终点坐标吗？两向量的位置不同，坐标就不同吗？ 提示：当向量的起点在坐标原点，向量的坐标就是 个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对 其终点的坐标，否则不是.两向量的位置不同，但 实数x、y使得a=i+yj,则把有序数对(x,y)叫 只要两向量是相等向量，坐标就相同，若不是相等 作向量a的坐标. 向量，则坐标不同 ·30· 第六章平面向量及其应用 [预习自测] 解析：C[根据平面直角坐标系，可知a=2e1十 1.M(1,3),N(-2,1),则MN的坐标是 3e2,b=2e1-2e2,∴.a=(2,3),b=(2,-2).] A.(-3,2) B.(3,-2) 4.已知向量a=(2m,m),b=(n,-2m),若a十b=(9,一8) C.(-3,-2) D.(-2,-3) (m,n∈R),则m一n的值为 答案：C 解析：.a+b=(2m十n,m-2n)=(9,-8), 2.向量OA=(x,y)(O为原点)的终点A位于第二象 2m+n=9, (m-2n=-8, 限，则有 A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 02m-n=2-5=-3. C.x<0,y>0 D.x<0,y<0 (n=5, 解析：C[,OA=(x,y),∴.A(x,y). 答案：-3 又点A在第二象限，x<0,y>0.] 5.已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则 3.如图所示，{e,e2}为单位正交基， 向量BC 则向量a,b的坐标分别是() A.(3,4),(2,-2) 解析：AC=O元-OA, B.(2,3),(-2,-3) .OC=AC+OA=(-4,-3)+(0,1)=(-4, C.(2,3),(2,-2) -2), D.(3,4),(—2,—3) BC-0C-0B=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4). 课堂。互动学案 对应学生用书P21 题型一 平面向量的坐标表示 规律方法 [例1]如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与 (1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐 标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐 x轴正半轴成30°角.求点B,D的坐标和AB,AD 标才等于终点的坐标. 的坐标 (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结 合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算. ◇[变式训练] 1.在直角坐标系xOy中，向量 a,b,c的方向如图所示，且|a 30 0(4) =2,|b=3,|c|=4,分别 150 0 30° 计算出它们的坐标. 汇思路点拨]先将向量正交分解，把它们分解为 解：设a=(a1a2),b=(b1, 横纵坐标的形式，然后写出相应的坐标 b2),c=(c1c2), [解]由题意知，点B,D分别是30°，120°角的终边 则a=45=2x号-2 与单位圆的交点 设B(x1,y1),D(x2,y2). 4=0n5=2×号-g 由三角函数的定义，得x1=c0s30°= 3 a=1es12w=3x()=-产 sin30°=7，x2=c0s120°= 2,y2=sin120°= 6=b1sin120°=3×5-33 2-2 c=c cos ( -30)=4x5=25, )( =cm(-30)=4×()-2 (停》-〔 因此a=(W2,W2),b= ·31· 数学·必修第二册 题型二平面向量加、减运算的坐标表示 题型向量坐标运算的综合应用 [例2]如图，已知平行四边形 [例3]已知点O(0,0),A(1,t),B(4t,5)及OP=OA ABCD的三个顶点A、B、C的 一AB,试求t为何值时： 坐标分别是（一2,1）、(-1， (1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上； 3)、(3,4),试求顶点D的 2-101234 (3)点P在第四象限. 坐标. [思路点拔]利用向量的平行四边形法则，先计算 [思路点拨]设出点P的坐标为(xy),利用OP BD=BA十BC,再求OD=OB+BD, =OA-AB列方程组用t表示P的坐标(x,y),再 [解]如图，由向 利用点P所在的位置求t的值或范围 量加法的平行四 [解]设，点P的坐标为(xy),则OP=(x,y), 边形法则可知 :AB=(4t,5)-(1,t)=(4t-1,5-t), BD=BA+BC= :OP=0A-AB=(1,t)-(4t-1,5-t0=(2-4t, [-2-(-1),1- -3-2-10 123 4 1x=2-4t 3]+[3-(-1),4 2t-5),. y=2t-5 -3]=(3,-1) (1)若点P在x轴上，则y=2t-5=0,t=5 OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2).所以 2 顶点D的坐标为(2,2) (2)若点P在y轴上，则x=2-41=0= 规律方法 ,2-4t>0, 1.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.如果一个 (3)若点P在第四象限，则 解得2 2t-50. 向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就 规律方法 是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则 向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA, 向量中含参数问题的求解策略 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果 yA),B(xByB),则AB=(xB一xAyB一yA. 纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的 2.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、 坐标的位置会随之改变， 差.“两个向量相等，则它们的坐标相同”，解题中 (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是 主要应用了方程的思想与数形结合思想. 列出满足条件的含参数的方程（组），解这个方 ◇[变式训练] 程（组），就能达到解题的目的 2.已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),试用坐 标来表示AD+BD+CD和AD-CD. ⊙[变式训练] 解：AD=(-3,5),BD=(-4,2),CD=(-5,1), 3.已知点A(入，3)，B(5,2)(∈R),C(4,5).若AP .AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1) AB十AC,试求入为何值时， =(-12,8) (1)点P在一、三象限角平分线上； .AD-CD=(-3,5)-(-5,1)=(2,4) (2)点P在第一象限内. ·32· 第六章平面向量及其应用 解：设点P的坐标为(x,y), (1)若P在一、三象限角平分线上， 则AP=(x,y)-(入，3)=(2-入，y-3), 则9-入=2入+2，A=3 又：AB=(5,2)-(,3)=(5-λ，2入-3)， 19-λ>0 AC=(4,5)-(入，3)=(4-λ，2)， (2)若P在第一象限内，则 (2λ+2>0 ∴.AP=AB+AC=(5-入，2λ-3)+(4-入，2)=(9 .-1<A<9. -2,2x-1), x-入=9-2 x=9-入 以=子时点P在-三象限商平分线上： ,则 y-3=2λ-1 （y=2λ+2 一1<入<9时，点P在第一象限内. 课后。泰养提升 对应学生课时P267 基础过关 》 4.若AB=(1,1),AD=(0,1),BC+CD=(a,b),则a 1.在平面直角坐标系中，a=2018,a与x轴的正半 +b= A.-1 B.0 C.1 D.2 轴的夹角为号，则向量a的坐标是 ( 解析：A[BC+CD=BD=AD-AB=(0,1) A.(1009√2,1009√2) (1,1)=(-1,0),故a=-1,b=0,a十b=-1.] B.(-1009√2,1009√2) 5.(多选题)下面说法正确的有 A.相等向量的坐标相同 C.(1009,1009√5) B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 D.(1009√3,1009)》 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 解析：C[设a=(x,y),则x=2018cos交=1009，y D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的 3 向量一一对应 =2018sin号=1095，故a=(1009,1095.] 解析：ABD[由向量坐标的定义不难看出一个坐 2.如图所示，向量MV的坐标是 标可对应无数个相等的向量，故C错误.] 6.已知i,j分别是方向与x轴、y轴正方向相同的单 ( 位向量，设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x A.(1,1) B.(-1,-2) ∈R),则向量a位于 ( C.(2,3) D.(-2,-3) A.第一、二象限 B.第二、三象限 解析：D[由题图知，M(1,1),N(-1,一2)，则MN C.第三象限 D.第四象限 (-1-1,-2-1)=(-2,-3).] 解析：D[因为a=(x2+x十1，一x2十x-1),x2+ 3.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB= +1=(x+)+是>0，-+x-1 (2,4),AC=(1,3),则DA= ( A.(2,4) B.(3,5) （e-)-章<0，故a位于第回象限.] C.(1,1) D.(-1,-1) 7.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2,3)，点 解析：C [DA=-AD=-BC=-(AC-AB)= B的坐标为(6,5)，O为坐标原点，则OA= (1,1).] OB= ·33· 数学·必修第二册 解析：因为点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(6， 解.1)0P=OA+OB=1,2)+(3,30)=(1+3,2+ 5),点O的坐标为(0,0)，所以向量OA=(2,3),OB 3t),若，点P在x轴上，则2十3t=0,.t= =(6,5) 答案：(2,3)(6,5) 若点P在y轴上，则1+3=04=-子 8.已知AB=(1,2),CB=(-3,-4),则AC= 1+3t<0, 若点P在第二象限，则 2 -3<1K-3 解析：AC=AB-CB=(1,2)-(-3,-4)=(4,6). (2+3t>0, 答案：(4,6) (2)OA=(1,2),PB=OB-OP=(3-3t,3-3t). 9.若将向量a=(W尽，1)按逆时针方向旋转交得到向 若四边形OABP为平行四边形，则OA=PB, 量b,则b的坐标为 (3-3t=1, 该方程组无解， (3-3t=2, 故四边形OABP不能成为平行四边形. a 能力提升 -》 0 12.已知作用在A点的三个力F,=(3,4),F2=(2, 5),F3=(3,1)且A(1,1),则合力F=F1+F2+F 解析：由三角函数的定义，可知a与x轴正向的夹 的终点坐标为 角为吾，按递时针方向旋转受到OP的位置，易知 解析：F=(3,4)+(2,-5)十(3,1)=(8,0). OP|=2,∠aOP=120°.根据三角函数的定义，OA 设终，点为D(x,y),则：F=AD,即(8,0)=(x-1,y一1)， =2cos120°=-1，AP=2sin120°=√3，所以b= 1x-1=8（2=9, 所以 所以终，点为(9,1) y-1=0y=1. (-1,√5) 答案：(9,1) 答案：(-1W3) 13.已知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠BOC 10.已知a=AB,B点坐标为(1,0)，b=(一9,12)，c= =90°，设OA=a,OB=b,OC=c且a=2,|b|= (-2,2),且a=b-c,求点A的坐标 1,c=3,试求a,b,c的坐标. 解：b=(-9,12),c=(-2,2),.b-c=(-9, 解：根据题设，画出图形，如图所示，以O为原点， 12)-(-2,2)=(-7,10),即a=(-7,10)=AB. OA所在直线为x轴建立直角坐标系. 又B(1,0),设A点坐标为(x,y),则AB=(1-x, (1一x=一7， (2=8, 0-y)=(-7,10),. 10-y=10,{=-10 → 即A点坐标为(8，一10). 11.已知点O(0,0),A(1,2). 由三角函数的定义，得A(2,0) B(cos150°，sin150°)， (1)若点B(3t,3t),OP=OA十OB,则t为何值时， 点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二 ,C(3cos240°，3sin240°)， 象限？ (2)若B(4,5),P(1+3t,2+3t),则四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明 理由. ·34·